夏雨

（喀什大學 土木工程學院，喀什新疆 844000）

0 引言

在實際工程結構中，桿件結構是由若干桿件共同組合并與地基相連的整體，可承受荷載.不考慮材料的變形，受到荷載的作用體系能保持其幾何形狀和位置不變，這稱為幾何不變體系，其幾何構造是穩定的.另有一類體系，盡管只受到很小的荷載的作用，也會引起很大的形狀或位置的改變，其原因不是材料本身的彈性變形，而是體系內部的組成不健全或支承的布置不合理，這類體系稱為幾何可變體系，其幾何構造是不穩定的[1].

按照幾何學的原理，對體系進行幾何構造分析就是對體系發生運動的可能性進行分析，檢查它是否是一個幾何不變體系.幾何可變體系是不能用來作為結構的，因為在任何種類的荷載作用下建筑工程結構必須能保持自己的形狀和位置.為此，需要用幾何構造分析來研究體系的穩定性及其構造規律[2].體系一般可分為幾何不變體系和幾何可變體系，其中幾何可變體系又可分為常變體系和瞬變體系.

體系結構一般都必須是幾何不變體系，而不能采用幾何可變體系.因此體系的幾何構造研究主要是關于體系不變性的分析.在這方面，判斷幾何不變體系有很好的方法，如一元體、二元體技巧，兩剛片、三剛片規則（統稱為鉸三角規則），還有計算自由度法以及零載法等等.

由于在結構力學中進行體系構造分析，在超靜定結構中確定力法的多余約束數以及確定位移法獨立線位移數等，都涉及體系計算自由度的問題.特別是，當采用計算機求體系結構的內力時，為防止其計算簡圖因簡化變為幾何可變體系發生運算“溢出”而停機，同樣也需要求得體系的計算自由度.由此可見，計算自由度在結構力學研究和教學以及工程設計中都具有非常重要地位，對計算自由度的研究在理論和應用上都具有重要意義和實際價值.

本文將從體系的自由度和約束概念出發，針對計算自由度的算法、計算自由度的不同取值對幾何構造特征的影響及計算自由度的應用等方面進行實證分析和研究，以期為幾何構造分析的研究和應用提供參考和幫助.

1 自由度和約束

1.1 體系自由度

完全確定體系位置所需要的獨立坐標的數目稱為自由度.由理論力學可知，一個動點在空間有3 個自由度，確定空間一動點的位置需要3個獨立坐標；一個剛體在空間有6 個自由度，確定空間一剛體的位置需要6 個獨立坐標；在平面內，一個動點有2 個自由度；幾何形狀不變的平面體簡稱為剛片，一個剛片在平面內有3 個自由度[1].

1.2 體系約束

體系的約束又稱為體系的聯系或限制.平面體系并非是自由的體系，各部分之間以及桿件與基地之間總是存在一定聯系，它對體系各部分之間的位置關系形成幾何學上的限制，這種限制稱為幾何約束，簡稱約束[1-3].

體系的約束可分為必要約束和多余約束.一般將使體系成為幾何不變而必需的約束，稱為必要約束，其能有效減少體系自由度，每一個必要約束都使體系減少1 個自由度；而把必要約束之外不能減少體系自由度的約束稱為多余約束.

對于體系的不變和可變、常變和瞬變以及有無多余約束的情況，可表示如下[2]:

約束的計算方法如下[3]：

（1）連接2 個剛片的1 個單鏈桿（或支桿）相當于1 個約束；

（2）連接2 個剛片的1 個單鉸（連接2 個剛片的鉸）相當于2 個約束；連接n個剛片的1 個復鉸（連接2 個以上剛片的鉸）相當于n－1 個單鉸，提供2（n－1）個約束；

（3）連接2 個剛片的單剛結點相當于3 個約束；連接n個剛片的復剛結點（連接2 個以上，剛片的剛性連接）相當于n－1 個單剛結點，提供3（n－1）個約束.

2 計算自由度

體系的自由度數等于其各組成部分互不聯結時總自由度數減去體系中的必要約束數.當上述差值為零時，就構成幾何不變體系.也就是說，體系各組成部分總自由度數與必要約束數之差為零是體系幾何不變的充分條件[1].

但對于許多復雜體系來說，必要約束并非都能易直觀判定，因此就需要引入計算自由度的概念.體系的計算自由度定義為體系各組成部分總的自由度數減去體系中總的約束數，記為W.

體系的計算自由度，它可能大于零也可能等于或小于零.當所有約束全部是必要約束時，體系的自由度就等于體系的計算自由度；當體系中的約束包含有多余約束時，體系的自由度就大于體系的計算自由度.由此可知，計算自由度小于零是體系幾何不變的必要條件.如果計算自由度大于零，那么體系一定是幾何可變的.所以，確定計算自由度的數目也是判定體系幾何可變性的方法之一[4-6].

