3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的隔振性能分析驗(yàn)證

劉建坤，南江紅，翁藝航

(上海航天電子技術(shù)研究所，上海 201109)

0 引言

航天器在發(fā)射過(guò)程中會(huì)受到運(yùn)載火箭的振動(dòng)作用，艦載或車(chē)載的雷達(dá)天線也會(huì)受到載體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的振動(dòng)作用，這種振動(dòng)會(huì)對(duì)其帶來(lái)不利影響[1]。因此，采取適當(dāng)?shù)拇胧?duì)航天器等設(shè)備進(jìn)行隔振是很有必要的[2]。目前主要采用在設(shè)備和載體之間安裝穩(wěn)定平臺(tái)的方法進(jìn)行隔振[3-4]。現(xiàn)在的穩(wěn)定平臺(tái)結(jié)構(gòu)形式多采用兩軸或三軸串聯(lián)機(jī)構(gòu)穩(wěn)定平臺(tái)，主要用來(lái)隔離動(dòng)態(tài)載體的搖擺運(yùn)動(dòng)[5-6]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)形式的穩(wěn)定平臺(tái)大多采用六執(zhí)行器的Sterwart平臺(tái)結(jié)構(gòu)，由于載體的縱搖、橫搖和垂蕩對(duì)設(shè)備的影響最大[7]，在現(xiàn)有穩(wěn)定平臺(tái)上再串聯(lián)移動(dòng)裝置會(huì)導(dǎo)致整個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)過(guò)于龐大和復(fù)雜。因此需要設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔的動(dòng)態(tài)載體穩(wěn)定平臺(tái)。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有高精度、高剛度、高承載能力、結(jié)構(gòu)對(duì)稱且簡(jiǎn)潔的特點(diǎn)，其理論越來(lái)越成熟、并且在多個(gè)領(lǐng)域得到了應(yīng)用[8]。3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)是眾多并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的一種，具有3個(gè)自由度，兩個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)和一個(gè)方向的平動(dòng)，近年來(lái)對(duì)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究主要集中在理論分析與部分領(lǐng)域的應(yīng)用[9-12]。所以本文選用了3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為動(dòng)態(tài)載體穩(wěn)定平臺(tái)，其可安裝于運(yùn)載火箭和航天器之間，也可安裝于雷達(dá)天線和艦船或載車(chē)之間作為主動(dòng)隔振平臺(tái)。本文對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行了隔振原理分析與仿真驗(yàn)證。

1 3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)穩(wěn)定平臺(tái)概述

3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示，包括上平臺(tái)、下平臺(tái)、3個(gè)構(gòu)型相同的SPR(球副-移動(dòng)副-轉(zhuǎn)動(dòng)副)支鏈。每個(gè)支鏈由3個(gè)運(yùn)動(dòng)副和2個(gè)連桿組成。連桿通過(guò)移動(dòng)副連接，支鏈一端與上平臺(tái)通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，支鏈另一端與下平臺(tái)通過(guò)球副連接，3個(gè)支鏈均勻布置。下平臺(tái)固連于運(yùn)動(dòng)基座上，精密設(shè)備安裝于上平臺(tái)，通過(guò)控制3個(gè)支鏈的移動(dòng)副來(lái)改變上平臺(tái)的位置和姿態(tài)，可實(shí)現(xiàn)兩自由度轉(zhuǎn)動(dòng)和一自由度平動(dòng)。

圖1 3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)

建立坐標(biāo)系如圖2所示，圖中{U}是全局坐標(biāo)系，連體坐標(biāo)系{B}與下平臺(tái)固連，坐標(biāo)原點(diǎn)位于下平臺(tái)的中心，其中y軸指向支鏈1與下平臺(tái)的鉸接點(diǎn)b1，z軸垂直于下平臺(tái)向上，x軸的方向按笛卡兒坐標(biāo)系確定，連體坐標(biāo)系{P}與上平臺(tái)固連，坐標(biāo)原點(diǎn)位于上平臺(tái)的中心，其中y軸指向支鏈1與上平臺(tái)的鉸接點(diǎn)a1，z軸垂直于上平臺(tái)向上，x軸的方向按笛卡兒坐標(biāo)系確定。上平臺(tái)具有繞x和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和沿z軸的平動(dòng)自由度。將該機(jī)構(gòu)應(yīng)用于穩(wěn)定平臺(tái)時(shí)的基本原理為：下平臺(tái)的姿態(tài)發(fā)生變化，通過(guò)調(diào)整3個(gè)支鏈的長(zhǎng)度使上平臺(tái)的高度和姿態(tài)保持不變。

