旋轉(zhuǎn)紙牌飛行動(dòng)力學(xué)建模與飛行軌跡分析

于錫澤，楊珺喆，劉昕雨，張翀

（沈陽航空航天大學(xué)，遼寧沈陽，110136）

0 引言

扔紙牌是受人們普遍喜愛的一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，它操作簡單，只需將紙牌用無名指和中指及拇指夾住，再把手腕蜷縮成圈，奮力甩出，即可使紙牌按一定的飛行軌跡飛出。我們不難觀察到紙牌飛行時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩種現(xiàn)象：總有一個(gè)時(shí)刻，紙牌的平衡狀態(tài)會(huì)被打破，最終飄向地面，并且初始角速度越大，平衡持續(xù)時(shí)間會(huì)越長；飛行中的紙牌會(huì)產(chǎn)生水平方向的偏移運(yùn)動(dòng)。

我們做一組對照試驗(yàn)：將一水平放置的紙牌從一定高度做自由落體運(yùn)動(dòng)，記錄落地時(shí)間；將同一張紙牌水平放置到同樣高度，給予一定角速度并使其做自由落體運(yùn)動(dòng)，記錄落地時(shí)間。通過對照試驗(yàn)可觀察到紙牌飛行的第三種現(xiàn)象：旋轉(zhuǎn)的紙牌下落時(shí)間更長。

簡單分析以上三種現(xiàn)象的條件差異，不難發(fā)現(xiàn)紙牌飛行存在三個(gè)條件變量：初始線速度、初始角速度和初始角度。上述三種現(xiàn)象如何解釋以及三種初始條件如何決定紙牌的飛行軌跡，還有待做出進(jìn)一步研究。

1 紙牌飛行動(dòng)力學(xué)分析

1.1 紙牌動(dòng)力學(xué)分析

紙牌在飛行過程中至少會(huì)受到重力與空氣阻力，其中空氣阻力可分為垂直于紙牌平面的力，簡稱垂直阻力，和平行于紙牌平面的力，簡稱平行阻力。我們把這些作用力等效為一個(gè)隨時(shí)間不斷變化的力與力偶的疊加效果，記為。該作用力隨時(shí)間的積累會(huì)造成角動(dòng)量L的改變，使紙牌角速度與線速度的角度差值變小，也因此會(huì)進(jìn)一步增大垂直阻力。記角速度方向與線速度的角度差值為α，k為常數(shù)，根據(jù)角動(dòng)量公式：

其中M∝sinα?M=k×sinα

根據(jù)矢量變化關(guān)系及洛必達(dá)定理[1]有：

結(jié)合公式(1)(2)，并做進(jìn)一步運(yùn)算得：

由于紙牌本身具有質(zhì)量輕、易變形、面積大的特點(diǎn),紙牌在飛行中易受到氣流作用，由上述公式推導(dǎo)可知：空氣阻力大小取決于角度差值α，而且角度差值α也受到角動(dòng)量大小影響，所以角動(dòng)量的大小就間接的決定了空氣阻力對角動(dòng)量本身的影響；角動(dòng)量越大角度差值及空氣阻力就越不宜改變，進(jìn)而角動(dòng)量的變化速度就小。當(dāng)角動(dòng)量變化速度達(dá)到某一值時(shí)紙牌會(huì)失去穩(wěn)定特性，因此在相同條件下初始的角動(dòng)量越大，紙牌穩(wěn)定狀態(tài)就越不容易打破。

1.2 紙牌進(jìn)動(dòng)分析

一個(gè)陀螺逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，自身軸線會(huì)產(chǎn)生繞z軸的角速度，這是由于重力矩使陀螺角動(dòng)量改變[2]，記陀螺對中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，角動(dòng)量為L，進(jìn)動(dòng)角速度為ω進(jìn)，自轉(zhuǎn)角速度為ω自，陀螺質(zhì)心到軸底端距離為d，則有：

