點擊機械波的多解問題

林 瀚

（廣東省汕頭市金山中學）

多解問題是機械波中的重點和難點，其產生的根本原因是機械波傳播方向不確定、傳播距離和波長關系不確定、振動時間和振動周期不確定等因素，以下結合例題作一探討！

1 傳播方向不確定導致多解

波源起振后產生的波可以在介質中向四周傳播.有些試題并未明確波的傳播方向，此時，要分類討論波的傳播方向，進而出現多解.

例1一列簡諧橫波在介質中傳播，在其傳播方向上存在兩個質點A和B，相距1.2m.假設在某一時刻，A質點正好由平衡位置向上運動，而B質點在波谷處.已知該波傳播的速度是48 m·s－1，兩質點的距離在2個波長和6個波長之間.求該波頻率的最大值.

解析

若波由A向B傳播，最短波長應滿足

又因為v＝fλ，可得最大頻率f＝210 Hz；若波由B向A傳播，最短波長應滿足

又因為v＝f′λ′，可得最大頻率f′＝230 Hz，通過比較可知，該簡諧橫波的最大頻率為230Hz.

點評

兩個方向傳播，導致兩個方向的多解，由于有約束條件，即要求波速最大，波長最短，因此波長不存在多解.

2 傳播距離與波長關系不確定導致多解

在波的傳播方向上，相隔一個波長的質點振動步調是完全相同的，假設題目中沒有具體規定波的傳播距離和波長的關系，就會存在多解.

例2一列機械橫波在均勻介質中沿著x軸傳播，此時的波形圖如圖1所示.在x軸上存在著質點P和質點Q，它們的平衡位置坐標分別為0.4 m和0.7m.從該時刻開始計時：

圖1

(1)如果P質點連續兩次經過x軸的時間差為Δt＝0.4s，那么波的傳播速度為多大?

(2)如果在0.1s時Q質點運動到波谷處，那么波的周期是多少?

解析

(1)由題意可知，波的周期

波長λ＝0.8m，根據可得

(2)若波沿x軸正方向傳播，則在t時間內，波的傳播距離為

波的傳播速度為

周期為

若波沿x軸負方向傳播，則在t時間內，波的傳播距離為

波的傳播速度為

周期為

點評

解題時一般采用從特殊到一般的思維方法，即找出一個周期內滿足條件的關系Δt或Δx，若此關系為時間，則t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此關系為距離，則x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…).

3 時間間隔與周期關系不確定導致多解

在波向前傳播的過程中，質點在各自平衡位置兩側做簡諧運動，由于簡諧運動具有周期性而出現多解.

例3一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，在t1＝0和t2＝0.2s時的波形分別如圖2中實線和虛線所示.已知該波的周期T＞0.2s.下列說法正確的是( ).

圖2

A.波速一定為0.4m·s－1

B.振幅一定為0.04m

C.波長可能為0.08m

D.周期可能為0.8s

解析

因為t1＝0和t2＝0.2s時的波形分別如圖2中實線和虛線所示，二者至少相差半個周期，故

而T＞0.2s，故周期T＝0.4s，選項D錯誤.

由圖可知，波長為0.16m，故選項C錯誤.

由圖知振幅是0.02m，選項B錯誤.

點評

本題在t1＝0和t2＝0.2s時的波形正好步調相反，則有…)，外加約束條件T＞0.2s，多解變為唯一解.

4 雙多解

簡諧運動的時間具有周期性，可得周期的多解；機械波空間運動具有周期性，可得波長的多解；根據可得速度的雙多解.

例4如圖3是一根繃緊的水平繩，在繩上存在著相距14m的a點和b點，已知a點處于b點的左邊.現在繩中有一列簡諧波向右邊傳播.當a點在正向最大位移處的時候，b點正好在零位移處，并且向下方運動.1s之后，a點的位移變成0，向下運動，b點正好處于負向位移最大處.那么這列波的傳播速度可能為( ).

圖3

A.4.67m·s－1B.6m·s－1

C.10m·s－1D.14m·s－1

解析

由題意，實線為t＝0時刻波形，虛線為t＝1s時刻波形，根據題意，標出a、b點位置，b點位置還可以是距b點為波長整數倍的b1、b2等一系列的點，所以

由于t可能大于周期T，所以

其中n和k分別是由波的概念和振動概念引出的自然數，二者是相互獨立的，無一一對應關系.通過嘗試可得，當n＝0，k＝0，選項A正確；當n＝1，k＝1時，選項C正確；其他選項n和k不可能同時為整數.

點評

通過嘗試，先取n＝0，再將選項中的v代入公式，求k值，若k為整數，該選項正確.

質點振動nT(波傳播nλ)時，波形不變，在波的傳播方向上，當兩質點平衡位置間的距離為nλ(n＝1，2，3，…)時，它們的振動步調總相同；當兩質點平衡位置間的距離為時，它們的振動步調總相反；對于一個確定的質點，每經過一個周期，振動重復出現，波的傳播可以雙向傳播.以上三點是形成機械波問題多解的原因.從形成原因出發，是解決這一類問題的關鍵.