初三數學復習最值問題的幾點教學策略與建議

張海萍

近年來，最值問題是初中數學中考的一個熱點問題，這類試題往往會以填空、選擇、解答壓軸題的形式頻繁出現。其涉及到的知識面廣，運用的綜合性強，集多個知識點于一體，而且問題情境層出不窮、新穎別致，全方位地考查了學生的基礎知識、基本技能、解題技巧，以及數學的思維與素養能力。正因如此，對學生來說是一個難點，但是老師們在復習時若能注重教學思路＼復習策略的研究，以專題形式逐步向學生介紹這類問題的幾種基本原理，同時注重培養學生轉化問題的能力，幫助學生多去總結、練習這類問題解決的思想與方法，當學生形成“化折為直”的意識時，相信這類問題定能迎刃而解！

初中平面幾何具有非常清晰的直觀性，它的一些基本原理、圖形性質學生們是熟練知曉的，也是易于掌握的，因此復習時我們可以從利用幾何圖形的性質解決這類問題出發，從平面幾何的基本元素點與線入手，結合典型呈現模式“平面直角坐標系”，層層鋪設、由淺入深地向學生介紹處理此類問題的基本思路與方法。下面本人結合教材、結合具體實例，以點的發展為思路，談一談初中數學復習最值問題的一些教學策略與建議。

一、點與點

幾何定理：兩點之間線段最短，及其延伸

七上教科書：如圖，A、B是河l兩側的兩個村莊。

現要在河l上修建一個抽水站C，使它到A、B兩村莊的距離之和最小。請在圖中畫出點C的位置，并說明理由。

解題分析：兩點之間線段最短，因此只有當點C在線段AB上時，它到A、B兩村莊的距離之和才最小，因此點C的位置為直線l與線段AB的交點。

教學建議：本題是初中階段最值問題的起點，學生們人人都能理解，從此入手可以增添學生研究問題的信心，教學時還可以給出具體的數據或放入平面直角坐標系中結合A、B兩點坐標，再來解決問題。

定理延伸：矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點B的坐標為（3，4），點D是OA的中點，點E在AB上，當△CDE的周長最小時，點E的坐標為（ ）

解題分析：△CDE的周長=CD+DE+CE，其中CD邊為定長，因此△CDE的周長最小時即可轉化為DE+CE為最小值時，而C、D為固定點，點E在固定直線AB上，那么這個問題類似于上述問題，唯一的區別是兩固定點是位于已知直線的同側、還異側。同側則直接運用定理，異側需要運用對稱點轉化一下再運用定理。所以本題可以過點C作AB的對稱點F（或作D點關于直線AB的對稱點），連接DF交AB于點E，從而將DE+CE轉化為DE+EF的值，很明顯當點E在直線DF上時取得最小值。因此E點的坐標為直線DF與直線AB的交點，當然用相似的知識也可解決。

教學建議：本題首先需要利用三角形周長的定義才能將問題轉化為直線AB與位于其同側的兩點C、D的問題，揭開這層面紗之后學生的心理會小有竊喜，但是能正確解得點E的坐標還是需要一定的解題經驗與能力的。因此復習時老師們同時需要注重培養落實學生解析能力。

二、點與線

線是由若干個點所組成的，當這些點共線時，就形成了點與直線的問題;當這些點不共線時，就形成了點與曲線的問題。因此對于點與直線中的最值問題，教學時建議可分為兩部分內容：1是點與直線;2是點與曲線，初中階段最值問題中的曲線重點研究了圓，以下均稱為點與圓。

1.點與直線的問題

幾何定理：直線外一點到直線上各點的連線段中垂線段最短。

舉例：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB：

y=x+1與坐標軸分別交于A、B兩點，點C（3，0）。

點P為直線AB上的一動點，則PC長的最小值為 。

解題分析：本題在平面直角坐標系中求點C與直線AB之間的線段長問題。

解題策略：過點C作直線AB 的垂線段CH，再利用相似三角形或銳角三角函數，亦或一次函數的一些基本知識即可迅速解決。

教學建議：本題答案很簡單，學生易懂、易解決，但教學時要注重引導學生研究對象的角色轉換，同時滲透多重角度解決問題的思想與方法，培養學生靈活、有效解決問題的能力，為后期綜合題打下良好的思維習慣。

2.點與曲線（圓）的問題

由于一個圓將一個平面分為圓內、圓上、圓外三個部分，而圓上就是若干點所組成的曲線，因此此類最值問題的探究可分為兩類：（1）圓外一點與圓;（2）圓內一點與圓。

（1）圓外一點與圓

幾何定理：圓外一點與圓上各點的連線中，經過圓心的連線分別為最長與最短的。

變式1：在上述問題中，以點C（3，0）圓心、1為半徑作⊙C，點Q為⊙C上的一動點。求BQ的最小值為 。

解題分析：本題是在上述問題中再作⊙C，針對直線上的點B引入直線外一點與圓的問題，學生只要能夠思維轉換意識到直線上的點B同時也是⊙C外一點B，問題就變得迎刃而解了。

