圖式表達：助力小學生對數學概念的理解

☉范春輝

當前的概念教學存在著這樣的現象，教師只有描述性定義或者舉例說明概念，加之學生頭腦中對相關概念的印象不深刻，致使他們不能真正地理解概念。通常情況下，小學生在理解概念時可能會觀察到事物的某一點或者是某一個方面，但是還不能對概念進行全面的思考和精準的運用。圖式表達能讓學生直觀體驗教材中的概念，能讓他們在理清概念表達的思路的基礎上實現思維邏輯上的發揮。因此教師在概念教學時就可通過圖式表達指導學生開展進一步的探究，以獲得更多能力與素養的生長。

一、利用圖式表達，使抽象概念形象化

小學生還是以形象思維為主，因此在概念教學中教師要發揮他們形象思維的優勢，可將抽象的數學概念形象化。當概念被形象化之后，不但增強了學生參與的興趣，也對接了他們的認知特點。

以蘇教版小學數學三年級上冊《分數的初步認識》為例，課本上這樣闡述分數的概念，分數表示一個數是另一個數的幾分之幾或一個事件在所有事件中的比例，換言之，把單位一平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫做分數。對小學三年級的學生要直接理解這樣嚴密的語言表達是有一定困難的，因此在教學中教師也不宜直接將這樣的概念拋給學生。要想讓學生能夠理解分數的內涵與意義，教師可借助相關的數學圖式，以幫助學生建構思維上的轉換。

如圖1所示，教師拿出一個月餅并當場平均分成兩份。教師先是問學生，分成的兩份是不是一樣大，每份是不是都是這個月餅的一半，一半用哪個數來表示呢。學生在回答完前面的兩個提問之后，教師總結說，剛才把月餅平均分成2 份，每份是這個月餅的一半，這一半就是它的二分之一。顯然通過圖式教師將分數的概念形象地表述出來。為了進一步地讓學生感知分數，教師讓學生對著圖1說一說二分之一中的這個“二”表示什么意思，“一”又是表示什么意思。接著教師又將月餅平均分為四份，讓他們說一說，每一份可以用怎樣的分數表示。顯然地，借助圖式教師想讓學生認識一般意義上的分數，也就說，讓他們對分數的理解不僅僅局限在特殊的范例上。其實對概念的解讀教師要抓住的就是一些關鍵的詞語，分數的概念中，教師就要指導學生抓住“平均”這樣的字眼。同樣地，教師不是讓他們死記硬背這個概念中要出現這個關鍵詞，而是通過反例教學法，就是展示一些不正確的圖式，進而加強對正確圖式的理解。因此教師出示圖2，并問出這樣的問題：月餅這樣分，能表示二分之一嗎？這是為什么？

（圖1）

（圖2）

可見通過圖式的表達，學生能輕松地理解分數的概念，不需要去記憶復雜的文字表述，他們只需要借助圖式就能說出分數的意義與內涵。同樣地，借助圖式他們也能說出這個概念中需要關注的點。因此圖式表達改變了學生學習概念的方式，增強了學習的效果。

二、運用圖式表達，使復雜概念簡單化

圖式表達之于概念學習就是以圖表等方式將復雜的內容簡單化，能讓學生一目了然［2］。學生看文字不能明白的內涵，通過圖表就能清晰地知道其中的意義。因此在概念教學中，教師要善于將文字的表述轉為圖表，將復雜的表述簡單地呈現。

以蘇教版三年級下冊《小數的初步認識》這一章節為例，教師可以通過不同的語言表述將小數的概念展現出來。首先教師可以從分數的意義說起，比如，把整數1平均分成10份、100份……得到的十分之幾、百分之幾……可以用小數表示。教師可就這樣的表述再做一個補充，一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾……教師發現這個概念還不夠完整，又做了這樣的補充：在小數里，每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。用語言將小數的概念向學生解釋清楚是多么費勁的事，可這樣的解釋學生還是不能真正地理解什么是小數，因為這個概念從文字的層面看就顯得復雜。學生還覺得復雜的一個原因就是小數是一個新的概念，他們很容易與學到的整數、分數等混淆起來，會讓他們陷入學習的困境。教師可以借助圖式幫助學生建構新的概念，讓他們融入新的認知情境中。

因此教師就建立起如圖3 所示的圖式，圖中教師展示的是一把直尺，上面標有尺度，這是學生熟悉的事物。圖上還展現出學生熟悉的文具——鉛筆，教師要讓學生說出的就是這支鉛筆的長度。學生一看就知道這支筆的長度在3 與4 之間，他們發現這不是一個整數，該怎樣表達？教師趁機補充一句，在進行測量和計算時，如果遇到不能正好得到整數的結果，大家可用小數來表示。對著圖式，教師這樣解釋小數的概念，不能正好是整數，顯然地，學生對小數這個概念有了一個直觀的感性的認識。教師接著就圖三說，其中的1 份是十分之一，也可以表示0．1。教師補充問，假如其中的7 份就是十分之七，也可以表示成什么？學生回答0．7。教師再問這支鉛筆的長度是多少厘米，學生回答出3．7 厘米。

（圖3）

可以看出來，圖式之于概念學習不但將復雜變為簡單，還將概念的運用也穿插進去，也就是說，圖式表達不僅僅是闡述概念，也激發學生能力的生長。因此在教學過程中，教師遇到復雜的概念要盡量地幫助學生進行轉化，以對接他們的最近發展區。

三、借用圖式表達，使零散概念系統化

大多數學生在學習概念時還是采用死記硬背的方式，也就是說，他們將要運用到的一些定理、公式、定義等背得很熟練，以應付各種考試。但是在實際運用中會出現這樣的情況，學生不能將一些概念系統化起來，總是孤立地去運用這些概念。比如他們會分別記憶長方形、正方形、三角形、平行四邊形的面積公式，卻不知道他們之間是有一定聯系的，運用圖式就能將這樣的聯系表述出來，進而也讓這些概念之間形成一個相對完整的體系，更系統化，更有利于學生的綜合運用。

以蘇教版小學數學五年級上冊《多邊形的面積》這一章節為例，教師沒有直接展示平行四邊形的面積公式，即，如果用S 表示平行四邊形的面積，用a 和h分別表示平行四邊形的底和高，那么就有S=ah。

教師先是展示如圖4 所示的圖式，由于學生已經學過長方形的面積公式，教師就讓他們把平行四邊形轉化成長方形，再求出面積。對著圖式，學生將平行四邊形沿高剪開，他們把剪下的梯形拼到另一邊變成一個新的長方形。他們發現新的長方形的長相當于平行四邊形的底，新的長方形的寬卻又相當于平行四邊形的高，進而基于對圖式的演示，他們發現長方形的面積等于平行四邊形的面積。借力圖式，學生能將平行四邊形的面積公式與長方形的面積公式聯系起來，使他們構成一個認知的網，同時學生在遇到有關平行四邊形的問題時，他們還會借助學習概念時的圖式進行轉化。

（圖4）

四、結語

對數學概念的教學，教師不僅要通過文字的解釋讓學生理解，還要通過圖表、幾何圖形等為他們搭建具象化支架，促進他們對概念的內化與運用。小學數學課本中概念繁多，比如數的概念、運算的概念、量與計量的概念等。學生對這些概念的學習一般都要先感知理解，再形成概念，最后再鞏固應用。圖式表達能促進概念的系統化、結構化，進而使學生更感性地認知概念。圖式表達既展示概念的框架圖，又彰顯學生的思維模式，是他們理解數學概念的“助推器”。因此教師需要指導學生在充分理解的基礎上進行有意義的圖式建構。