數學問題表征對學生問題解決的影響及教學啟示

[摘 要] 問題表征是問題在學習者頭腦中的呈現方式。數學問題解決的前提條件是學習者能夠對數學問題進行準確的表征。準確表征的外在表現即學習者在對數學問題的本質進行深入挖掘的基礎上，能正確把握信息、深度提煉信息、用不同的方式整合并提取信息，以確定解決問題可能用到的方法。在課堂教學中注重對學習者數學問題表征能力的培養是完善和發展學生認知結構、提高數學解題能力的重要途徑。主要論述了兩個方面的內容：一是問題表征對學生數學問題解決能力影響;二是提出了以培養和提高學生問題表征能力為核心的數學課堂教學策略，如因材施教、多元化表征和克服思維定式等。

[關鍵詞] 數學問題表征;問題解決;圖式

[基金項目] 2015年度江蘇省教育科學重點課題“慕課視域下的高校數學教學改革研究與實踐”（B-b/2015/01/013）

[作者簡介] 李艷利（1978—），女（蒙古族），內蒙古赤峰人，碩士，江蘇師范大學教育科學學院（教師教育學院）講師，主要從事數學課程與教學論研究。

[中圖分類號] G424.1 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-9324（2022）01-0131-04 [收稿日期] 2021-05-06

一、問題的提出

德國數學家希爾伯認為：“問題是數學的心臟，方法是數學的行為，思想是數學的靈魂。”我國學者章建躍提出：“提升學生問題解決的技能是數學教學的核心。”關于數學問題解決的研究，早期階段關注點是數學問題解決的過程、模式建構和應用技能三個外在的層面。隨著認知心理學和腦科學的發展，近年來越來越多的學者將問題解決研究的焦點轉移到其內在機制上，尤其是側重問題解決階段的表征、解題過程中的元認知分析等。

問題表征是解決數學問題的核心環節，學習者的問題表征能力極大地影響問題解決的結果。因此，解決問題之前首要且必需的就是合理地表征問題。心理學家研究了學習者在復雜問題空間中的認知情況，指出問題解決是在一系列規則的基礎上，學習者能靈活選取并恰當使用各種問題表征的形式，將問題的初始狀態轉化為目標狀態的過程。

（一）表征和問題表征的概念

從詞性的視角看，表征有兩種詞性，兩層含義：其一作為動詞，其意義是對事物本質內涵的闡釋;其二作為名詞是指事物的外在征象。

從心理學的視角看，表征是個體認知世界的準則，個體能夠深入領會和正確應用該知識的前提是要理解大腦對某種知識的具體表征形式。表征包括形式和過程兩個相互依存的部分。形式即記錄和呈現各種信息的形式;過程則是指運用和調整信息的過程。兩個部分不能單獨使用，否則不能構成問題表征。

從問題解決的視角看，問題表征是問題解決者根據已有的知識經驗，結合問題情境的條件和問題存在的形式，明確問題的初始狀態、問題的目標狀態，進而在頭腦內部形成問題解決的空間、建構問題解決的允許操作策略。問題表征不僅是問題直接的表達方式，也是問題在頭腦中的呈現方式，是主體對問題的內化。

依據問題表征的形式，可以將表征分為外在表征和內在表征。外在表征是在外部刺激的情況下，將問題用自然語言、文字語言、圖表圖形、數學模型、抽象數式等具體的形式表示出來;內在表征是問題在學習者頭腦中的思考，或者說是解題者的內部心理符號。外在表征是內在表征的具體化和外顯化，內在表征是外在表征的基礎和內部運行機制。

（二）數學問題表征的作用

對于學生的數學學習而言，只有恰當的問題表征才能在已知條件和最終目標之間形成正確的問題情境表征，從而順利解決數學問題。學習者在解決數學問題時，先要對問題進行合理表征。如學習者要理解并運用某個數學結構，最好的策略就是學習者能將該數學結構與另外一個更容易理解的數學結構建立映射關系。數學問題表征其本質就是在不同的數學結構中建立映射關系的過程。因此，對于學習主體而言，造成問題解決困難的原因，一是源于數學問題本身的結構，二是學習主體選擇問題表征的方式或問題表征的能力。有研究表明，精準的問題表征方式與問題成功解決之間存在正向相關性。

（三）數學問題表征的依據和類型

數學問題表征包括數學問題的構成要素，又包括頭腦中已有知識經驗對問題的內部解釋，是學習主體通過對問題情境的分析理解，從而達成解決數學問題這一目標的必要步驟。因此，數學問題表征的依據有兩個方面：一是問題本身的客觀性，要求學習主體在將問題轉化為數學模型時，需要切實依據問題的文字、圖表圖像、數學符號及問題之間的關系;二是學習主體的認知結構，即主體已有的數學知識基礎、數學基本技能、內化的數學思想、解決問題的經驗策略和對數學的情感態度等因素。數學問題表征，依據不同的標準，有不同的類型。

