基于數據驅動的控制器綜合性能優化

王志國，陳軍軍，劉 飛

(江南大學物聯網工程學院，江蘇 無錫 214122)

0 引言

在石油、化工及輕工等工業過程中，運行著眾多類型的控制回路，其性能優劣直接影響整個控制系統的精度。這些回路的控制參數一般都會在系統投入初期被仔細地調節。但隨著時間推移，構成控制系統的各個環節本身、操作環境以及工作點等可能會發生變化。這就需要對控制性能進行實時監控，并在性能不良時校正控制器。近年來，數據驅動控制器校正和設計方法因其無需系統辨識過程而引起廣泛關注[1]。

基于數據驅動的控制器校正方法是一種無模型方法，可以利用系統工作數據對控制器參數直接調節。1994年，Hjalmarsson等[2]提出了迭代反饋校正方法(iterative feedback tuning，IFT)，利用多次閉環試驗數據并基于梯度迭代實現控制器參數整定。隨后，Campi等[3]引入虛擬參考信號，通過系統輸入端的實際數據與虛擬輸入數據辨識控制器參數，也就是虛擬參考反饋校正(virtual reference feedback tuning，VRFT)方法。該方法為 “一次性”數據驅動方法，避免了IFT因多次試驗造成的成本和時間浪費。2018年，Boeira等[4]將VRFT拓展到多輸入/多輸出系統中，實現了多變量控制器參數的無偏估計，并將其與預測控制進行了性能對比。另外，針對頻繁負載擾動問題，Eckhard等[5]通過引入虛擬擾動信號，改善了VRFT方法在擾動環境下的適應能力。2019年，Ikezaki等[6]通過虛擬一個內部模型結構，利用閉環輸出數據直接辨識控制器參數，提出了虛擬內模調整方法(virtual internal model tuning，VIMT)。該方法只需一組閉環輸出數據即可實現，并且規避了VRFT求解期望傳遞函數的逆和輸入功率譜的過程。

在上述數據驅動的控制器校正方法中，參考模型的選擇會直接影響實際控制系統的性能。文獻[1]提出以二階系統加延遲環節作為參考模型的基本形式，但對具體的上升時間與阻尼系數如何選擇沒有深入解釋。文獻[6]通過對損失函數頻域特性以及靈敏度函數的分析，指出參考模型的響應速度快于初始響應速度可提高校正后控制器的性能。文獻[7]提出一種選取參考模型的指導原則，即參考模型需要包含系統非最小相位零點，并且其相對度不能小于被控對象的相對度(因果關系)。但是該方法的具體實施過程比較復雜，且所選取的參考模型無法保證控制系統的性能為最優。

與此同時，控制性能評估(control performance assessment，CPA)技術提供了多種不同的、用于評價控制器性能的指標。其中，基于最小方差(minimum variance，MV)基準的指標為一種隨機性能指標，描述控制器對隨機擾動的抑制能力[8]。而絕對誤差積分(integral absolute error，IAE)為一種確定性能指標，用來描述控制器的跟蹤能力以及抗擾動能力[9]。為使所設計的控制器獲得最佳的控制性能，本文通過融合IAE與MV基準構造新的綜合性能指標，提出一種數據驅動的控制器校正方法。主要創新工作包括：①通過分析VRFT與內模控制(internal model control，IMC)之間的聯系，提出一種VRFT參考模型的結構選擇方法；②構造一種綜合性能指標，并基于該指標確定參考模型中的濾波器參數；③從實現方式和控制性能兩個方面，將所提方法與傳統比例積分微分(proportional integral differential,PID)控制器以及IMC-PID控制結果進行對比，驗證了其優越性。

1 數據驅動的控制器校正原理

一般而言，基于數據驅動的控制器設計所參考的控制系統如圖1所示。

圖1 控制系統示意圖

圖1中：r(t)為輸入的參考信號；P(q-1)為模型未知的被控對象；y(t)為輸出信號；u(t)為控制信號，這里也是被控對象的輸入信號；Tdes(q-1)為參考模型；ydes(t)為期望的輸出信號；C(ρ,q-1)為控制器，具有以下一般性結構。

(1)

式中：ρ為可調控制參數ρi組成的向量;q-1為后移算子。

常用的PID控制器可看作式(1)的特殊形式。對于式(2)所示結構PID控制器，令式(3)成立，則包含有控制器參數ρ1、ρ2、ρ3的一般結構控制器表達式如式(5)所示。

(2)

式中：Δ=1-q-1為差分算子;kp為比例增益;Ti為積分時間常數;Td為微分時間常數;Ts表示采樣時間。

令：

(3)

(4)

圖1中，系統閉環輸出與期望輸出分別表示為：

(5)

式中：T(q-1)為實際系統的閉環傳遞函數。

T(q-1)的形式為：

(6)

