基于磁場解析模型與遺傳算法的軸向磁通永磁電機多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計

佟文明， 馬雪健， 位海洋， 吳勝男

(沈陽工業(yè)大學(xué) 國家稀土永磁電機工程技術(shù)研究中心，遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

軸向磁通永磁電機(axial flux permanent magnet motor，AFPMM)具有結(jié)構(gòu)緊湊、效率高、功率密度大等優(yōu)點，在電動汽車、飛輪儲能、航空航天等領(lǐng)域得到廣泛關(guān)注[1-3]。但與徑向電機相比，AFPMM磁路復(fù)雜，有限元求解過程通常需要通過三維場來完成，這使得AFPMM的性能分析、優(yōu)化設(shè)計更為困難。

電機的優(yōu)化設(shè)計是一個復(fù)雜的非線性問題，其主要優(yōu)化思路是根據(jù)電機參數(shù)與性能之間的關(guān)系構(gòu)建模型，然后通過算法尋優(yōu)實現(xiàn)電機的優(yōu)化設(shè)計[4-5]。有限元方法能夠在給定的電機參數(shù)下精確計算電機的性能，基于有限元模型結(jié)合智能優(yōu)化算法進行全局尋優(yōu)，可獲得理想的優(yōu)化結(jié)果，但該方法仿真時間過長、計算成本過高。

為了降低計算成本，基于代理模型的優(yōu)化方法被應(yīng)用于電機的優(yōu)化設(shè)計中，該方法是針對少數(shù)樣本數(shù)據(jù)建立優(yōu)化變量與優(yōu)化目標(biāo)之間的計算模型。文獻[6]在確定合理的極弧系數(shù)前提下，利用響應(yīng)面法構(gòu)建了齒槽轉(zhuǎn)矩與電機參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，最后通過遺傳算法得到了優(yōu)化結(jié)果。響應(yīng)面模型的建立相對簡單，但處理多目標(biāo)優(yōu)化問題時，難以保證模型精度。文獻[7]利用支持向量機建立了AFPMM目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，然后利用混沌文化差分進化算法對電機的轉(zhuǎn)矩密度及轉(zhuǎn)矩脈動進行優(yōu)化。文獻[8]以軸向磁通輪轂電機電磁力波幅值和平均轉(zhuǎn)矩為優(yōu)化目標(biāo)，通過反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了電機結(jié)構(gòu)參數(shù)與優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型，采用多目標(biāo)遺傳算法進行優(yōu)化。文獻[9]利用差分進化算法和Kriging模型提出一種二級代理輔助多目標(biāo)優(yōu)化算法，選擇電機的8個幾何變量作為優(yōu)化變量，進行敏感度分析，然后通過所提出的算法實現(xiàn)了AFPMM的效率和成本優(yōu)化。雖然采用代理模型能夠減少三維有限元仿真次數(shù)，但整個優(yōu)化過程仍需要較長時間。

為了解決有限元仿真計算耗時長的問題，文獻[10]提出了一種“等效磁路模型+算法尋優(yōu)”的優(yōu)化方法。該方法通過等效磁路模型獲得了定子無磁軛模塊化AFPMM的磁場分布，并在此基礎(chǔ)上，基于遺傳算法綜合考慮電機電磁與機械性能約束，建立了以電機轉(zhuǎn)矩密度與效率為目標(biāo)的優(yōu)化模型，借助遺傳算法工具箱進行優(yōu)化處理，獲取了單目標(biāo)和多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果。文獻[11]應(yīng)用等效磁路法提出了定子模塊化AFPMM的磁場計算模型，并利用該模型對電機效率進行優(yōu)化設(shè)計，所得結(jié)果與有限元法計算結(jié)果進行對比，驗證了等效磁路法的正確性與優(yōu)化設(shè)計的有效性。相對于有限元，等效磁路計算時間短，但等效磁路模型的構(gòu)建比較復(fù)雜。

為了簡化建模過程，避免優(yōu)化模型過于復(fù)雜，文獻[12] 基于子域法建立了AFPMM電磁轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩的解析模型，并將該模型與徑向變極弧系數(shù)法相結(jié)合，對電機的轉(zhuǎn)矩展開優(yōu)化。文獻[13]針對定子無磁軛模塊化AFPMM建立了氣隙磁場模型，并利用該模型推導(dǎo)了 Halbach 陣列最優(yōu)軸向充磁系數(shù)的解析表達式，通過計算得到能使電機電磁轉(zhuǎn)矩達到最大時的軸向充磁系數(shù)。文獻[12-13]所用的優(yōu)化方法在保證精度的基礎(chǔ)上，簡化了建模過程，但是該方法難以處理多變量、多目標(biāo)優(yōu)化問題。

