知原理 重探究

王書賢 郭建理

【摘 要】尺規作圖是幫助學生從感性到理性，從直觀操作到邏輯推理，并建立幾何直觀的有效工具。研究者對尺規作圖的命題現狀提出問題，以江蘇省近三年尺規作圖的中考試題為研究對象，結合題量變化、試題分析，具體闡述了尺規作圖題對學生空間觀念、幾何直觀以及推理能力的培養。

【關鍵詞】尺規作圖;命題分析;中考試題

【作者簡介】王書賢，常熟理工學院在讀學生;郭建理，高級教師，江蘇省特級教師，曾榮獲全國優秀教師，第八屆中學數學教育獎——“蘇步青數學教育獎”二等獎等。

尺規作圖是幫助學生從感性到理性，從直觀操作到邏輯推理，并建立幾何直觀的有效工具。在信息高度發展的今天，尺規作圖仍有豐富的教育價值。尺規作圖是一種學生實際動手操作的過程，與圖形運動有著密切的聯系，具有不可替代的直觀性;其也是問題解決中不可分割的一部分[1]。此外，由于尺規作圖只利用無刻度直尺和圓規這兩種工具作圖，對于學生而言具有一定的挑戰性，例如在尺規作圖的過程中，所規定的是無刻度直尺，這使得直尺只能用來作直線，而不能進行測量，這一限制將會激發學生思考，進而培養學生的思維能力與創新能力。同時，尺規作圖對學生推理能力的培養有較大的促進作用，使學生加深對幾何知識的理解。因此，在幾何教學強調對思維能力與推理能力培養的今天，尺規作圖理應得到足夠的重視。本文從中考命題入手，通過對尺規作圖題的考查情況進行分析，以期對教師的教學有所啟發。

一、尺規作圖的命題現狀

（一）尺規作圖的題量變化

為研究江蘇省對尺規作圖問題的考查，筆者查閱了江蘇省13個地市近3年的數學中考題，并將涉及尺規作圖的地市和題號進行統計（見表1）。

從考查地區來看，2018年只有南京、無錫、南通、淮安、常州5個地市考查了尺規作圖題，到了2020年共有11個地市考查尺規作圖題，可見越來越多的地區在中考中加大了對于尺規作圖題的考查;從考題分布來看，主要在解答題進行考查，選擇題和填空題也有涉及;從題量來看，尺規作圖題的考查次數明顯增多，可見近幾年江蘇省數學中考對尺規作圖的考查是有所加強的，并且重視程度不斷提高。

（二）尺規作圖的命題方式

1.補全式

補全式，即題目給出作法的全部或者部分過程，要求學生理解作法，補全作圖依據或作圖過程[2]。這樣的考題不僅要求學生依據題目作出目標圖形，而且需要學生深刻理解每一步操作背后的原理，做到知行合一。

例1（2018年南通16）下面是“作一個30°角”的尺規作圖過程。

已知：平面內一點A。

求作：∠A，使得∠A=30°。

作圖：如圖1，（1）作射線AB;（2）在射線AB上取一點O，以O為圓心，OA為半徑作圓，與射線AB相交于點C;（3）以C為圓心，OC為半徑作弧，與⊙O交于點D，作射線AD，∠DAB即為所求的角。

請回答：該尺規作圖的依據?????? 。

本題考查運用尺規作出特殊角，以及運用等邊三角形的判定和性質，圓周角定理等知識解決問題的能力。解答此類題目，首先應知道確定圖形所需要的元素;其次明確達成作圖對象需要應用的知識點;接著厘清每一步作法與確定圖形元素之間的關系;最后明白整個作法的數學原理[3]。

這類試題關注作圖依據，不僅需要學生讀懂尺規作圖的作法，而且需要學生逆向證明所作的圖形符合要求，具有一定的思維能力。這很好地體現了知行合一，以及尺規作圖“知原理、重探究”的教學價值取向，充分發展了學生的空間觀念、幾何直觀、邏輯推理等數學核心素養。在教學中，教師應引導學生深刻理解每一步作法背后的依據，體現步步有據，使學生對作法的“理”認識到位。

簡解：先根據作圖得出OD=OC=CD，即△OCD為等邊三角形，據此可得 ∠COD=60°，再根據圓周角定理知∠DAC=12∠COD=30°，從而得出答案：三邊相等的三角形是等邊三角形;圓周角的度數等于圓心角度數的一半。