基于數據驅動的控制器設計目標是實際輸出信號完全跟蹤期望信號。因此，定義損失函數為：

(7)

最小化J(ρ)即可獲得最優控制器參數ρ*。

(8)

(9)

(10)

(11)

文獻[3]已經指出，在引入合適的濾波器L(q-1)對觀測輸入、輸出數據進行濾波后，以J1(ρ)為損失函數的優化問題可無限接近以J(ρ)為損失函數的優化問題。最佳濾波器L(q-1)形式為：

L(q-1)=Tdes(q-1)[1-Tdes(q-1)]

(12)

此時，濾波后的觀測數據表示為{uL(t),yL(t)}，且有：

(13)

結合式(9),可得濾波后的系統虛擬誤差信號和虛擬輸入信號，為：

(14)

此時，損失函數J1(ρ)重新整理為：

(15)

(16)

其中：

φL(t)=β(q-1)[Tdes-1(q-1)-1]y(t)L(q-1)

2 參考模型的結構選擇

VRFT方法中，參考模型Tdes(q-1)的選擇直接影響實際控制系統的性能。IMC作為史密斯預估控制的拓展，具有很好的魯棒性和跟蹤性能。理想內模控制器作用下的閉環傳遞函數形式符合文獻[7]提出的選取VRFT參考模型的指導原則。因此，可以通過建立VRFT與IMC之間的聯系，給出VRFT參考模型的基本形式。

根據VRFT的設計過程，考慮損失函數J1=0的理想情況。此時，控制系統的實際輸出完全跟隨期望輸出，對應的閉環傳遞函數與參考模型相等，即T(q-1)=Tdes(q-1)。根據式(6)，可得最優控制器C*(ρ,q-1)為：

(17)

(18)

由IMC設計原則[9]，可得內模控制器CIMC(ρ,q-1)為：

(19)

式中：F(q-1)為一階濾波器，

(20)

式中：ε為濾波器參數;Z[·]為Z變換;F(s)為復頻域中一階濾波器(文中所有涉及復變量s的表達式都是指在復頻域中表現形式，可以通過反拉氏變換、Z變換轉為時域或頻域的表現形式)。

通過對IMC的分析可知，內模控制器CIMC(ρ,q-1)與一般反饋控制器C(ρ,q-1)的關系如下：

(21)

(22)

根據IMC原則設計的最優反饋控制器形式為：

(23)

比較式(17)與式(23)可知，如果取式(24),即當理想內模控制器作用下的期望閉環傳遞函數TIMC-des(q-1)與VRFT中所選擇的參考模型相同時，由IMC原則所設計的反饋控制器和VRFT方法所得最優控制器一致。

(24)

因此，可將理想內模控制器作用下的期望閉環傳遞函數作為VRFT的參考模型的基本形式。

考慮被控對象為穩定線性時不變過程，且沒有積分環節和負零點，則可用一階時滯(first order plus pure dead time，FOPDT)模型或二階時滯(second order plus pure dead time，SOPDT)模型對其近似：

(25)

(26)

式中：K為被控對象的增益;T1、T2為時間常數;θ為延遲時間。

這樣，只需確定式(24)中的濾波器參數ε與延遲時間θ，便可得到最終的參考模型。

3 基于綜合性能指標確定參考模型

基于性能指標的控制器設計可使控制器性能根據用戶的期望指定。IAE指標和MV指標分別用于評價控制器對設定值的跟蹤能力和對隨機擾動的抑制能力。以其中某一個指標為基準設計的參考模型，在該指標下具有對應的控制性能最優性。

3.1 IAE指標下的最優參考模型

根據IMC-PID的設計規則，過程模型為FOPDT時，設計所得的內模控制器對應的PID控制器參數為：

(27)

同樣地，SOPDF模型對應的控制器參數為：

(28)

此時，圖1所示閉環控制系統中設定值到輸出端的閉環傳遞函數T(s)為：

(29)

將分母的延遲環節進行泰勒近似，即e-θs≈1-θs，可得：

(30)

則系統單位階躍下的輸出響應為：

(31)

拉氏反變換后可得時域下的輸出y(t),為：

(32)

誤差信號e(t)為：

(33)

此時，控制系統取得最優的IAE性能指標I[10]，為：

(34)

為減小使用泰勒近似延遲環節所導致的IAE估計誤差，可通過Pade來近似延遲環節e-θs。其對應的最優IAE性能指標為：

(35)

如已知或估計得到延遲系數θ，則由式(35)可確定最優濾波器參數ε*。相應的最優IAE性能指標下的參考模型表達式為：

(36)