進(jìn)一步化簡得：

將紙牌飛行模型類比陀螺進(jìn)動(dòng)模型，認(rèn)為：紙牌繞其質(zhì)心的速度方向偏轉(zhuǎn)的角速度為進(jìn)動(dòng)角速度ω進(jìn)，繞垂直于紙牌面且過質(zhì)心的方向旋轉(zhuǎn)的角速度為自轉(zhuǎn)角速度ω自。當(dāng)紙牌受到平行于紙牌方向的力時(shí)，就會(huì)有紙牌進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象的發(fā)生，從而使偏轉(zhuǎn)角不斷疊加。在偏轉(zhuǎn)角度與垂直空氣阻力共同作用下，紙牌會(huì)產(chǎn)生水平方向上的偏移。

1.3 紙牌馬格努斯效應(yīng)

旋轉(zhuǎn)紙牌飛行中產(chǎn)生的馬格努斯力來自于紙牌的兩面空氣流速不同所導(dǎo)致的壓強(qiáng)差[3]，以旋轉(zhuǎn)紙牌由水平狀態(tài)自由下落為例，如圖1所示。

圖1 馬格努斯力示意圖

旋轉(zhuǎn)的紙牌在空氣中下落時(shí)，紙牌的底面對氣體進(jìn)行一次加速后，紙牌的頂面會(huì)再次對氣體進(jìn)行加速。設(shè)紙牌旋轉(zhuǎn)角速度為ω，紙牌平均半徑為R，根據(jù)伯努利方程：

紙牌下部氣體流至紙牌上部后會(huì)經(jīng)紙牌旋轉(zhuǎn)加速，且有：

紙牌兩側(cè)的壓力差產(chǎn)生一個(gè)垂直紙牌向上的馬格努斯力，記為FM，其大小為

紙牌的旋轉(zhuǎn)會(huì)給流經(jīng)的氣體產(chǎn)生兩次加速，同樣也導(dǎo)致了紙牌上方氣體流速要大于上方，根據(jù)伯努利定理流體速度增加將導(dǎo)致壓強(qiáng)減小，因此紙牌會(huì)受到一個(gè)由高壓指向低壓方向的力，即垂直紙牌向上的馬格努斯力。在該力的作用下，克服重力，使得在同樣高度下落地時(shí)間要長于非旋轉(zhuǎn)的紙牌。

2 紙牌飛行動(dòng)力學(xué)建模與軌跡仿真

2.1 動(dòng)力學(xué)模型建立

為了計(jì)算方便我們以水平拋擲紙牌為例分析，以拋擲處的紙牌質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以豎直向上方向?yàn)閦軸方向，以初始速度方向?yàn)閤軸方向，以右手準(zhǔn)則確定y軸，建立笛卡爾坐標(biāo)系，令進(jìn)動(dòng)角速度為ω1，自轉(zhuǎn)角速度為ω2，初始速度為v0。如圖2所示。

圖2 動(dòng)力學(xué)模型圖

對于飛行中任意時(shí)刻，紙牌所受到的作用力包括：重力G、空氣阻力Ff、馬格努斯力FM。記紙牌在某一時(shí)刻速度為v，進(jìn)動(dòng)角度（繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度）為θ1，速度與水平面夾角為θ2，如圖3所示。

圖3 紙牌受力分析圖

通常情況下，我們認(rèn)為空氣阻力與速度的n次方成正比，具體形式如下：

公式 （9）中C為空氣阻力系數(shù)；ρ為空氣密度；S0為物體特征面積；v為物體與空氣的相對運(yùn)動(dòng)速度；n為空氣阻力指數(shù)[4-6]。紙牌表面的雷諾數(shù)Re?1，所以空氣阻力指數(shù)n取2；對于紙牌的特征面積S0，與紙牌面積S以及迎風(fēng)角（即θ2）有關(guān)，且有S0=Ss inθ2。記所有常系數(shù)的乘積為k1，則飛行中的紙牌受到的空氣阻力表達(dá)式：