1.依據數學教學內容，將數學問題表征分為以下四類：（1）符號表征（代數問題），符號表征是數學問題的基礎表征形式，具有抽象性與概括性特征;（2）幾何表征（平面幾何與立體幾何問題），具直觀性、具體性;（3）文字表征（邏輯問題），是數學問題呈現方式中最常見的表征形式;（4）表象表征（推理競賽題），這類表征具有很強的形象性，在數學競賽題中較為多見。

2.依據數學問題表征的層次，可以將其分為字面表征、真實情境表征和數學符號表征。

3.依據數學表征的方式可以將其分為：圖表圖像表征、自然語言表征、原理表征和方法表征。一般而言，數學知識可以分為陳述性知識、程序性知識和策略性知識。方法表征即是用程序性知識表達對問題的解決，原理表征則是用于問題情境緊密相連的數學規律、數學策略來表征問題。

以上分類實際上都只能概括數學問題表征的部分特征，因此，學習者在解決復雜數學問題時，必須同時運用多種表征。

二、問題表征對數學問題解決的影響

（一）強化問題外部表征的運用，挖掘數學本質

數學最顯著的一個特征就是符號化，解決數學問題離不開數學符號的運用，只有理解數學符號的基本含義及其在特定情境下的深層含義，才有可能因勢利導，從而找到順利解決問題的方法。與此同時，我們也要深刻地認識到，正是由于符號語言具有高度的簡潔性、抽象性和概括性，學生在解決含有大量、復雜、陌生符號的數學問題時，很難將符號含義與文本信息進行一一匹配，從而不利于問題的解決，因此將符號適當的圖形化，借助幾何直觀的思想，能更容易地幫助學生理解數學問題的本質，也即圖標表征的方式。圖表表征是指利用幾何圖形或者表格來表示具體問題，它將數學問題題目中的條件和問題加以提煉并以簡單明了的形式呈現出來，提供給學生一個更加直觀的方式理解問題情境，利用更加便捷的途徑找到解決問題的關鍵要素。

有效的外部表征是成功解決數學問題的關鍵。在解決數學問題的過程中，學生對給定的問題進行理解、掌握、轉化，形成外部表征，并初步制定解決問題策略。外部表征主要是指問題情境的構成成分和結構，包括文字、符號、圖表及問題與文本的相對位置等的表征。美國心理學家Mayer曾經提出解決數學應用題的4個一般性認知過程，即問題轉譯→問題整合→解題計劃→解題執行。

問題轉譯是指將文字陳述問題翻譯為數學命題，當問題以文字形式呈現時，在對問題的各種條件形成完整的表征前，須將問題正確地轉化為數學命題形式。當然，文字陳述的復雜程度和文字表述的長度也會通過影響問題轉譯而影響數學問題的解決。

例如解釋2/3÷2=1/3時，可以采用如下策略：（1）用文字陳述分數的除法法則：除以一個數等于乘以這個數的倒數，進行運算;（2）可以根據分數的

意義闡述，把單位1平均分成3份，2/3表示取其中兩份，而2/3÷2則是把2/3再次均分為2份，每份為1/3;（3）利用圖表，將問題和實際聯系起來。一塊蛋糕平均分成3份，拿走一份，剩下的2份平均分給兩個小朋友，并借助圖形表示。

由于幾何圖形能明確地表達出條件數據間的關系，在幾何圖形的外部表征下直觀、形象、簡潔，學生能根據幾何圖形中的數量關系列出解決問題的算式，不僅解決了數學問題，掌握分數除法的算法，同時也能夠通過多種表征的共同運用，達到理解算理、把握分數除法本質的目的。

（二）深化內部表征的理解，培養數學思維

內部表征是指學生自主獨立建構自身內部的認知結構，是對給定的數學問題情境中的條件、要求、問題的內部思維解釋。內部表征對學生數學學習的影響可以從數學問題圖式理論的視角進行分析。圖式理論描述了個體知識的表征途徑，以及這些表征的知識是如何以某種特有的方式有利于知識的應用。圖式理論的基本觀點是：學習者頭腦中儲存的一切知識都能分成不同單元、單元構成組塊、組塊整合成系統。這些單元、組塊和系統就是圖式。數學問題圖式就是數學問題解決過程的圖式，數學問題圖式具有適應性、靈活性、強遷移性和概括性等特征。數學問題圖式包括兩部分：一是描述它所對應的某類問題的特征，二是解決這類問題的數學基礎知識、解決問題的基本策略和執行策略的具體程序。學習者在問題解決中，一旦激活一個數學問題圖式，即可自動執行相應的數學解題程序。