圖2 3-SPR機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

如圖2所示，矢量L1、L2、L3分別表示3個(gè)支鏈的方向和長(zhǎng)度；e1、e2、e3分別表示3個(gè)支鏈的單位矢量；n1、n2、n3分別表示3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的單位矢量；上平臺(tái)和下平臺(tái)分別是半徑為rb和ra的圓。

2 位置反解

(1)

式中：cα為cosα；cβ為cosβ；cγ為cosγ；sα為sinα；sβ為sinβ；sγ為sinγ。

(2)

(3)

根據(jù)機(jī)構(gòu)的連接關(guān)系可得到支鏈?zhǔn)噶糠匠虨?/p>

(4)

其中i=1，2，3；ai表示下平臺(tái)球副中心相對(duì)于下平臺(tái)中心的位置矢量；bi表示上平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)副中心相對(duì)于上平臺(tái)中心的位置矢量。

3 位姿約束方程

在3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的布置限制了上平臺(tái)和下平臺(tái)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)自由度，因此需要得到6個(gè)自由度參數(shù)的相對(duì)函數(shù)關(guān)系，即位姿約束方程。分析該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)，得到Li⊥ni，即Li·ni=0。所以，對(duì)3個(gè)支鏈進(jìn)行計(jì)算可得6個(gè)自由度參數(shù)的函數(shù)關(guān)系。

(5)

4 速度分析

vbi=vP+ωP×bi

(6)

vai=vB+ωB×ai

(7)

對(duì)式(4)兩邊求導(dǎo)數(shù)可得：

(8)

(9)

對(duì)3個(gè)支鏈可得

(10)

對(duì)于第i個(gè)支鏈，鉸點(diǎn)bi的速度還可表示為

(11)

上式兩邊同時(shí)乘ni可得

0=ni(vbi-vai)

(12)

對(duì)3個(gè)支鏈可得：

(13)

JnP和JnB是約束映射矩陣，

由式(12)和式(13)可得：

(14)

通過(guò)慣性組件可測(cè)得上平臺(tái)和下平臺(tái)的線速度和角速度，所以根據(jù)上式即可算出每個(gè)支鏈應(yīng)該輸出的驅(qū)動(dòng)速度。

5 穩(wěn)定原理分析

當(dāng)下平臺(tái)受到振動(dòng)姿態(tài)發(fā)生變化時(shí)，若要上平臺(tái)保持水平且高度不變，則上平臺(tái)坐標(biāo)系{P}的z軸與坐標(biāo)系{U}的z軸同向。即

(15)

(16)

所以可得歐拉角α和β為：

β=arcsin(c31)

(17)

(18)

6 靜力特性分析

該并聯(lián)機(jī)構(gòu)受到的外力為：上平臺(tái)受到力F2和力矩M2，下平臺(tái)受到力F1和力矩M1。設(shè)上平臺(tái)的質(zhì)量為m2，下平臺(tái)質(zhì)量為m1，忽略連桿的質(zhì)量。設(shè)支鏈i中移動(dòng)副的推力為fi。取支鏈i為研究對(duì)象，支鏈i的球副受到下平臺(tái)的力，將該力分解為沿支鏈的力fi和垂直于支鏈的力fpi，支鏈i的轉(zhuǎn)動(dòng)副受到上平臺(tái)的力和力矩，并將該力分解為沿支鏈的力fdi和沿轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的力fvi，還有力矩Ti，如圖3所示，根據(jù)力的平衡公式得

fiei-fdiei+fpi+fvini=0

(19)

圖3 隔支鏈i受力圖

根據(jù)定義ei⊥ni，所以fi=fdi，fpi=-fvini，即fpi的大小等于fvi，方向與ni相反。

取下平臺(tái)為研究對(duì)象，下平臺(tái)受到力F1(含重力m1g)、力矩M1和來(lái)自3個(gè)支鏈的力，下平臺(tái)受力如圖4所示。