記k2、k3為常數(shù)，由于飛行紙牌受到的平行阻力與自轉(zhuǎn)角速度有關(guān)，對公式（5）進(jìn)行積分可推導(dǎo)進(jìn)動(dòng)角度θ1與時(shí)間t及自轉(zhuǎn)角速度ω2關(guān)系：

根據(jù)公式（7）可推導(dǎo)紙牌受到的馬格努斯力表達(dá)式：

2.2 常系數(shù)求解

給常系數(shù)設(shè)置范圍及步長，帶入推導(dǎo)公式，將計(jì)算出來的結(jié)果作為理論值。通過實(shí)驗(yàn)測量實(shí)際數(shù)據(jù)，作為實(shí)際值。把理論值與實(shí)際值帶入最小二乘法公式，將其作為模式搜索法[7]的目標(biāo)函數(shù)，記為φ(k)，利用matlab軟件找到φ(k)函數(shù)取得最小值時(shí)對應(yīng)的常系數(shù)值，該值即為常系數(shù)的最優(yōu)解。以求解空氣阻力表達(dá)式中常系數(shù)為例。

為了更好求得空氣阻力式中的常系數(shù)，就要盡最大可能減少其它不確定力的存在，而沒有自轉(zhuǎn)就不會(huì)產(chǎn)生馬格努斯力，因此將水平放置的紙牌從某一高度放下，使其做非自轉(zhuǎn)的自由落體運(yùn)動(dòng)。錄制并逐幀觀察紙牌的下落視頻，記錄5組落地高度與落地時(shí)間，見表1。

表1 高度與時(shí)間數(shù)據(jù)表

理論上落地高度與時(shí)間有如下關(guān)系：

其中速度可通過運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求出，常系數(shù)k1搜索范圍設(shè)為0至0.01，步長設(shè)為0.0001。利用matlab軟件進(jìn)行計(jì)算，求出的φ(k1)函數(shù)圖像如圖4所示。

圖4 目標(biāo)函數(shù)結(jié)果圖

可以得出結(jié)論：當(dāng)k1=0.0043時(shí)，目標(biāo)函數(shù)φ(k1)有最優(yōu)解。將該值代入高度與時(shí)間的理論關(guān)系，得到幾組理論落地高度，同見表1。

紙牌進(jìn)動(dòng)角度與馬格努斯力表達(dá)式中常系數(shù)的求解方法與上文基本一致，但在測量數(shù)據(jù)方式上有些差異。在測進(jìn)動(dòng)角度參數(shù)的實(shí)驗(yàn)中，需要保持紙牌水平拋擲并且給與初始速度與角速度，記錄偏轉(zhuǎn)角度與偏轉(zhuǎn)時(shí)間，并且其二者理論關(guān)系上文已提及；在測馬格努斯力參數(shù)的實(shí)驗(yàn)中，需要將紙牌水平放置并使其從某一高度旋轉(zhuǎn)、自由下落，記錄落地高度與落地時(shí)間，并且可推導(dǎo)其二者理論關(guān)系為：

用同樣的求解方法，最終求得k2=2.92；k3=7.15×10?6。

2.3 紙牌飛行軌跡求解

由牛頓定理得非線性微分方程：

vx,vy,vz,v以及進(jìn)動(dòng)角度θ1,速度與水平面夾角θ2隨時(shí)間發(fā)生變化，且有以下關(guān)系：

方程（14）、（15）無法用解析法求得，只能用數(shù)值求數(shù)。利用matlab給出的ode45()函數(shù)，實(shí)現(xiàn)變步長龍格-庫塔算法[8-9]。由于該推導(dǎo)公式是由水平拋擲得出的，所以只能對初始線速度、初始角速度這兩個(gè)初始量做出討論。改變初始速度與角速度大小并輸入matlab軟件中，作為變量的初始值，分別求解理論軌跡，得到結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同初始條件紙牌飛行軌跡