3 計算自由度的算法

對于體系的約束，以g代表單剛結點個數，以h代表單鉸結點個數，以b代表單鏈桿根數；對于自由部件，以m代表體系中自由剛片的個數，以j代表自由鉸結點個數.則體系的計算自由度W主要有結點法、剛片法、混合法和直接法四種算法.

3.1 結點法

將平面體系看作為受鏈桿約束的結點系.如果取自由鉸結點（j個）為研究對象，自由度為2j；以其約束結點的單鏈桿（b根）為約束，約束數就為b，則計算自由度為

結點法僅適用于由鉸和單鏈桿構成的鉸結鏈桿體系.該算法表達式簡潔，卻不適用于含有剛結點的體系，應用范圍受限.

實例1：圖1(a)和圖1(b)為兩個平面桿件體系，采用結點法求兩個體系的計算自由度[2].

圖1 平面桿件體系示意圖一

解這兩個體系都是全部由鏈桿組成的鉸結體系，由這兩個體系可得下列結果：結點數j=6，單鏈桿數b=9.因此，可得計算自由度為

這里，由于體系沒有接到地基，作為一個整體相對于地基有3 個自由度.根據幾何構造分析可知：圖1(a)是幾何不變的，無多余約束；圖1(b)是瞬變的，有多余約束的體系[5].

3.2 剛片法

把平面桿件體系看作是受鉸結、剛結和鏈桿約束而組成的剛片系.若取剛片（m個）為研究對象，自由度為2m.以約束剛片的單剛結點（g個）、單鉸結點（h個）和單鏈桿（b根）為約束，約束數分別為3b、2h和b，總約束數為3g+2h+b，則計算自由度為[3]

剛片法適用于任何體系，但是容易算錯，為了避免出錯，可采用如下技巧.首先去掉所有約束，只畫出剛片；其次逐步加上約束；接著再加剛結點；然后加鉸結點；最后加鏈桿.采用這五步法能有效避免錯誤[1-3].

實例2：試計算如圖2 所示的平面杠桿體系的計算自由度[3].

圖2 平面桿件體系示意圖二

解采用剛片法.根據選擇大剛片的原則，選取由點A，G，D，E，H，B包圍的帶閉合框的部分作為一個剛片，EFC為另一個剛片，剛片數為2，且第一個剛片的約束數是3；結點E連接兩個剛片，是單鉸結點；最后還有4 根單鏈桿與基礎相連.可得計算自由度為

3.3 混合法

混合法是取自由剛片（m個）和自由鉸結點（j個）作為研究對象，自由度為3m+2j.以約束剛片的單剛結點（g個）、單鉸結點（h個）和單鏈桿（b個）為約束，總約束數為3g+2h+b，其計算自由度為

混合法適用于由鉸結鏈桿體系（無剛結點）以及由剛片構成的體系.注意的是，在分析過程中必須區分哪些部分是研究對象，哪些部分是約束[3].

實例3：采用混合法試求如圖3 所示體系的計算自由度.

圖3 平面桿件體系示意圖三

解取ACDEB為自由剛片，F，G，H，I，J為自由結點，而C，D，E三點處的鉸不能再看作自由結點（因它們已固定在剛片上），剛片ACDEB由兩個固定支座與基礎相連，約束為6 個；結點F，G，H，I，J用10 根鏈桿分別連到基礎和剛片，約束為10 個.可得計算自由度為

通過以上實例，上述三種算法的應用原則可歸納如下[5]：

（1）為減少計算量，選擇剛片時盡可能選擇大剛片；

（2）對于由兩端鉸結的桿件組成的鉸結鏈桿體系，采用剛片法較簡單；

（3）對于含有組合結點的體系采用結點法和混合法都可以.

3.4 直接法

為了簡化，統一上述三種方法，對于求桿件體系的計算自由度，可采用直接法[6].對于平面桿件體系，直接法是把桿件（m根）看成研究對象，自由度為3m；而把單剛結點（g個）和單鉸結點（h個）看成約束，總約束數是3g+2h.體系計算自由度為

相比于前面的三種方法，直接法研究對象清晰，運算公式統一，適合編程計算，可準確快速求得計算自由度，也可用來有效確定結構超靜定的次數[6].

實例4：試采用直接法求如圖4 所示的平面桿件體系計算自由度[6].

圖4 平面桿件體系示意圖四

解采用直接法.把桿件作為研究對象，共有12 根桿（包括支座鏈桿），分別標記為1，2，3，…，12，則其自由度數總和為

對鉸結點與剛結點數目統計如下：單鉸結點有A，C，D，F，G，J共6個，復鉸結點有B，E，H，I共4個，單剛結點有D，G共2 個.由于每個單鉸結點和單剛結點分別有2 個和3 個約束；同時復鉸（或復剛結點）等效為單鉸（或單剛結點），即n（n>2）桿相交而成的復鉸結點（或復剛結點）等效為n－1 個單鉸結點（或單剛結點）.則總約束數為

可得計算自由度為

3.5 四種算法的對比

表1 對四種算法在適用性、優劣性進行了對比，便于我們對對四種算法有更直觀和全面的理解.

