數(shù)的兩種定義

我們知道，時(shí)間是無(wú)始無(wú)終無(wú)限長(zhǎng)的，直線是無(wú)限長(zhǎng)，宇宙的體積是無(wú)限大，數(shù)學(xué)中用符號(hào)∞表示無(wú)限大數(shù)。無(wú)窮大的數(shù)還有其他表現(xiàn)形式，例如：K*∞+G（k≠0，K、G為任意有限數(shù)）、2^∞、a^∞（a>1）、a^K*∞+G（a>1，k≠0）、A*∞^2+B（A≠0，A、B為任意有限數(shù)）等。僅就K*∞+G而言，隨著K、G取值不同，就有無(wú)限多個(gè)無(wú)窮數(shù)，觀想a^K*∞+G，且不論K、G的變化，a的取值個(gè)數(shù)都是無(wú)限多的。故無(wú)限數(shù)是無(wú)限多的。

那么無(wú)限數(shù)和有限數(shù)是什么關(guān)系呢？既然說(shuō)無(wú)限數(shù)是無(wú)限的，那么它就不是有限數(shù)，所以無(wú)限數(shù)是獨(dú)立于有限數(shù)之外的數(shù)。既然有限數(shù)是有限的，當(dāng)然它就不是無(wú)限大的，有限數(shù)是獨(dú)立于無(wú)限數(shù)之外的數(shù)。有限數(shù)和無(wú)限數(shù)是兩類各自獨(dú)立的數(shù)，兩者互不包含，兩者獨(dú)立存在，這就是有限數(shù)和無(wú)限數(shù)的獨(dú)立性原理。

數(shù)的定義是整個(gè)數(shù)學(xué)的理論基石。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中數(shù)與數(shù)之間存在明確的邏輯聯(lián)系，一切數(shù)相較“1”而確定，一個(gè)數(shù)是“1”的多少倍，這個(gè)數(shù)就是多大。例如有限數(shù)x，它就是“1”的x倍，所以這個(gè)數(shù)就是x。

道教經(jīng)典《道德經(jīng)》里有一句話：“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物。”這應(yīng)該是有文字記載的人類對(duì)數(shù)最早的認(rèn)識(shí)和定義，并且發(fā)明了世界較早的數(shù)字。這是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最古老的起源，中國(guó)古代文化推動(dòng)了人類數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展。

數(shù)是相比較而存在的，前面選擇了“1”為比較數(shù)定義了數(shù)。如果選取任意非零有限數(shù)c，以此數(shù)為比較數(shù)定義一切有限數(shù)，那么對(duì)于任意數(shù)n，n此定義下的大小為m，則m=n/c，當(dāng)n1=-c時(shí)，m1=-1;當(dāng)n=-2c時(shí)，m=-2;n3=-2.5c時(shí)，m3=-2.5，n=-yc時(shí)，m=-y當(dāng)n=0時(shí)，m=0;當(dāng)n=c，m=1;當(dāng)n=3.3c時(shí)，m=3.3……當(dāng)n=x*c時(shí)，m=x……選取任意有限數(shù)作為比較數(shù)，所定義的數(shù)總是一樣的，數(shù)不因c的不同而有異;同時(shí)說(shuō)明，數(shù)學(xué)上定義的阿拉伯?dāng)?shù)或其他計(jì)數(shù)制是普遍適用于關(guān)于有限數(shù)定義的一切情形的。

既然選取任意有限數(shù)為比較數(shù)形成了傳統(tǒng)的數(shù)的定義，因有限數(shù)和無(wú)限大數(shù)是相對(duì)獨(dú)立的，因而該定義就來(lái)包含無(wú)限大數(shù)為比較數(shù)。

如果選取無(wú)限大數(shù)為比較數(shù)定義一切有限數(shù)，某有限數(shù)與無(wú)窮大數(shù)相除即為該數(shù)此定義下的大小。令d為該定義下此數(shù)的大小，若設(shè)定f（∞）為任意無(wú)窮大數(shù)的表現(xiàn)形式，對(duì)任一有限數(shù)z，其定義式為d=z/f（∞）。根據(jù)d=z/f（∞），則有z=d*f（∞），若d為不為零的任意數(shù)，那么d*f（∞）為無(wú)窮大數(shù)，如此z為無(wú)窮大數(shù)，這與z為有限數(shù)相矛盾，所以d=0。因z為任意選取，所以一切有限數(shù)該定義下為零，即d=z/f（∞）=0。

在這個(gè)定義下，任意有限數(shù)的大小為零，也就是沒(méi)有大小了。這與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中各數(shù)均有一定大小完全不同，并且矛盾而不相容。相對(duì)于傳統(tǒng)數(shù)的定義而言，這是個(gè)新的數(shù)的定義。

我們以這個(gè)數(shù)學(xué)思想分析諸事相和道理。例如一個(gè)人活了一百年，這一百年相對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間而言，也就是100/f（∞）=0，時(shí)間長(zhǎng)短為零。用佛教的話講，人生是空，空即時(shí)間沒(méi)有大小，長(zhǎng)短為零。即使人可以活一萬(wàn)年，人生亦為空。太陽(yáng)有兩百億年的壽命，這也是一個(gè)空。即使存在三千萬(wàn)億億世紀(jì)的事物，其時(shí)間長(zhǎng)短在此定義下也為零;再比此時(shí)間長(zhǎng)三千億億倍的時(shí)間，與無(wú)限時(shí)間相比，該時(shí)間長(zhǎng)短仍為零。即使三千億億……億世紀(jì)的時(shí)間，這中間有十億個(gè)億這樣長(zhǎng)的時(shí)間，相對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間，其量值為零。任何有限長(zhǎng)的時(shí)間，該定義下長(zhǎng)度為零。亦即時(shí)間的大小總為零，即t/f（∞）=0，t代表時(shí)間。