3.2 MV指標下的最優參考模型

MV指標是以控制系統在最小方差控制器作用下的理論最小輸出方差為基準，定義的一種隨機性能指標，用于評價控制系統對隨機擾動的抑制能力。考慮單回路線性控制系統，假設存在高斯白噪聲ξ(t)經擾動模型N(q-1)后疊加于系統輸出端。在不影響隨機控制性能分析的前提下，假設輸入設定值為零，則系統的閉環輸出為：

y(t)=P(q-1)u(t)+N(q-1)ξ(t)

(37)

輸出信號可表示為：

(38)

在最小方差控制器作用下，式(38)中的輸出信號y(t)可取得最小方差。以此為基準，定義基于MV的控制性能評價指標η，為：

(39)

η值可直接利用控制系統閉環輸入輸出估計獲得[8]。η的取值范圍為0～1。該值越接近1,表示控制性能越好；反之，則表示控制性能差。

(40)

式中：Ts為采樣時間。

此時,控制系統的輸出和濾波器參數ε有關。在已知系統延遲系數θ的前提下，調整ε可使控制系統輸出方差向理論最小方差靠近。從基于MV的控制性能指標η上評價，使η達到最大時可以得到最優的濾波器參數ε*。由此可得到MV指標下的最優參考模型,為：

(41)

3.3 基于綜合性能指標的參考模型

根據3.2節分析可知，由IAE指標確定參考模型時所設計的控制系統具有良好的阻尼性和瞬態響應特性，且超調量小。而根據MV基準選定的參考模型對應的控制系統輸出方差小，但魯棒性較差，且控制器信號波動大。結合上述兩種方法各自的特點，定義以下綜合性能指標。

(42)

式中：Iopti為隨ε取值變化的IAE下限值；ηi為隨ε取值變化的MV控制性能指標值；λ為權重系數，0≤λ≤1。

(43)

求解式(43)的最優化問題,即可得到綜合性能指標下的濾波器參數ε*，從而確定參考模型：

(44)

這里需要說明的是，綜合性能指標下獲得的VRFT方法參考模型結構是根據VRFT與IMC的關聯性選擇的。因此，理想情況下VRFT校正的控制器可以取得與內模控制相同的控制效果。但作為數據驅動方法的VRFT不需要對被控對象進行模型辨識。同時，VRFT也減少了內模控制設計過程中由于延遲環節近似處理產生的誤差。因此，采用改進的VRFT方法進行控制器校正后的控制性能相對更好。

4 數據驅動的控制器性能優化算法步驟

本文所提的以綜合性能指標為設計基準、基于數據驅動方法的控制器校正算法實現步驟如下。

①采集在運行控制系統的閉環輸入輸出數據{u(t),y(t)},t=1,2,...,N。

②系統延遲時間θ已知或對其進行估計。

③使用閉環數據估計式(39)的控制性能指標η。如控制性能滿足設計要求，則跳轉到步驟⑩；反之，運行步驟④。

④分別根據式(35)和式(40)，計算濾波器參數ε和性能指標Iopt的關系曲線，以及濾波器參數ε和性能指標η的關系曲線。

⑤選取權重系數λ，然后根據式(43)得到濾波器參數ε和綜合性能指標的關系。

⑥根據式(44)，以最優綜合性能指標對應的濾波器參數ε*確定參考模型Tdes(q-1)。

⑦根據式(12)確定L(q-1)。

⑨更新PID控制器參數，然后跳轉到步驟①。

⑩結束。

5 仿真研究

為驗證所提方法的有效性和優越性，分別通過一個數值仿真和一個實際的發酵過程溫度控制系統對其進行測試。

5.1 數值仿真

考慮一個有時滯的單回路反饋控制系統，被控對象P(s)為：

(45)

均值為零、方差為0.012的隨機擾動信號ξ(t)經過干擾模型N(q-1)疊加于系統的輸出端。

(46)

控制器為PID形式，其初始參數為kp=0.3、Ti=4、Td=0。

圖2為仿真所得系統輸出響應曲線。

圖2 系統輸出響應曲線(仿真)

由圖2可知，在初始PID控制作用下，系統的動態響應存在較大波動，其最大超調量達到69.8%。采集系統閉環輸入輸出數據，估計可得當前系統基于MV的控制性能指標η=0.489 7，實際IAE指標值為I=33.98。結合式(34)，可以得到Skogestad[9]方法下(即ε=θ)系統的IAE下限為20，遠小于當前系統的實際指標IAE值。由此反映出此時系統的累積誤差大，設定值的跟蹤能力弱，控制性能差。

使用本文方法對上述系統進行控制器參數校正。取權重系數λ=0.5，根據第4節的校正算法，計算可得如圖3所示的綜合性能指標隨濾波器參數的變化曲線。

圖3 綜合性能指標隨濾波器參數變化曲線(仿真)

選取綜合性能指標最小值對應的濾波器參數ε=4.7。則VRFT算法所用參考模型可確定為：

(47)

