初中數學課堂中的 幾何變換思想教學

■文/何露娜

幾何是初中數學課程的重要組成部分，很多學生在解答幾何類題目時比較吃力，要想突破這一難點，教師不僅要注重幾何知識的講解，更要重視幾何思想方法的滲透。幾何變換在初中數學課程中占據重要的位置，是解決許多數學問題的關鍵。本文對初中數學課堂中的幾何變換思想教學進行探究，以供參考。

一、幾何變換思想的內涵

在初中數學教學中，有的學者將幾何變換看作一種解題方法，認為幾何變換就是采取迂回手段來分析和解決數學問題的方法，如恒等變換、分割變換等，有助于降低解題的難度；有的學者將幾何變換當作快速解決問題的工具，認為“觀察—聯想—變換”是數學解題的基本思維過程。在當前的教學中，大部分教師僅是對幾何變換知識進行教學，而沒有將其看作一種數學思想方法。

筆者根據相關資料結合自身的教學經驗，將幾何變換定義為：如果圖形P上的每一個點，都能夠按照一定的規則變成對應的另一個點，那么所有的點就能夠組成一個新的圖形P” ，圖形P與P” 存在對應關系，從圖形P變成圖形P” 的過程就是幾何變換。在初中數學課程中，幾何變換主要包括平移、旋轉、軸對稱等，但它同時也是一種數學思想方法，有助于提高學生的數學解題能力和思維水平。

二、幾何變換思想對教學的意義

（一）提高數學解題效率

解題是學習、探索數學的一種途徑，學生數學能力的發展主要是通過解決一個個數學問題來實現的，幾何變換中的平移、旋轉、相似等在解題過程中具有相當廣泛的應用價值。很多初中生都有這樣的體驗，有時面對一道數學題冥思苦想，卻找不出解題的思路，而通過畫平行線、對稱軸等方式往往能挖掘出題目中的隱藏信息。特別是在平面幾何證明題中，常常需要通過平移、旋轉等方式來解決問題。例如，如圖1所示，AB平行于CD，E是AD的中點，BE、CE分別是角平分線，求證：BC＝AB+CD。如果不作任何的輔助線，解答該題的難度較大。題目出現了角平分線，教師可以指導學生運用翻轉變換的思想進行證明，先從BC上選取點F，使BF＝AB，然后連接EF，那么△ABE和△FBE互為軸對稱圖形，對稱軸為BE，接著利用三角形全等定理進行解答。同時，由于該題出現了中點E，所以還可以對圖形進行旋轉變換，然后利用中心對稱的原理進行證明。

圖1

（二）促進學生思維發展

數學有助于鍛煉個體的思維能力，培養人的理性思維。幾何變換就是將圖形按照一定的規則轉移到同一平面的另一個地方，無論是平移、旋轉還是翻轉變換，圖形變換前后都具有距離、角度、面積相同的特點，變換前后的圖形是全等的。在新課改的背景下，教師要注重對學生思維能力的培養，這樣才能使學生綜合運用所學的數學知識來解決實際問題。教師將幾何變換思想滲透到數學課堂中，能夠使學生學會從不同的角度分析和解決數學問題。例如，△ABC為等腰直角三角形，其中AB等于AC，P為三角形內部的任意一點，BP＝3，AP＝2，CP＝1，求∠APC。在教學過程中，學生很快發現這道題無法直接進行解答，這時教師要引導學生從幾何變換的角度解析問題，對題目進行深層次的解讀。教師可適當提示：“AB和AC是相等的，那么我們是否能構建一個與APC全等的 三角形呢？”引導學生利用旋轉變換的方式來分析這個問題，從而找出正確的解答方法。在講解完題目后，教師要及時地引導學生進行總結，使其掌握該類問題的解決思路，促進學生思維能力的提高。

（三）具有指導生活的作用

數學教育是讓學生更好地探索生活、適應生活的一種方式。幾何變換思想的滲透，是為了讓學生掌握“有用的數學”，能夠利用數學課程中的思維去分析生活中的問題。幾何變換思想是通過變換讓問題變得相對熟悉、簡單的一種方式，有助于人們更加快速地解決問題，比如在設計花壇時，可以先確定花壇的對稱軸，然后在兩側布置顏色、形狀相同的花卉，從而呈現出一種對稱美。由此可見，在初中數學教學中滲透幾何變換思想，對學生的日常生活與未來發展均具有積極的意義。

三、幾何變換思想教學策略

（一）剪拼圖形，感受幾何變換

幾何變換是一種動態變化的過程，而面對抽象的靜態圖形，很多學生難以在腦海中勾勒出圖形變換后的模樣。對此，數學教師可開展圖形剪拼活動，讓學生在動手操作中形成真實深刻的感知，領會幾何變換的特點，發展幾何直觀與想象思維。通過剪拼圖形的活動，學生可以根據自己的想法自由地剪切、整合圖形，從而產生不同的運動效果和圖案，使學習過程具有趣味性與自主性。