2.實操式

實操式，即根據題目要求，用尺規作出相應圖形，只保留作圖痕跡，不要求寫作法。試題常以五種基本作圖法作為本源，對需要確定的對象屬性進行深層次、多角度的聯想。

例2（2019 年宿遷24）在Rt△ABC中，∠C=90°。

（1）如圖2，點O在斜邊AB上，以點O為圓心，OB長為半徑的圓交AB于點D，交BC于點E，與邊AC相切于點F，求證：∠1=∠2。

（2）在圖3中作⊙M，使它滿足以下條件：

①圓心在邊AB上;②經過點B;③與邊AC相切。（尺規作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫作法）

本題將尺規作圖與圓和切線的性質相結合，主要考查角平分線和線段垂直平分線的作法。掌握連接圓心和切點的半徑與切線垂直是解題的關鍵，其突出了對學生推理能力的考查。這樣的命題方式常見于解答題中，以基本作圖作為出發點，將推理蘊含其中。

此類問題需要學生熟練掌握《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱課程標準）中所要求的五種基本作圖法，將書本知識與實際動手操作結合起來，不但可以提高學生的空間觀念、幾何觀念、邏輯推理等數學核心素養，還可以讓學生體會到尺規作圖的簡單精確與數學之美[4]。在教學中，教師應以教材為本，深化整體教學，使學生明確教材中的基本作圖方法，掌握各個知識點之間的內在聯系。對于解決此類尺規作圖的問題，教師可以參照波利亞的解題四步驟來組織教學。

簡解：（1）連接OF，可證得OF//BC，結合平行線和圓的性質可求得∠1=∠OFB=∠2。

（2）由（1）可知切點是∠ABC的角平分線和AC的交點，圓心在BF的垂直平分線上，由此可作出⊙M。

3.應用式

應用式，即題目給出作圖語言、作圖痕跡，以此為條件進行應用。這類考題考查角度新穎，將題目的已知條件通過尺規作圖的作法表達出來，要求學生理解作法，并能夠根據作法找出隱藏的已知條件進行其他計算或證明。較補全式、實操式兩種類型而言，應用式考查要求相對較低，只要求學生讀懂做法即可。

例3（2020年蘇州18）如圖4，已知∠MON是一個銳角，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OM、ON于點A、B，再分別以點A、B為圓心，大于12AB長為半徑畫弧，兩弧交于點C，畫射線OC。過點A作AD∥ON，交射線OC于點D，過點D作DE⊥OC，交ON于點E。設OA=10，DE=12，則sin∠MON=??? 。

本題借用作圖語言、作圖痕跡，間接地給出“OD平分∠MON”這個已知條件，考查學生對角平分線基本尺規作圖的了解。本題并未要求學生按步驟作出圖形，而是以閱讀題目條件的形式讓學生對作圖語言進行推理，再通過計算求得角的正弦值。

這類問題需要學生閱讀并理解作圖步驟，判斷作出的幾何圖形，再分析推理得出作圖所表示的信息，最后進行解題。在教學中，教師可引導學生嘗試操作，理解圖形產生的過程，通過問題串的形式，及時梳理學生在探究過程中發現的問題，并鼓勵學生用數學語言來表達自己的數學思考，帶領學生經歷解決問題的全過程，不斷提高學生發現和提出問題以及分析和解決問題的能力。

簡解：連接DB，過點D作DH⊥ON于H。首先，證明四邊形AOBD是菱形;其次，通過解直角三角形可求出DH，即可解決問題。故答案為2425。

二、尺規作圖的命題預測

（一）縱向分析

中考考題具有良好的導向作用。從近幾年江蘇省中考數學試題來看，尺規作圖題的考查類型以補全式、實操式和應用式為主。對于從未考查過尺規作圖的徐州市和連云港市，今后數學中考題可能會優先命制實操式類型的試題，即給出部分幾何圖形，學生根據作圖要求，作出相應的圖形，主要考查基本作圖的操作，具體可參照上文例2。

對于已考查過尺規作圖試題的地區，如蘇州市，不會馬上提高試題難度，可能會涉及圓、三角形、平行四邊形等性質定理，并在已考查過的試題的基礎上進行創新。而無錫市此前的試題綜合性強，靈活度高，難度大，對于學生的邏輯推理、分析問題、空間想象能力都有較高的要求，今后將會繼續在此基礎上考查尺規作圖，并提高試題的創新性。