根據第4節步驟⑧，估計可得校正后的控制器參數為kp=0.245 1、Ti=6.754 3、Td=1.157 3。

由圖2可知，校正后控制系統的輸出響應改善明顯，動態響應速度快，且無超調量。此時系統的實際IAE值為13.78、基于MV的控制性能指標η=0.745 2。與初始情況相比，校正后的控制系統性能得到大幅提升。

圖4為由IMC-PID方法設計的控制器和本文方法所得控制器分別作用下的系統閉環輸出響應。

圖4 IMC-PID與所提控制方法的輸出響應曲線(仿真)

由圖4可知，由IMC-PID方法設計的控制器對應的系統閉環輸出超調小。此時，系統的實際IAE值為16.90，MV性能指標η=0.683 5，而本文方法的上升時間與調節時間比IMC-PID更快、IAE值更低、MV指標也更趨近于1。由此說明，本文方法具有更好的響應速度以及跟蹤性能。產生這一區別的原因，正如3.3節所述，IMC-PID設計控制器過程中需要對延遲環節進行Taylor或Pade近似時存在誤差所致。

5.2 工業實例

本節以某工廠啤酒發酵過程溫度控制回路為工業實例進行分析。

發酵罐內部溫度由流經罐體夾套的冷媒流量控制。建模所得發酵液溫度T與冷媒流速Qv之間的關系可以近似為[12]：

(48)

溫度控制回路為單回路PID控制結構。初始PID參數為kp=0.2、Ti=17.857、Td=36.1。

發酵過程溫度控制流程如圖5所示。

圖5 發酵過程溫度控制流程圖

圖6為該實例的系統輸出響應曲線。

圖6 系統輸出響應曲線(實例)

由圖6可知，初始PID控制作用下，系統的動態響應存在較大波動，其最大超調量達到41.3%，調節時間為1 386 s。采集控制系統閉環輸入輸出數據，估計可得當前系統基于MV的控制性能指標η=0.497 4，實際IAE指標值為2 927。作為參照的Skogestad[9]方法下，系統的IAE下限為1 740，遠小于當前系統的實際IAE指標值。由此，反映出此時系統的累積誤差大，設定值的跟蹤能力弱，控制性能差。

根據控制系統閉環輸入輸出數據，使用本文方法對上述系統進行控制器參數校正。取權重系數λ=0.9，可得綜合性能指標隨濾波器參數變化的關系如圖7所示。

選取綜合性能指標取得最小值對應的濾波器參數ε=53，則VRFT算法所用參考模型可確定為：

(49)

利用本文所提方法校正后的控制器參數為kp=0.658 6、Ti=73.916 9、Td=25.919 3。

由圖7可知，校正后控制系統的輸出響應改善明顯，動態響應速度快，且無超調量。此時系統的調節時間為315 s，實際IAE指標值為1 412，基于MV的控制性能指標η=0.763 4。與初始情況相比，校正后的控制系統性能得到大幅提升。

圖7 綜合性能指標隨濾波器參數變化的示意圖(實例)

進一步將本文方法和IMC-PID方法所設計的控制器進行比較。根據IMC-PID規則所設計的PID控制器參數為kp=0.433 1、Ti=63.4、Td=10.354 9。

圖8為IMC-PID與本文方法控制的輸出響應曲線。

圖8 IMC-PID與本文方法控制的輸出響應曲線(實例)

由圖8可知，由IMC-PID方法設計的控制器對應的系統閉環輸出無超調，調節時間為430 s，系統的響應速度比本文所提方法更慢。另外，表1給出了控制器調整前后的性能。

表1 控制器調整前后的性能

由表1可以發現，根據本文方法校正后的控制系統實際的IAE值為1 412，低于IMC-PID控制與初始PID控制下的IAE指標值;而MV性能指標η=0.763 4，也更接近于1，說明本文方法校正后的系統設定值跟蹤能力更好，對擾動的抑制能力更強，具有更好的隨機性能和確定性能。

6 結論

本文將控制性能評估技術與數據驅動控制方法相結合，提出一種數據驅動的控制器綜合性能優化方法。研究結果表明，在所定義綜合性能指標下選定的VRFT參考模型，其數據驅動的控制器校正效果相比一般經驗法確定的PID控制性能改善明顯。同時，本文也將所提方法和基于IMC-PID規則設計的控制器進行了對比。本文方法不僅減少了IMC-PID設計過程中由于延遲環節近似處理產生的誤差，而且作為一種基于數據驅動的方法，整個算法可利用閉環控制系統輸入輸出數據實現，無需已知過程模型信息或系統辨識。本文定義的綜合性能指標是對IAE指標和MV指標進行權重組合，而根據指定控制性能設計出可使控制系統在確定性能和隨機性能同時最優的新指標還需進一步研究。另外，后續還需考慮所定義性能指標能包含對控制信號的約束處理，以降低控制器輸出波動。