其中條件1為ω0= 30rad/s,v0=7.5m/s;

條件2為ω0= 40rad/s,v0=7.5m/s;

條件3為ω0= 50rad/s,v0=7.5m/s;

條件4為ω0= 40rad/s,v0=5m/s;

條件5為ω0= 4 0rad/s,v0=10m/s。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)原理

采用的實(shí)驗(yàn)裝置由紙牌、紙牌發(fā)射器、傳感器、處理器以及數(shù)據(jù)顯示器五大部分組成，見圖6所示。紙牌發(fā)射器能利用皮筋的勢能轉(zhuǎn)換發(fā)射紙牌，并且可調(diào)節(jié)紙牌發(fā)射時(shí)的初始角速度以及初始速度；傳感器包括角速度傳感器及速度傳感器，能夠測量速度及角速度的大小，并可上傳至處理器；處理器則能接收傳感器信號(hào)，并與顯示器相連，將數(shù)據(jù)顯示到顯示器上。

圖6 實(shí)驗(yàn)裝置圖

基于上述實(shí)驗(yàn)裝置我們可以對發(fā)射紙牌的初始條件進(jìn)行調(diào)節(jié)，并且可以采取定高測距的方法測量某一初始條件下紙牌經(jīng)過的位置坐標(biāo)。將發(fā)射裝置置于某一高度并發(fā)射紙牌，測量紙牌落地點(diǎn)到發(fā)射處的水平橫縱距離，這樣即可準(zhǔn)確測量紙牌飛行軌跡的一組數(shù)據(jù)。調(diào)整發(fā)射高度并反復(fù)這一過程，可求解某一初始條件下的多組軌跡點(diǎn)數(shù)據(jù)。

3.2 理論軌跡驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上文中理論軌跡的合理性并且進(jìn)一步分析初始速度與初始角速度對紙牌飛行軌跡的影響，以條件1～5為初始條件，分別測量實(shí)際軌跡點(diǎn)坐標(biāo)。將條件1、2、3測量的點(diǎn)以及理論軌跡繪制到同一幅圖片中，如圖7所示，可得到初始角速度對紙牌軌跡的影響規(guī)律：同一高度下，初始角速度大小與x軸向和y軸向位移成正比，且y軸向位移更為明顯；角速度越大紙牌落地時(shí)間越長。將條件2、4、5測量的點(diǎn)以及理論軌跡繪制到同一幅圖片中，見圖8所示，可得到初始速度對紙牌軌跡的影響規(guī)律：同一高度下，初始速度大小與x軸向位移成正比且較為明顯，而與y軸向位移無關(guān)。并且行經(jīng)點(diǎn)與理論軌跡有較高的重合度，證明了紙牌飛行軌跡公式的合理性。

圖7 以角速度為變量軌跡圖

圖8 以速度為變量軌跡圖

4 結(jié)語

結(jié)合空氣動(dòng)力學(xué)以及流體力學(xué)等知識(shí)對紙牌飛行問題進(jìn)行研究，既能夠提高學(xué)生對物理學(xué)的興趣，也能增強(qiáng)他們對問題的分析、解決的能力。本文通過對紙牌進(jìn)行力的分析以及與陀螺進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象的類比，對旋轉(zhuǎn)紙牌飛行的三種奇妙現(xiàn)象做出了解釋，并推導(dǎo)出了含有參數(shù)和系數(shù)的力的表達(dá)式，又通過實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)將系數(shù)求解出來，給定初始條件，借用matlab軟件對軌跡坐標(biāo)進(jìn)行求解。最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文軌跡推導(dǎo)的合理性，并且也得到了初始速度與初始角速度對飛行軌跡的影響規(guī)律。但是本文關(guān)于軌跡的研究是建立在水平拋擲的條件上，因此對影響軌跡的因素的研究還有待進(jìn)一步完善，建議結(jié)合Tracker軟件進(jìn)行討論。