三、數學問題表征對課堂教學的啟示

（一）因材施教，關注個性差異

建構主義理論強調，主體對知識的理解和應用是基于個人已有的知識和經驗的。經驗具有緘默性和個體差異性。關注個性差異，即要關注學生的認知結構、水平和風格，在此基礎上，深入了解學生的數學問題表征方式，提高數學問題表征能力、數學問題圖式水平和數學解題能力，最終發展和完善學生認知結構。所以數學課堂教學中，教師在設計和選擇數學問題的內容和形式時，不僅要注意學生已有的知識水平、能力水平和心理發展水平，更需要考慮到學生的個性差異，設計合適的文字表述，創設合理的問題情境，以便學生有效、正確地進行內、外部表征，來確保他們學習新知的成功率，同時讓他們付出的時間和精力得到利益最大化的結果。由此減少學生的學習壓力、提高學生學習的興趣和積極性，以及問題解決的效率。

（二）啟發誘導，表征方式多樣化

課程標準強調，學生的數學素養的體現除了基礎知識和基本技能外，還要具有基本數學思想和基本活動經驗。因此，數學課堂教學中，比獲得數學知識更重要的是能挖掘滲透于具體數學知識中數學思想方法，培養數學思考、數學交流的習慣和能力，最終形成“數學智慧”。數學智慧并不是在書本上能夠直接獲得的外顯知識，而是表現為數學思維的創生、數學思想的獲得等內隱的表達形式的知識，智慧的數學課堂應該體現多元性、探究性、合作性、和諧性等特征。因此，教師在課堂教學中要以學生為主體，以啟發誘導為主要的教學模式，用多元化的表征方式，從多角度、多方向來刻畫數學問題，引導學生將直接思維與間接思維相結合、抽象思維和形象思維相結合等，要打破思維定式，使不同的表征方式，通過表征同一個數學問題而建構一個統一的表征體系。

問題表征方式的多元化需要重視強化學生對問題外部表征及內部表征的訓練。在數學問題的解決過程中，內、外部表征并不是單一地運行，而是將問題先通過外部表征描述，再進行內部表征完善，順利解決問題。由于表征形式的多樣性、學生個體認知結構的獨特性，每個人的表征過程和結果必然會存在一定的差異性。因此，教師應當帶領學生從多個角度、多個方面來對數學問題進行表征，從而抓住問題的著手點、關鍵點，解決更復雜的數學問題。

（三）巧用變式教學，克服思維定式

心理學者指出：學習者在形成問題圖式后要防止誤用圖式。教學中使用變式教學理論，將正確應用圖式的情境與誤用情境進行比較，以識別關鍵差異，將關鍵差異編碼作為圖式的一部分，這個過程就是克服思維定式的過程。行為主義心理學派將有效的學習看成是強化的過程。而在數學的教學過程中，給學生提供變式練習的機會就是一種合理強化的手段。章志光認為，變式是形成數學概念時提供的肯定樣例在非本質特征方面的變化形式。數學課堂教學中的變式教學要求數學教師在教學設計的過程中要對教學深入鉆研，要求學生在課堂上展示知識的發生、發展及形成的過程，有利于培養學生研究、探索數學問題的能力。在變式分析中，通過一題多解、一題多變、一設多問等形式理解讓學生加深對數學概念的理解和應用，把握數學本質。與此同時，教師要了解學生學習情況、進行反饋調節的必要措施，防止學生形成思維定式，強化正遷移的作用。在日常教學中，加強學生對多元表征轉換和應用的訓練，盡可能地使用多種方式進行表征，加強其對不同表征形式的理解和認知，提高學生表征轉換的靈活性和應用的多元化。

在新課程標準理念的倡導下，教師應當利用一切有利因素，積極為學生創造反思的情境，引導學生學會反思、主動反思，能運用反思來改進自己學習上的不足之處。因此不管是教師在教學過程中，還是學生在自主練習中，都可以從這三個方面進行反思：（1）反思過程是否正確，就是解決問題的過程中的計算是否正確、某些隱含條件是否注意到等;（2）反思有無其他方法，這就要求學生以創造性的觀點解讀問題，用發散性思維從不同方面思考問題的其他解決方案;（3）反思能否遷移，就是解決問題過程中所運用到的解決方法、思維方式或問題結論等能否在其他數學問題或其他學科問題中得到應用。

總之，通過練習、反饋和教學反思有助于打破思維定式，促進學生掌握知識，還能發現自己的解題過程中的優點和不足，促進學習遷移和知識積累。

參考文獻

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The Influence of Mathematical Problem Representation on Students’ Problem Solving and?Its Teaching Enlightenment

LI Yan-li

（School of Educational Sciences / Faculty of Teacher Education， Jiangsu Normal University， Xuzhou， Jiangsu 221116， China）

Abstract： The prerequisite of solving a problem is to excavate the essence of the problem， correctly grasp and refine the information， and accurately represent the problem. Problem representation refers to the way in which the problem is presented in the learner’s mind. The learner can extract and integrate key information in the problem space in different ways to determine the possible operators. This paper mainly discusses the influence of problem representation on students’ ability to solve mathematical problems， and puts forward the strategies of mathematics classroom teaching based on the cultivation of problem representation.

Key words： Mathematical problem representation; problem solving; schema