圖4 下平臺(tái)受力圖

根據(jù)力和力矩的平衡公式得：

(20)

(21)

H為下平臺(tái)和支鏈主動(dòng)力和約束力的靜力傳遞矩陣。H是6維方陣，當(dāng)H是非奇異矩陣時(shí)則可得到逆矩陣H-1。根據(jù)式(19)可得到該并聯(lián)機(jī)構(gòu)穩(wěn)定平臺(tái)的3個(gè)主動(dòng)力、3個(gè)結(jié)構(gòu)約束力和下平臺(tái)所受的外力、外力矩矢量之間的力傳遞矩陣及其逆矩陣。

7 穩(wěn)定平臺(tái)控制策略分析

該并聯(lián)機(jī)構(gòu)穩(wěn)定平臺(tái)有3個(gè)分支，每個(gè)分支為一個(gè)驅(qū)動(dòng)器，驅(qū)動(dòng)器是主動(dòng)隔振系統(tǒng)的關(guān)鍵部件，要根據(jù)響應(yīng)速度、輸出力大小、驅(qū)動(dòng)行程等因素確定驅(qū)動(dòng)器方案。本文采用電動(dòng)缸作為驅(qū)動(dòng)器，電動(dòng)缸結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、技術(shù)成熟、輸出力大且響應(yīng)快速，非常適用于低頻主動(dòng)隔振。

首先對(duì)單個(gè)驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行控制。單個(gè)驅(qū)動(dòng)器的控制是穩(wěn)定平臺(tái)整體控制的基礎(chǔ)。根據(jù)穩(wěn)定平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型，當(dāng)經(jīng)過(guò)總控制器計(jì)算出每個(gè)驅(qū)動(dòng)器所需輸出的位移和力后。單個(gè)分支的控制器需發(fā)出精確的信號(hào)使驅(qū)動(dòng)器輸出所需的位移和力。單個(gè)驅(qū)動(dòng)器的基本控制框圖如圖5所示，圖中Xd是所需輸出的位移信號(hào)，X是實(shí)際輸出的位移信號(hào)，E是振動(dòng)干擾信號(hào)，Kp、Td、Ti分別是比例常數(shù)、微分常數(shù)、積分常數(shù)。

圖5 驅(qū)動(dòng)器基本控制框圖

根據(jù)牛頓-歐拉法對(duì)該穩(wěn)定平臺(tái)建立閉環(huán)動(dòng)力學(xué)模型[13]，可以在通過(guò)慣性組件測(cè)量上平臺(tái)和下平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上求得所需的驅(qū)動(dòng)力，該模型可以表示為

(22)

式中：M為上平臺(tái)質(zhì)量矩陣；V為速度矩陣；G為重力矩陣；H為力映射矩陣；F為力矩陣；B為下平臺(tái)質(zhì)量矩陣。

根據(jù)PID控制算法，

(23)

式中Kd、Kp、Ki分別為微分常數(shù)、比例常數(shù)、積分常數(shù)。

根據(jù)穩(wěn)定平臺(tái)控制算法，可以畫(huà)出該穩(wěn)定平臺(tái)的控制框圖，如圖6所示。

圖6 穩(wěn)定平臺(tái)控制框圖

根據(jù)穩(wěn)定平臺(tái)的控制算法和控制框圖可以在仿真軟件中建立主動(dòng)隔振系統(tǒng)的控制框圖，并且進(jìn)行仿真。

8 算例

根據(jù)穩(wěn)定平臺(tái)控制框圖，在仿真軟件中對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，驗(yàn)證該穩(wěn)定平臺(tái)的主動(dòng)隔振性能。首先確定穩(wěn)定平臺(tái)的結(jié)構(gòu)參數(shù)：ai=171mm，bi=215mm，每個(gè)支鏈li的最短距離是258mm，最長(zhǎng)距離是308mm。對(duì)穩(wěn)定平臺(tái)施加正弦振動(dòng)，頻率是10Hz，即下平臺(tái)受到頻率是10Hz的沿z向的振動(dòng)激勵(lì)。為了保證上平臺(tái)的穩(wěn)定，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)和穩(wěn)定原理分析計(jì)算可得每個(gè)支鏈li的長(zhǎng)度變化及驅(qū)動(dòng)速率。對(duì)穩(wěn)定平臺(tái)施加主動(dòng)隔振控制時(shí)，穩(wěn)定平臺(tái)上平臺(tái)和下平臺(tái)的振動(dòng)位移對(duì)比，如圖7所示，穩(wěn)定平臺(tái)上平臺(tái)和下平臺(tái)的振動(dòng)速度對(duì)比，如圖8所示(本刊為黑白印刷，如有疑問(wèn)請(qǐng)咨詢作者。)。