再以空間辨別此道理。一段任意長(zhǎng)為l的線段，若與無(wú)限長(zhǎng)的直線相比，則其值為l/∞，則有l(wèi)/∞=0，這樣比較，則任意長(zhǎng)線段長(zhǎng)度為零。三千億光年的長(zhǎng)度亦為零;三千億億……億光年的長(zhǎng)度，這中間就算有一千億個(gè)億，其長(zhǎng)度在此定義下仍為零。亦即長(zhǎng)度此定義下總為零。

銀河系的體積總有一個(gè)大小，即使比銀河系大三千萬(wàn)億倍的宇宙空間，若與無(wú)限宇宙的體積相比，其量值均為零，即佛教所講的“空”。一切有限空間的體積相對(duì)于無(wú)限大宇宙的體積，其大小均為零，也就是沒(méi)有大小了，即v/f（∞）=0，所以在該定義下，地球是“空”的，太陽(yáng)系是“空”的，銀河系是“空”的，一切有限的宇宙空間都是“空”的。如佛教所講，一切皆空。一切有限皆空，一切有限空間相對(duì)于無(wú)限空間，一切有限空間的大小就沒(méi)有了。

兩千多年前，釋迦牟尼領(lǐng)悟了有限數(shù)對(duì)比無(wú)限數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)定義的結(jié)論，但他沒(méi)有認(rèn)識(shí)到這是個(gè)數(shù)學(xué)定義。釋迦牟尼奉此思想為佛理的核心，是佛教立教之基。這個(gè)道理佛經(jīng)中比比皆是，佛教教義上講的“四大皆空”、“有即無(wú)，無(wú)即有”、“存在即空”、“當(dāng)體即空”等，都與該數(shù)式和定義相對(duì)應(yīng)。道教是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)數(shù)的定義的理論源頭;佛教所宣講的“空”理，實(shí)際上是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)定義和思想。我能將這個(gè)知識(shí)思考和挖掘出來(lái)，確實(shí)深受佛理的啟迪和幫助，是從佛理的邏輯線索中覺(jué)悟出來(lái)的。

數(shù)學(xué)原本是從數(shù)字符號(hào)的創(chuàng)造、組合和應(yīng)用開始的，為滿足計(jì)數(shù)和計(jì)算的需求而不斷完善的。人類創(chuàng)造的最著名的數(shù)字符號(hào)是阿拉伯?dāng)?shù)字，它是人類應(yīng)用最廣泛的數(shù)符，為古印度所發(fā)明。還有古中國(guó)人發(fā)明的中國(guó)數(shù)字：一、二、三……十、百、千、萬(wàn)、兆、億等。這些基本的數(shù)字通過(guò)一定的組合就能表達(dá)各種各樣的數(shù)，中國(guó)數(shù)字一樣具有強(qiáng)大的計(jì)數(shù)和計(jì)算的功能。還有古羅馬數(shù)字也比較著名，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ……還有英文數(shù)字和其他各國(guó)各民族發(fā)明的數(shù)字符號(hào)。其實(shí)，數(shù)字符號(hào)的創(chuàng)造是自由的，所以才有這么多數(shù)字符號(hào)的誕生。

數(shù)是相比較而存在的。一切有限數(shù)對(duì)比任一有限數(shù)就形成了我們所說(shuō)的實(shí)數(shù)系，這樣就定義了實(shí)數(shù)。一切有限數(shù)對(duì)比任一無(wú)限大數(shù)，任意有限數(shù)的大小為零。這是兩個(gè)完全不同相對(duì)獨(dú)立的數(shù)學(xué)定義。前一個(gè)數(shù)學(xué)定義起源于古中國(guó)道教的《道德經(jīng)》，后一個(gè)發(fā)源于古印度的佛教，人類的數(shù)學(xué)文明竟起源于宗教文化，這樣，人類的宗教文化走進(jìn)了神圣的科學(xué)殿堂。

佛教是古印度文明的一支奇葩，是人類文化史上的一個(gè)文化高峰，道教也是人類文化史上的一個(gè)高峰，它們直接影響了人類數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，并促使了后世理學(xué)的形成。中國(guó)儒教兼容并蓄，吸納并接受了佛、道二教的理論。最終，三教文化相互認(rèn)同，形成了三教歸一的態(tài)勢(shì)和格局。這三教文化對(duì)中國(guó)乃至世界的影響至為巨大，三教對(duì)數(shù)學(xué)各有研究和貢獻(xiàn)。

釋迦牟尼所論證的“空”理是正確的，本文從數(shù)學(xué)角度給予了證明，這是兩千多年來(lái)對(duì)他思想一個(gè)繼承性和明確性的回應(yīng)。

數(shù)既然有兩種定義，那么就應(yīng)該有兩種數(shù)學(xué)理論體系。這是另外的一個(gè)數(shù)學(xué)論題，也是可以從數(shù)學(xué)上得到論證的。

作者簡(jiǎn)介：胡勇軍 ?出生年月：1970.10 ?性別：男 ?籍貫： 湖南常德 職務(wù)：教師學(xué)歷：大專 單位：桃源縣盤塘鎮(zhèn)中學(xué) 研究方向：中學(xué)物理