微分方程在成都市人口預測中的應用

◇成都師范學院 宋曉敏 周海燕 王 靜 盧秋月

本文以2000～2019年成都市統計年鑒戶籍人口總數為依據，結合微分方程模型的相關知識，優先擬合出灰色預測模型，進而來準確預測成都市人口未來的變化，為成都市的規劃發展提供數據支持。在建模完成及模型應用結束后，經過殘差檢驗、后驗查檢驗、誤差分析和對預測結果的現實分析，結果顯示此模型精確度較高，在對成都市未來人口走向的預測中取得了較好的效果。

古往今來，人口都是決定國家強盛，城市繁榮的主要原因。這是因為人口數量不僅作用于經濟文化，還作用于教育，民生等多個方面。人口數量，人口年齡結構，人口性別比例，人口增速以及人口素質等內容均屬于人口問題的研究方面。其中對于人口數量的研究是人口問題研究的基礎，也是人口問題研究中最重要的部分之一。巨大的人口數量意味著龐大的消費市場，因為龐大的消費市場是進行產業發展和升級的基礎。

成都市作為西部第一大城市，為了能更快更好的發展為全國一線城市，對未來人口的預測是十分有必要的。本文基于《成都統計年鑒－2019》等資料提供的相關數據構建灰色預測模型對成都市未來人口進行分析與預測。

1 模型介紹

1.1 微分方程與灰色預測

1.2 現階段灰色預測模型的應用

2 模型建立

2.1 問題假設

（1）假設本文中所使用的數據均真實有效，具有分析的價值。

由圖5可知，不同pH發酵條件下得到的小麥醬油滋味有明顯差異。相比于自然pH發酵的醬油，pH 6.5條件下發酵的醬油鮮味更強，這與其含有更多的谷氨酸有關。二者在咸味上無明顯差異，但pH 6.5小麥醬油的苦味更強，自然發酵醬油則在甜味、酸味上更強。pH 6.5小麥醬油的苦味更加強烈，原因不明。

（2）假設成都市是一個封閉系統,沒有人口的遷入和遷出。

（3）不考慮戰爭、瘟疫、疫情等傳染性疾病的影響。

（4）人口數量只與人口基數、出生率、死亡率有關。

（5）假設未來三十年成都市人口的出生率、死亡率不受科技發展的影響。

2.2 灰色預測 模型建立的基本過程

（1）假設已知原始數據序列為：

2.3 代入數據進行模型求解

根據《成都統計年鑒－2019》四川省成都市2010-2019年的人口總數，可見四川省成都市的人口數量呈逐年增長的趨勢，且增長速度逐年加快。同時，基于上述模型建立的理論基礎，通過合理運用Excel，對滑動平均矩陣、2011-2019年人口數所形成的矩陣等進行轉置運算、求逆運算以及乘法運算解出了灰微分方程的待定參數，進而求得成都市人口預測模型。通過所得預測數據與原始數據的散點圖擬合對比，并進行殘差檢驗和后驗差檢驗，結果顯示預測數據較為準確，該模型有效地減少人口自然增長與人口機械增長對成都市人口總數的影響[5]。具體的模型求解與人口總數的預測過程如下所示。

首先，收集了2010-2019年成都市人口總數的統計情況，見表1。

表1 成都市人口總數（萬人）

由此可得一次累加數據序列為：

2.4 模型精度檢驗

分別求出預測值、相對誤差值、絕對誤差值，結果如表2所示。

表2 成都市人口預測值與實際值的相對誤差

由表2可知平均相對誤差為0.2%，所以此模型的精確度較高。

表3 灰色預測精度檢驗等級標準

因此，上述所得模型可用于成都市人口總數的預測。將11,12,13,14,15,16代入預測式（9），經過計算可得出2020-2025年成都市人口預測值，見表4。

表4 成都市人口預測值（萬人）

2.5 預測結果圖示

3 模型優缺點的評判

3.1 優點

（1）該模型所需樣本量較少，且能更好的預測含有未知因素的系統。

（2）灰色預測模型對城市人口數進行中短期預測時，所得擬合結果精度較高。

（3）灰色預測模型對于呈指數變化的單調序列預測精度更高。

（4）樣本分布允許具有隨機性，模型求解簡便，結果易于檢驗。

3.2 缺點

（1）灰色預測模型存在局限性，只適用于原始數據為非負的情況。

（2）灰色預測模型在原始數據序列波動較大時，所得預測結果存在較大誤差。

4 結論

模型對成都市人口總數進行中短期的預測。結果顯示，依據各項指標建立的灰色預測模型具有更高的精度和較好的擬合度。然而此模型是存在局限性的，它不能達到中長期預測的精度要求，由此可知當原始數據為非負且呈較強指數規律變化，以及序列的變化波動較小時的最佳預測模型是灰色預測模型，因為此條件下建立的灰色預測模型能得到誤差更小的預測結果。