圖7 下平臺(tái)和上平臺(tái)振動(dòng)位移對(duì)比

圖8 上平臺(tái)和下平臺(tái)振動(dòng)速度對(duì)比

當(dāng)下平臺(tái)受到搖擺振動(dòng)激勵(lì)時(shí)，設(shè)振動(dòng)頻率是10Hz，且繞y軸振動(dòng)，下平臺(tái)的振動(dòng)曲線如圖9所示，下平臺(tái)的角速度如圖10所示。為了保證上平臺(tái)的穩(wěn)定，每個(gè)支鏈li的長(zhǎng)度變化如圖11所示，每個(gè)支鏈的驅(qū)動(dòng)速度如圖12所示。對(duì)穩(wěn)定平臺(tái)施加主動(dòng)隔振控制時(shí)，由于該并聯(lián)機(jī)構(gòu)穩(wěn)定平臺(tái)的固有特性，上平臺(tái)的姿態(tài)可以穩(wěn)定不變，但是上平臺(tái)在水平方向會(huì)有移動(dòng)，如圖13所示，上平臺(tái)的移動(dòng)速度如圖14所示，穩(wěn)定平臺(tái)上平臺(tái)和下平臺(tái)的振動(dòng)角速度對(duì)比如圖15所示。

圖9 下平臺(tái)繞y軸搖擺

圖10 下平臺(tái)的角速度

圖11 每個(gè)支鏈的長(zhǎng)度變化

圖12 每個(gè)支鏈的驅(qū)動(dòng)速度

圖13 上平臺(tái)位移

圖14 上平臺(tái)移動(dòng)速度

圖15 上平臺(tái)角速度與下平臺(tái)角速度對(duì)比

由圖7-圖15對(duì)比可知，對(duì)穩(wěn)定平臺(tái)施加主動(dòng)隔振控制后，穩(wěn)定平臺(tái)的隔振效果比較明顯。保證了上平臺(tái)的穩(wěn)定，即保證了安裝在上平臺(tái)的航天器或者雷達(dá)天線的穩(wěn)定。

9 結(jié)語(yǔ)

本文提出采用3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為穩(wěn)定平臺(tái)進(jìn)行主動(dòng)隔振控制，根據(jù)穩(wěn)定原理在3-SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)上建立坐標(biāo)系，推導(dǎo)上平臺(tái)和下平臺(tái)的姿態(tài)變換矩陣，建立機(jī)構(gòu)的位姿約束方程。通過(guò)速度分析，建立速度映射矩陣，分析穩(wěn)定原理，推導(dǎo)機(jī)構(gòu)的靜力平衡方程，得到機(jī)構(gòu)的靜力傳遞矩陣，可計(jì)算機(jī)構(gòu)在任意穩(wěn)定姿態(tài)下的支鏈主動(dòng)力和結(jié)構(gòu)約束力。本文分析了該穩(wěn)定平臺(tái)的主動(dòng)隔振控制策略，確定了控制算法和控制框圖。通過(guò)算例證明了對(duì)該穩(wěn)定平臺(tái)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力特性和控制策略分析的正確性。在振源的振動(dòng)參數(shù)已知，即下平臺(tái)的姿態(tài)由慣性組件測(cè)得的條件下，可通過(guò)該機(jī)構(gòu)的姿態(tài)變換矩陣、位姿約束方程和支鏈方程計(jì)算得到每個(gè)支鏈的長(zhǎng)度，從而使上平臺(tái)保持水平和高度不變。通過(guò)對(duì)該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)和靜力特性分析，為該并聯(lián)機(jī)構(gòu)穩(wěn)定平臺(tái)的工程應(yīng)用和優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了理論基礎(chǔ)。