為解決上述優(yōu)化方法存在計算耗時長、建模復(fù)雜、難以實現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化的問題，本文提出了一種磁場解析模型與遺傳算法結(jié)合的AFPMM多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方法。該方法無需使用有限元仿真，可大量減少計算時間，且能夠同時選取多個優(yōu)化變量對電機進行優(yōu)化設(shè)計。首先，通過子域法建立AFPMM的磁場解析模型，并利用麥克斯韋張量法計算電機的電磁轉(zhuǎn)矩；然后，將解析結(jié)果與有限元進行對比，以驗證該解析模型的準(zhǔn)確性；最后，以電磁轉(zhuǎn)矩平均值和電機有效成本作為優(yōu)化目標(biāo)，利用多目標(biāo)遺傳算法進行尋優(yōu)，以獲取電機結(jié)構(gòu)參數(shù)的最優(yōu)組合。通過有限元分析，驗證了本文所提出的解析模型結(jié)合遺傳算法實現(xiàn)AFPMM多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計的有效性。

1 AFPMM磁場解析模型

本文所研究的AFPMM為雙定子單轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，圖1給出了該電機的結(jié)構(gòu)示意圖。為了簡化磁場解析計算，假設(shè)AFPMM定轉(zhuǎn)子鐵心磁導(dǎo)率無窮大，同時忽略電機的端部效應(yīng)。

圖1 AFPMM拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Topology of the AFPMM

1.1 空載磁場解析模型的建立

將AFPMM在平均半徑處沿周向展開，可得到電機的二維等效模型，如圖2所示。圖中x軸、y軸分別代表AFPMM的周向、軸向方向。為了簡化計算，在計算初期忽略了定子開槽的影響。

氣隙處(區(qū)域1)磁通密度B1與永磁體處(區(qū)域2)磁通密度B2可分別表示為：

(1)

式中：H1為氣隙處磁場強度；H2為永磁體處磁場強度；Br為剩磁密度；μ0為真空磁導(dǎo)率；μr為永磁體相對磁導(dǎo)率；M為永磁體磁化強度。

永磁體磁化強度函數(shù)可表示為

(2)

式中：

(3)

(4)

其中：n為磁場空間諧波次數(shù)；αp為永磁體極弧系數(shù)；τp為極距。

在永磁體區(qū)域和氣隙區(qū)域，標(biāo)量磁勢φ滿足拉普拉斯方程：

(5)

磁場強度可表示為：

(6)

磁場在氣隙和永磁體兩部分的分布函數(shù)為偶函數(shù)，因此，拉普拉斯方程的通解形式可表示為：

(7)

(8)

空載磁場解析模型滿足下列邊界條件[14]：

(9)

根據(jù)上述邊界條件，可以求得式(7)和式(8)中的待定系數(shù)為：

(10)

式中

Δ=μrcosh(unhm/2)sinh[un(L-hm/2)]+

cosh[un(L-hm/2)]sinh(unhm/2)。

(11)

將式(6)、式(7)代入式(1)中，可求得空載氣隙磁密為：

sinh[un(L-y)]sin(unx)；

(12)

cosh[un(L-y)]cos(unx)。

(13)

上述推導(dǎo)得到了AFPMM無槽時氣隙磁通密度解析表達式。為了考慮定子開槽的影響，本文采用保角映射方法對上述表達式進行修正。保角映射的過程如下：映射過程包含Z、W、T三個復(fù)平面，Z、W和W、T復(fù)平面之間保角變換[15]可以表示為：

(14)

(15)

式中

(16)

式中：g為氣隙長度；b0為定子槽口寬度。

復(fù)數(shù)形式的氣隙相對磁導(dǎo)率可以表示為

(17)

w可通過求解以下方程得到：

(18)

(19)

(20)

式中τs為槽距。

考慮定子開槽，AFPMM空載氣隙磁通密度為：

(21)

1.2 電樞反應(yīng)磁場解析模型的建立

在計算AFPMM電樞反應(yīng)磁場時，將電樞繞組等效為槽口處的等效電流片，圖3給出了AFPMM電樞反應(yīng)磁場二維等效模型。

定子三相繞組合成電流片線電流密度[16-17]的表達式為

(22)

式中：

(23)

v=3c1-k。

(24)

槽開口系數(shù)可表示為

(25)

繞組系數(shù)可表示為

(26)

式中N的計算方法為

(27)

式中：k為時間諧波次數(shù)；f為頻率；p為極對數(shù)；Rs為定子鐵心平均半徑；Nph為每相串聯(lián)匝數(shù)；Ik為各次諧波電流幅值；αe為槽距電角；m為電機相數(shù)；q為每極每相槽數(shù)；Q為定子槽數(shù)；c、d為互質(zhì)整數(shù)；c1=0，±1，±2，±3，…。

在氣隙區(qū)域矢量磁位Az滿足拉普拉斯方程：

(28)

磁通密度可以表示為：

(29)

矢量磁位Az通解為

cos(2kπft+vpx/Rs)。

(30)

電樞磁場解析模型滿足下列邊界條件：

(31)

根據(jù)上述邊界條件，可以求得

(32)

根據(jù)上述推導(dǎo)可以得出電樞反應(yīng)磁場單獨作用時，氣隙磁密為：

(33)

(34)

AFPMM的電磁轉(zhuǎn)矩可以采用麥克斯韋張量法計算，具體可以表示為

(35)

