一道動力學(xué)競賽試題的多解賞析
——以第38屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽第8題為例

昌明彥 趙相標(biāo)

（貴州省思南中學(xué)）

動力學(xué)類試題不僅是高考的高頻考點，也是競賽的高頻考點.本文采用多種方法解析第38屆物理競賽預(yù)賽第8題，旨在激發(fā)學(xué)生參加物理競賽的興趣，提高學(xué)生科學(xué)思維能力.

1 原題再現(xiàn)

例一質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)小球靜止在水平桌面上，小球和桌面之間的動摩擦因數(shù)為μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度大小為g.用一根水平輕桿擊打小球，擊打位置位于球心所在的水平面上，擊打方向正對球心，擊打時間極短，小球獲得的水平?jīng)_量為P.從擊打結(jié)束開始經(jīng)_________時間后小球開始純滾動，小球開始純滾動時的速度為_________.已知小球繞球心的轉(zhuǎn)動慣量

2 試題分析

根據(jù)題意可知：輕桿水平擊打小球球心所在位置瞬間，小球獲得水平?jīng)_量P后向前滑動，小球質(zhì)心初速度為小球與水平桌面上接觸點向前滑動，水平桌面給接觸點向后的滑動摩擦力，豎直方向小球受到的重力和支持力的合力為0，在滑動摩擦力的作用下質(zhì)心做勻減速直線運動，同時小球繞質(zhì)心做勻加速轉(zhuǎn)動，可知小球為剛體模型，非質(zhì)點模型.故解答此題既需要力與平動相關(guān)知識，還需力與轉(zhuǎn)動相關(guān)知識.

3 知識儲備

1)質(zhì)點模型(高考知識點)

牛頓第二定律F＝ma.勻變速直線運動中，速度v＝v0＋at，位移

線速度與角速度的關(guān)系為v＝ωR.動能定理W外＝ΔEk.動量p＝mv.沖量I＝Ft.動量定理F合t＝mv－mv0.

2)轉(zhuǎn)動模型(競賽知識點)

勻加速轉(zhuǎn)動ω＝ω0＋βt，轉(zhuǎn)動定律M＝Jβ，角動量L＝mvr＝Jω，角動量定理MΔt＝JΔω，角動量守恒定律L＝Jω＝mvr＝mω2r.

注：M為剛體所受各外力對轉(zhuǎn)軸的力矩的代數(shù)和，J是 轉(zhuǎn) 動 慣 量，β是 角 加 速 度.

4 試題解析

設(shè)小球獲得的水平?jīng)_量為P，質(zhì)心速度為v0＝角加速度為β，初角速度為0，經(jīng)過t時間后小球純滾動，純滾動時角速度為ω.

解法1 牛頓運動定律

對小球質(zhì)心由牛頓第二定律有μmg＝ma，運動學(xué)公式為v＝v0－at，純滾動條件為v＝ωR，角速度公式ω＝βt，剛體轉(zhuǎn)動定律

聯(lián)立得

解法2質(zhì)心動量定理

小球在向前運動的過程中，由質(zhì)心動量定理有－μmgt＝mv－P，剛體轉(zhuǎn)動定律μmgR＝Jβ，上式兩邊同時乘t得μmgRt＝Jβt＝Jω，純滾動條件為v＝ωR.聯(lián)立得

解法3小球與水平桌面接觸點合速度vt＝0時，小球開始做純滾動.

接觸點隨質(zhì)心同速向前平動，開始時繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的線速度為0，可得接觸點合初速度為v0.小球在水平桌面上運動過程中，質(zhì)心做勻減速直線運動，接觸點繞質(zhì)心以角加速度β做勻加速轉(zhuǎn)動，經(jīng)過時間t，接觸點合速度為vt＝v0－at－βtR，質(zhì)心由牛頓第二定律有μmg＝ma.由小球轉(zhuǎn)動定律有μmgR＝Jβ.純滾動條件vt＝0，聯(lián)立得

解法4角動量守恒定律

過小球與水平桌面接觸點，垂直紙面向外為轉(zhuǎn)軸，輕桿擊打小球結(jié)束瞬間，小球獲得的角動量(沖量矩)為L＝PR.

重力、支持力、摩擦力過接觸點的力矩都為零，得小球過接觸點的角動量守恒，有PR＝mvR＋Jω.純滾動條件有v＝ωR.質(zhì)心動量定理

聯(lián)立得

5 問題拓展

設(shè)小球恰好純滾動時(t0＝0)與桌面接觸點為A，求此后t時刻小球上A點的速度和加速度大小.

分析小球達到純滾動后，A點繞質(zhì)心勻速轉(zhuǎn)動，質(zhì)心向前勻速平動，A點繞質(zhì)心的線速度與質(zhì)心平動的速度大小相等(v線＝vC＝v).此問屬于運動學(xué)知識，A點運動軌跡為曲線.

解法1以A點為原點，水平向右為x軸，垂直水平面過A點豎直向上為y軸，建立坐標(biāo)系.經(jīng)過t時間后小球上A點轉(zhuǎn)動的角度為如圖1所示.

圖1

由位移公式得

以上兩式兩邊對時間求導(dǎo)數(shù)得A點分速度為

A點合速度為

將A點分速度對時間求導(dǎo)數(shù)得，A點的分加速度為點加速度大小

解法2A點的運動軌跡為曲線，由矢量三角形法則求A點速度和加速度.

小球達到純滾動后，球上A點既隨質(zhì)心向前平動，又繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動，A點的速度為質(zhì)心的速度與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的線速度的矢量和，三個速度組成一個矢量三角形，如圖2所示.

圖2

由三角函數(shù)中的余弦定理得

或由等腰三角形幾何知識得

小球達到純滾動后，質(zhì)心做勻速直線運動，A點繞質(zhì)心的向心加速度

6 反思總結(jié)

原試題的第一、二兩種解題方法分別應(yīng)用動力學(xué)“三大觀點”中的牛頓運動定律和動量定理求解，這兩種方法對于高中物理尖子生來說容易上手；第三、四種解題方法將質(zhì)心和接觸點作為研究點，對接觸點運用相對運動進行解析.問題拓展的第二種解法，運用學(xué)生非常熟悉的矢量三角形法則，已知分運動求合運動.對于高中生來說，解答此題的難點：一是小球運動屬于剛體模型，不是質(zhì)點模型；二是純滾動的臨界條件v＝ωR或接觸點相對于地面的速度為0；三是剛體模型轉(zhuǎn)動過程中，剛體的轉(zhuǎn)動定律、轉(zhuǎn)動慣量、角動量、角加速度、角動量定理等.