解題策略：連接BC，交⊙C于點Q，則此時BQ的長就是點B與⊙C上各點的連線中最短的連線段，再將BQ的長度轉化為BC-CQ（其中CQ為⊙C的半徑1）來求即可。

教學建議：舉例中的問題對于學生來講解答上是不存在任何障礙的，而變式1中的問題涉及到研究對象角色思維轉換的障礙，因此教學時要注重結合具體實例培養學生從多重角度理解問題的轉換能力，為問題的進一步拓展、延伸打好伏筆。

變式2：在上述問題中，PQ的最小值為 。

解題分析：本題是上述例題與變式1問題的綜合，首先從圓外一點P與圓上一點Q的最值問題中發現PQ的最小值是在PC的連線與⊙C相交時的點Q處產生，即PQ=PC-CQ（其中CQ為⊙C的半徑1），從而將PQ的最小值問題轉化為求PC的最小值問題;

再次轉化成直線外一點C與直線AB上各點的連線段中垂線段最短，便可將問題轉化為例題中的基本問題來解決。

教學建議：本題的難度小有增強，體現在思維轉換能力上，需要學生具有靈活的轉換思想與基本的轉化能力，初次接觸時學生會思維反映緩慢，因此教學時需適當設置類似問題強化訓練，學生們便能迅速具備這方面的能力，為后期靈活的轉化能力的培養打下良好的基礎。

變式3：在上述問題中，從點P處引⊙C的一條切線，切點為E，則切線長PE的最小值為 。

解題分析：PE為⊙C的切線，因此PE⊥CE，

從而，求PE的最小值

轉化為求PC的最小值即解決例題中的基本問題。

教學建議：本題是從另一個角度：切線的性質定理將問題轉化成圓中的基本最值問題來處理，轉化思想一致，只是轉化的途徑略有區別。教學時適當注重引導與訓練，學生們處理此類問題便會得心應手，同時引導學生總結心得：轉化問題的方式是因問題背景的變化而變化的，在多練習的同時更要注重多思考、多總結自己的解題心得，不能一味機械地刷題。

教學策略：圓中最值問題是最值問題中的難度提升點，大多數學生會在圓這章的幾何學習中首先就產生了心理障礙，其次與代數中的重點內容函數中的平面直角坐標系相結合，這樣的一個問題背景下學生們大多數會因為心理障礙而放棄了問題的研究。因此教學時我們可以從簡單、易懂的問題入手，采用以上類似的變式方式，設置基礎性的問題，鋪設階梯淡化問題難度，逐步將問題深化，逐步培養數學轉換思想與轉化能力，可以有效地幫助學生克服心理障礙，增強學生研究、解決此類問題的信心與決心。

（2）圓內一點與圓

幾何定理：過圓內一點的弦中，最長的弦是直徑，最短的弦是與過該點直徑垂直的弦。

舉例1：（如圖，在平面直角坐標系xOy中，以原點O為圓心的⊙O過點A（13，0），直線y=kx-3k+4與⊙O交于B、C兩點，則弦BC長的最小值為 。

解題分析：首先通過觀察直線解析式的特征，發現該直線必定經過圓內一點D（3，4），進而發現過點D且垂直于OD的弦為所求的最短的弦，從而BC=2BD=2，其中BO為半徑13、OD利用平面直角坐標系中的兩點間的距離公式來求。

教學建議：本題發現弦BC所在直線必定經過點D是一個障礙，揭開這層面紗之后，問題就會變得很清晰、很簡單。因此在平時教學中，要注重引導學生多去練習、總結解題心得。

教學策略：中考題中最值問題往往背景形式比較復雜多變，因此轉換思想與轉化能力尤其重要，只有當學生潛意識里形成這種觀念時問題往往就會事半功倍了。

當然利用幾何圖形的性質解決最值問題只是中考考查內容中的一部分，還存在著與二次函數相結合的典型最值問題，尤其是在自變量的取值范圍內的最值問題，以及難度較大的動點生成軌跡問題中的最值問題……這里本人就不逐一闡述了。

最值問題由于涉及的內容繁多、形式多樣、綜合性又很強，因而成為中考試題中的一朵“奇葩”！希望本人以上對此類問題的分析、研究所建議的復習策略能有所幫到大家。當然問題的形式不是一概而論的，問題的解決也不是一蹴而就的，本人上述若有不足之處敬請各位同仁批評指正。