（二）橫向分析

目前，江蘇省高考與全國高考已經接軌，中考題也會向全國其他省市看齊，這是未來的大趨勢。因此，借鑒全國數學中考題中有關尺規作圖的考查，江蘇省尺規作圖三大類型題目可從作圖背景或作圖工具進行試題創新和改編。雖然江蘇省有關此類的尺規作圖題已有涉及，但相較于全國其他走在尺規作圖命題前沿的省市，還不夠成熟。

從全國中考數學的真題來看，天津市的網格作圖題比較熱門，屬于天津中考數學的常考題型，或許會對未來江蘇各地市的命題有借鑒意義。此外，限制作圖工具僅為無刻度直尺或圓規的題型也應值得關注，比如江西省中考數學近幾年考查了無刻度的直尺作圖題;2007年南京市中考數學考查了圓規作圖題，這或許成為未來命題的新形式。

三、教學建議

根據課程標準對尺規作圖的教學要求，近幾年江蘇省中考數學試題從題材選擇到問題設計均進行了適當創新，研究這些試題的命題意圖，分析課程標準的導向作用，有助于教師把握尺規作圖的教學要求與考查方向。尺規作圖是初中幾何中訓練學生工具操作、幾何語言敘述和邏輯推理能力的重要內容，在課堂教學中，教師應注意以下幾個方面。

1.轉變思想觀念，促進學生能力培養

尺規作圖作為最基本的作圖方法，具有創新性與邏輯性，尺規作圖是平面幾何的核心內容，貫穿于整個數學學習之中。在教學中，教師要轉變只關注知識技能的思想觀念，應把尺規作圖作為培養學生邏輯思維與創新精神的重要課程資源，通過教學助推學生對數學知識原理的理解，讓學生進一步實踐并感悟數形結合與轉化的數學思想方法，開發學生思維，促進學生能力培養。

2.豐富數學實驗，提高學生動手能力

2021年7月12日，第14屆國際數學教育大會（ICME-14）在華東師范大學開幕，在“中國數學教育特色主題活動”中，江蘇省教育科學研究院的“數學實驗——中國中小學數學學習的變革”，作為其中一個主題在會上展示。數學實驗，在一定程度上影響著中學數學教與學的變革。教學中，教師要幫助學生理解算理、掌握算法、發展運算能力，培養學生數形結合以及邏輯推理能力。尺規作圖是初中幾何教學的重點，是最基礎的數學實驗之一，教學中一題多變給學生提供靈活的實驗平臺，一題多解、一圖多做，多角度、全方位地開啟學生的發散性思維，教師要大膽放手讓學生動手操作，觀察思考，探究和內化原理。

3.規范數學語言，錘煉學生表達能力

課程標準要求學生會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界。用數學語言表達問題時要求規范、準確、簡潔、清晰，而學生在尺規作圖的學習中，往往只會作圖，欠缺表達。在教學中，教師應首先訓練學生掌握尺規作圖的語言表達——已知、求作、作法，做到層次分明;其次熟練掌握常用作圖語言，使作法表達規范、準確;最后，用基本尺規作圖的作法表達時，無須重復作圖的詳細過程，用一句話概括即可，做到言簡意賅。教學中規范學生的數學語言，錘煉學生的表達能力，為學生后續的解析幾何、立體幾何的作圖表達奠定基礎。

近幾年，江蘇省逐漸重視尺規作圖試題，各地市的尺規作圖題量明顯增加，試題考查類型靈活多樣，對學生的直觀思維、推理能力、空間觀念等數學核心素養有所提高，激發了學生的學習興趣和創造性，促進了學生的理性思維能力和動手操作能力的發展，為學生進行更高層次的數學學習奠定基礎。

參考文獻：

[1]樂嗣康，崔雪芳，張奠宙.尺規作圖教學的現代意義[J].中學數學月刊，2005（12）：7-9.

[2]諸士金.第11講：尺規作圖[J].中學數學教學參考，2020（1/2）：112-116.

[3]肖世兵.中考“尺規作圖”命題分析及預測[J].中小學數學（初中版），2020（7）：88-89.

[4]趙軒，王尚志.從一道中考題說起：尺規作圖中的數學思想方法初探[J].數學通報，2016（3）：30-33.

（責任編輯：陸順演）