脈沖切換系統有限時間穩定性分析與控制

柳 靜，牛玉俊，王國欣

(南陽理工學院 數理學院， 河南 南陽 473004)

1 引言

脈沖是指系統運行過程中的一些變量于某一時刻的瞬時驟增或瞬時劇減，系統運行狀態受這種短暫驟變的影響會很大變動，發生這種現象的系統被稱為脈沖切換系統。脈沖切換系統能夠同時準確地描述物體的運動狀態和運動軌跡，被廣泛應用與保密通訊、航空航天等新型領域，因此針對該系統的研究受到廣泛關注。但在在實際應用中，當脈沖切換系統的初始條件在有限時間內比確定數小時，脈沖切換系統的狀態不能超過給定閾值，所以提出有限時間穩定性。有限時間穩定性是在給定初始條件下，要求脈沖切換系統在一段特定時間內其狀態保持在某特定區域內，令其滿足眾多實際應用的需求。分析有限時間穩定性時，脈沖切換系統的操作處理不受固定有限時間間隔的限制，其要求系統變量在指定范圍內。因為實際應用中的脈沖切換系統變量必須處于界限內，所以有限時間穩定性具有理論與實際意義。本文結合平均停留時間與代數矩陣不等式法對脈沖切換系統的有限時間穩定性進行分析，并通過一些充分條件來保證一段特定時間區間內的脈沖切換系統狀態始終在某個特定區域中，從而提升脈沖切換系統的穩定性。

2 脈沖切換系統有限時間穩定性分析與控制

2.1 脈沖系統切換規則

有限時間穩定性的影響因素主要為脈沖切換系統的暫態行為，通過求解微分方程組，解出脈沖切換系統的解，用于判斷是否滿足有限時間穩定的充分必要條件，只要系統符合其充分必要條件就能保證其有限時間穩定性。脈沖切換系統可以用以下方程表示：

(1)

式中，狀態變量描述為()∈，=1…表示脈沖切換信號。

假設，…,為切換不穩定狀態，+1，…,為切換穩定狀態。若脈沖時間∈[，+1]，則激活第個子系統。脈沖切換次數描述為(，)，針對任意的正標量≥≥0，有：

(2)

式中，表示平均停留時間。因為，…,不穩定，+1，…,穩定，則有一系列正數，…，存在，能夠保證-(≤)，+(>)穩定?；谏鲜龉角蠼饨Y果，通過代數矩陣理論可得出如下系統的切換規則：

(3)

(4)

至此，通過求解微分方程組求得脈沖切換系統的解，并獲得脈沖系統的切換規則，為有限時間穩定性的分析奠定基礎。

2.2 脈沖切換系統的有限時間穩定性

在上述脈沖系統切換規則的基礎上，分析有限時間穩定性，脈沖切換系統表示為：

(5)

‖()‖≤‖()‖

(6)

(7)

(8)

切換時刻描述為，，…，通過(=0，1，…)，∈[1，]描述切換信號在(，+1]內的值，=0。若∈(0，]，通過常微分方程理論得出()=，若∈(，+1]，系統切換次數(0，)=，可得：

(9)

若≥，即便全部子系統均不穩定，則(，)=0，可得：

‖()‖≤‖‖

(10)

并且(0，)=表示在(0，)上切換次數，得出：

(11)

根據上述計算，可知脈沖切換系統于任意平均停留時間下，具有有限時間穩定。

2.3 脈沖切換系統的有限時間穩定控制

通過上述脈沖切換系統的穩定性分析，設計一個有限時間保性能控制器，利用控制器縮短系統的收斂速度，從而提高有限時間穩定性。令其對應閉環系統是有限時間保性能控制，同時計算保性能控制界。

(12)

其中：

=(+)-++

(13)

并且切換信號()的平均逗留時間符合：

(14)

得出脈沖切換系統關于參數(，，，，，)為有限時間有界。對脈沖切換系統的一個有限時間穩定性控制界進行計算，得出：

(15)

因脈沖切換系統的參數是有限的，通過推導得出：

(16)

結合切換時刻所發生脈沖的影響進行計算可得：

(17)

為解決參數或選值不恰當導致的代數矩陣不等式無解的問題，脈沖切換系統若對?∈有正實數，、非負實數，，，以及矩陣>0，>0，>0，2，>0，2，>0，記：

(18)

同時切換信號的平均逗留時間符合：

(19)

(20)

至此，完成控制器的設計與全部充分必要條件的有效性驗證，完成脈沖切換系統的穩定控制。

3 實驗分析

通過Matlab對脈沖切換系統進行仿真，通過子系統與子系統的切換研究脈沖切換系統的有限時間穩定性參數=02，脈沖切換系統的有限時間保性能控制器的參數=17，=09。通過脈沖切換系統分別在總時間1.2 s與1.5 s下的系統狀態軌跡，分析其是否具有有限時間穩定性，結果如圖1、圖2所示。

圖1 T=1.2 s的脈沖切換系統狀態軌跡

圖2 T=1.5 s的脈沖切換系統狀態軌跡

通過圖1可知，脈沖切換子系統、的狀態軌跡在總時間為12 s的情況下均超過了有限時間的界，脈沖切換系統不是有限時間穩定的，而圖2中，脈沖切換子系統、的狀態軌跡在總時間為15 s的情況下均在有限時間的界內，顯然此時脈沖切換系統是有限時間穩定的。

研究脈沖切換系統加入本文設計的有限時間保性能控制器后的同步誤差與各系統同步狀態變量，結果如圖3、圖4所示。

圖3 加速控制器后系統的同步誤差曲線

圖4 加入控制器后各系統狀態變量同步曲線

通過圖3可知，在脈沖切換系統中加入本文設計的有限時間保性能控制器后，子系統、都于0.2 s內收斂至0點，脈沖切換系統趨于穩定狀態由圖4可以發現，在脈沖切換系統加入控制器后，子系統的狀態變量在7 s后幾乎完全同步，通過圖3和圖4可以證明本文設計的有限時間保性能控制器具有顯著效果。。因為本文在設計控制器前，利用微分方程組計算了脈沖切換系統的解，并在有限時間有界的充分條件基礎上進行設計，進一步縮短了計算時間，可以在非常短的時間內使系統趨于穩定狀態。

4 結論

通過平均逗留時間方法得到脈沖切換系統有限時間有界的充分條件，在此基礎上設計有限時間保性能控制器，同時利用代數矩陣不等式法驗證條件的有效性，實現脈沖切換系統的穩定控制。根據實驗結果，證明加入所設計的控制器后，可以在0.2 s內收斂至零點，系統趨于穩定狀態，并且在7 s后子系統的狀態變量幾乎同步，進一步驗證了可以在有限時間內快速實現系統的穩定控制。未來的研究重心為：① 放松脈沖切換系統的有限時間穩定性條件；② 根據目前的有限時間穩定性結果分析脈沖切換系統的跟蹤問題。