表1 四種算法的適用性和優劣勢的對比

4 計算自由度的應用

根據計算自由度的不同取值范圍，分析體系的幾何構造，可得到如下結論.

（1）當W>0時，如果計算自由度大于零時，則體系缺乏必要的約束，一定是幾何常變的.

實例5：試求如圖5(a)所示平面體系的計算自由度.

圖5 平面桿件體系示意圖五

解如圖5(a)所示，體系剛片2個，單鉸1個，支座鏈桿3 根.采用剛片法，可得計算自由度為

該體系不滿足幾何不變的必要條件，是幾何可變的.如圖5(b)所示，容易看出，有一個多余約束.

（2）當W=0時，如果計算自由度等于零時，則體系具有保證幾何不變所需的最少約束數，但并不能判斷出體系是幾何不變的.因為當無多余約束時，是幾何不變的；當有多余約束時，卻是幾何可變的.

實例6：計算圖6 所示桿件體系的計算自由度，并進行該體系的幾何構成分析[3].

圖6 平面桿件體系示意圖六

解采用結點法，可得計算自由度為

使用去掉二元體或者增加二元體的技巧，可判斷該體系為幾何不變體系，且無多余約束.

實例7：求如圖7 所示體系的計算自由度，并進行幾何構造分析[3].

圖7 平面桿件體系的示意圖七

解采用剛片法，可得計算自由度為

幾何構造分析如圖8 所示，擴大基礎至剛片I，然后依次增加二元體①和②，最后剩下的EFG可發生上下微小運動，體系為幾何瞬變體系，有1 個多余約束.

圖8 圖7 體系的幾何構造分析示意圖

（3）當W<0時，如果計算自由度小于零時，則體系具有多余約束，但不能判斷出體系一定是幾何不變的；體系可能是不變，也可能是可變.

實例8：求如圖9 所示體系計算自由度，并分析幾何構造特征[5].

圖9 平面桿件體系的示意圖八

解如圖9 所示，采用混合法，可得其計算自由度為

如圖10 所示，桿IA，AD和DI可看成是鉸結三角形，內部有兩個多余鏈桿約束EB和FC，然后與基礎通過支座A和支座鏈D相連，組成幾何不變結構.分析整個體系，在體系上依次去掉二元體④③②①，最后剩下鏈桿支座K，可自由運動.因此，體系為常變體系，有2 個多余約束.

圖10 圖9 體系的幾何構造分析示意圖

實例9：試求如圖11 所示體系的計算自由度，并進行幾何構造分析[5].

圖11 平面桿件體系的示意圖九

解如圖12 所示，采用混合法，可得計算自由度為

圖12 圖11 體系的幾何構造分析示意圖

其中，m=1（剛片FEHI），j=5（結點A，B，C，D，E），g=0，h=0，b=16（鏈桿10根，支桿6 根）.可得計算自由度為

構造分析如圖12 所示，體系內部（先撤除支座及地基）由3 個剛片I、II、III 用3 個瞬鉸兩兩相連，且3 個瞬鉸在一直線上.可知，體系為幾何瞬變體系，有1 個多余約束.

實例10：求如圖13 所示體系的計算自由度，并分析幾何構造[5].

圖13 體系幾何構造分析示意圖

解采用直接算法.體系桿件總數17個，體系自由度數為a=17×3=51，鉸結點的總數26個，總約束有d=26×2=52 個.可得計算自由度為

經分析可知，體系是幾何不變的，有1 個多余約束，體系為超靜定結構.

綜上所述，根據計算自由度取值，可對體系的幾何構造特性得出一些結論[2]，具體如表2所示.

表2 平面桿件體系幾何構造特性

體系的幾何不變性判斷，可根據一元體、二元體技巧，兩剛片、三剛片和三角鉸（統稱鐵三鉸法）等方法[1-6]，這里不再贅述.

5 結語

本文介紹了自由度和約束，概述了計算自由度和計算自由度的計算方法，并針對平面桿件體系計算自由度的不同取值，以實例分析了體系的幾何構造特征.結果表明，計算自由度是幾何構造分析的重要參數，結合體系的不變性和多余約束，可在一定程度上反映體系的幾何構造特征.

通過計算自由度以及考慮體系的不變性，可進一步確定體系的幾何構造特征.當自由度總數大于約束總數體系為幾何可變，不能用作結構.當自由度總數等于約束總數，如體系為幾何不變，則無多余約束，體系為靜定結構；如體系為幾何可變，則有多余約束.當自由度總數小于約束總數體系，有多余約束，若體系為幾何可變，則為常變或瞬變；若體系為幾何不變，則為超靜定結構.