例如，在教學“平行四邊形”時，教師可讓學生提前準備好工具，在課堂上提出問題：“怎樣把一張四邊形的紙片變成平行四邊形？”讓學生圍繞這個問題進行自主操作。在活動中，部分學生成功地剪出了平行四邊形，部分學生剪出的四邊形不夠標準。這時教師可以講解知識點：“將任意四邊形各邊的中點連接起來，就可以構成一個平行四邊形。”讓學生掌握這一判定平行四邊形的方法，在解答這一類題時也可以利用該原理來畫輔助線。接著，教師可引導學生將目光轉向裁剪下來的四個角上，讓學生自由地進行拼貼。很快，學生就發現裁下來的四個角也可以拼成一個平行四邊形。然后，教師引導學生回憶圖形剪拼活動的過程，并提出問題：“你在剪拼活動中發現了哪些圖形的運動方式呢？”并帶領學生總結相關知識。在這一活動中，學生既掌握了關于平行四邊形的知識，也感受到了圖形旋轉、平移等運動變換方式，認識到幾何變換會改變圖形的位置，但不會改變形狀和大小，領會到了幾何變換中的不變量思想。

（二）立足生活，體會變換現象

生活中處處都有幾何變換現象，教師可將這些現象融入數學課堂中，引導學生從具體的生活現象中認識不同類型的幾何變換運動。在初中幾何變換教學中，教師可以先展示一些生活中的場景、現象和事物，由此引入幾何變換教學。

例如，在教學“圖形的旋轉”時，教師可在導入階段播放一段視頻，展示風力發電機運作的場景，并提出問題：“風力發電機是怎樣運動的？”學生通過觀看視頻，很快便能得出旋轉的答案。教師繼續追問：“你在生活中見到過哪些旋轉的現象？”鼓勵學生聯想自己的生活經驗，教師將學生的答案依次書寫在黑板上，如洗衣機、電風扇等，通過列舉大量生活實例的方式，讓學生對旋轉的概念形成深刻的感性認識。接著，教師又問：“旋轉運動有什么特點？”讓學生討論交流，如旋轉運動往往有一個中心、旋轉過程中圖形的大小和形狀不會改變等。最后，教師對學生的答案進行整合與補充。教師以生活中的物體和場景為依托，能夠使學生深入體會幾何變換的特點和規律，對相關概念形成準確的理解，為后續的學習及數學解題打下良好的基礎。

（三）關系探究，理解變換思想

要想讓學生掌握幾何變換思想，必須讓他們對幾何變換關系有深入的認識。在解答數學問題的過程中，有時候需要多次變換圖形，所以教師要引導學生理解變換運動的內在關系，比如圖像發生了2次翻折，如果對稱軸是平行的，就相當于做了一次平移運動，如果對稱軸不平行，就相當于做了一次旋轉運動。

除此之外，教師還可以設計一些問題，如：“圖形進行2次旋轉是什么變換？”“先將圖形進行翻折，然后旋轉90°，圖形會發生什么樣的變化？”讓學生通過實踐操作的方式進行探究，理解不同變換運動之間的相互作用關系。

為了使學生更加有效地掌握變換思想，教師可適當地運用一些現代化的技術設備。例如在教學“位似”時，教師可帶領學生走進計算機教室，讓學生利用繪圖軟件開展探究學習活動，讓學生任意繪制一個幾何圖形，然后運用“復制+縮放”的操作流程，生成大小不同、形狀相同的圖案，讓學生通過對圖案的觀察，理解“位似”這一概念。在授課過程中，教師要樹立跨單元整合教學的意識，將關于幾何變換的數學知識整合起來，引導學生構建完善的知識框架，并指導學生利用繪圖軟件進行操作，觀察圖形發生的變化，將不同單元中幾何變換的知識整合起來，從中提煉幾何變換思想。

（四）一題多解，掌握思想方法

“一題多解”是數學教育中經常提到的名詞，有助于豐富數學知識的內涵，拓展知識外延，使學生能夠靈活地運用數學思想方法解決各種問題。在幾何變換教學的過程中，教師也要鼓勵學生嘗試一題多解，從不同的角度去分析和解答數學問題，使學生能夠快速地找出問題的解答思路，形成多元化的解題方式，最后選擇出最佳的解題方式。在培養學生幾何變換思想時，教師采用“一題多解”的方式，可以拓展學生的解題思路，引發其深度思考，是培養學生數學思維品質的有效途徑。

例如，在等腰三角形ABC中，∠ACB為直角，AC＝BC，點P為三角形內部一點，AP＝AC，∠PAC＝30°，求證：BP＝CP。在講解這一問題時，教師可引導學生運用不同的幾何變換方式來解答。以平移變換為例，教師可引導學生對CB進行平移，用虛線繪制AD，然后再將點D與點P、點B連接起來，進而得出四邊形ACBD，因為∠ACB為直角，且AC＝BC，所以四邊形ACBD為正方形，又因為AP＝AC，所以∠PAD＝60°，進而可以證明△CAP與△BDP相似，由此可以證明BP＝CP。此外，教師可以與學生共同探討，通過旋轉變換、翻折變換進行解答，然后對比分析，看哪種解法更加簡便，從中選出最佳答案。

綜上所述，新課程標準強調了幾何變換在數學課程中的地位，在考試中以幾何變換為背景的平面幾何題在數學試卷中分值占比較大。因此，初中數學教師要加大對幾何變換教學的重視，在日常教學中滲透幾何變換思想，引導學生通過剪拼圖形的方式，結合生活中的現象，提煉幾何變換規律，借助提問、繪圖和一題多解的方式，增強學生利用幾何變換思想解答數學問題 的能力。