式中Ri、Ro分別為定子鐵心內(nèi)外半徑值。

2 有限元驗證

為了驗證解析模型正確性，建立了AFPMM有限元模型，電機的主要參數(shù)如表1所示。

表1 AFPMM的主要參數(shù)

利用有限元軟件分別計算了電機在理想空載和電樞磁場作用時的氣隙磁密，并與解析計算結(jié)果進行對比，如圖4、圖5所示。根據(jù)對比結(jié)果可以看出，解析計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果吻合較好，證明了該磁場解析模型的正確性。

圖4 空載磁場氣隙磁密分布Fig.4 Air gap flux density distribution of no-load magnetic field

圖5 電樞反應(yīng)磁場氣隙磁密分布Fig.5 Air gap flux density distribution of armature reaction magnetic field

電磁轉(zhuǎn)矩有限元計算結(jié)果和解析計算結(jié)果如圖6所示，通過有限元和解析計算出的電磁轉(zhuǎn)矩平均值基本一致，但電磁轉(zhuǎn)矩脈動存在差異，這主要是利用保角映射考慮開槽引起。

圖6 AFPMM電磁轉(zhuǎn)矩波形Fig.6 Electromagnetic torque waveform of the AFPMM

3 基于解析模型的多目標(biāo)優(yōu)化

在AFPMM的優(yōu)化設(shè)計中，轉(zhuǎn)矩、效率、成本、體積、重量等均可作為電機的優(yōu)化目標(biāo)，本文選取AFPMM的電磁轉(zhuǎn)矩平均值Tave和有效成本Cost為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化目標(biāo)可定義為

(36)

AFPMM有效成本可以表示為

Cost=CfeWfe+CpmWpm+CcuWcu。

(37)

式中：Cfe、Cpm、Ccu分別為非晶合金、永磁體、銅線的價格，可按25元/kg、350元/kg、70元/kg計算；Wfe、Wpm、Wcu分別為非晶合金、永磁體、銅線的重量。

為了獲得更優(yōu)的電磁轉(zhuǎn)矩與有效成本的設(shè)計方案，利用MATLAB仿真軟件中的遺傳算法工具箱進行全局尋優(yōu)，電機的優(yōu)化流程如圖7所示。

圖7 優(yōu)化設(shè)計流程圖Fig.7 Flow chart of optimization design

在優(yōu)化過程中，優(yōu)化變量應(yīng)選取與優(yōu)化目標(biāo)直接相關(guān)的電機結(jié)構(gòu)參數(shù)。本文選取永磁體極弧系數(shù)αp、氣隙長度g、永磁體厚度hm、內(nèi)外徑比值kd、定子外徑Do為優(yōu)化變量，其取值范圍如表2所示。

表2 優(yōu)化變量及其取值范圍

在電機設(shè)計過程中，通常將定子鐵心磁密設(shè)計在定子鐵心材料BH曲線“膝點”附近，本文所述的AFPMM定子鐵心采用非晶合金材料，其BH曲線“膝點”位置磁密為1.3 T。定子鐵心中磁密可表示為

(38)

約束條件可表示為

Bt≤1.3。

(39)

式中：KFe為鐵心疊壓(卷繞)系數(shù)；τt為齒距。

4 優(yōu)化結(jié)果及有限元驗證

本文利用多目標(biāo)遺傳算法進行尋優(yōu)，以獲取優(yōu)化結(jié)果。通過多目標(biāo)遺傳算法得到的Pareto曲線如圖8所示。

圖8 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果Fig.8 Multi-objective optimization result

選擇Pareto解集中“Δ”作為最終解，因為該點能夠有效地在轉(zhuǎn)矩增大的同時降低成本。通過有限元對優(yōu)化前后的電磁轉(zhuǎn)矩進行對比，如圖9所示。表3為多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果與原始設(shè)計對比，可以看出，優(yōu)化結(jié)果與有限元計算結(jié)果非常接近。優(yōu)化后，電磁轉(zhuǎn)矩平均值由17.71 N·m增加到19.82 N·m，增加了11.91%，AFPMM有效成本由622元減少到561元，減少了9.81%。

圖9 優(yōu)化前后電磁轉(zhuǎn)矩對比Fig.9 Electromagnetic torque contrast before and after optimization

表3 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果與原始設(shè)計結(jié)果對比

5 結(jié) 論

本文利用子域法建立了7 kW非晶合金AFPMM磁場解析模型，然后借助麥克斯韋張量法計算了電機的電磁轉(zhuǎn)矩，并利用有限元仿真驗證了模型的準(zhǔn)確性。借助上述模型，本文以AFPMM的電磁轉(zhuǎn)矩平均值與有效成本為優(yōu)化目標(biāo)，利用遺傳算法進行尋優(yōu)，優(yōu)化后AFPMM電磁轉(zhuǎn)矩平均值增加了11.91%，有效成本降低了9.81%。優(yōu)化結(jié)果表明，利用磁場解析模型結(jié)合遺傳算法可以在給定的約束條件下快速、有效地實現(xiàn)AFPMM的優(yōu)化設(shè)計。