洞悉統計本質 彰顯分析素養
——浙江省2020年中考“統計與概率”專題命題分析

馬學三

一、 前言

統計與概率是初中數學教學的核心內容，也是今后培養學生數據分析素養的基石，更是中考命題的重要載體。綜觀2020年浙江省各地區的中考數學試卷，統計與概率繼續以較高的比重存在，分析發現著重考查了隨機事件及發生的概率，題型涉及選擇題、填空題和解答題，且大部分為中、低檔難度的題，全面覆蓋統計與概率的基礎知識、基本技能和基本方法。在解答題部分，更注重考查學生的數據分析觀念與數據處理的意識，考查的知識點也更為全面和綜合?？傮w上看，2020年浙江省各地區中考統計與概率試題在命制之初已考慮到分層、分梯度設置，給不同層次的學生都提供了展示的機會。

在數學教育向培養學生數學核心素養的趨勢下，歷年中考數學中統計與概率部分的命題趨勢也有所變化，題目的設計更加貼近數學素養的內涵。2020年中考數學統計與概率繼續關注對數學分析素養本質和內涵的考查，適度增加學生熟悉的情境，抽象出數據分析背后的內容，注重考查學生的理性思維和邏輯推理能力、數據分析能力，增強了實用性和創新型，通過設計情境滲透人文思想，彰顯出數學中蘊含的素養內涵。

二、 命題形式與考查核心素養分析

(一)基于統計思想和抽樣本質的考查，鞏固“雙基”，遷移應用

抽樣是初中數學統計課程的一個主要內容，簡單隨機抽樣在實際生活中應用較多，數據分析能力是學生需具備的數學核心素養之一。近幾年來，中考試題中關于簡單隨機抽樣的考查范圍較為明確，考查形式越來越注重在實際生活中的應用意識。

【例1】(杭州卷)某工廠生產某種產品，3月份的產量為5000件，4月份的產量為10000件。用簡單隨機抽樣的方法分別抽取這兩個月生產的該產品若干件進行檢測，并將檢測結果分別繪制成如圖1所示的扇形統計圖和頻數直方圖(每組不含前一個邊界值，含后一個邊界值)。已知檢測綜合得分大于70分的產品為合格產品。

(1)求4月份生產的該產品抽樣檢測的合格率。

(2)在3月份和4月份生產的產品中，估計哪個月的不合格件數多？為什么？

圖1

【例2】(臺州卷)新冠疫情期間，某校開展線上教學，有“錄播”和“直播”兩種教學方式供學生選擇其中一種，為分析該校學生線上學習情況，在接受這兩種教學方式的學生中各隨機抽取40人調查學習參與度，數據整理結果如表1(數據分組包含左端值不包含右端值)：

表1

(1)你認為哪種教學方式學生的參與度更高？簡要說明理由。

(2)從教學方式為“直播”的學生中任意抽取一位學生，估計該學生的參與度在0.8及以上的概率是多少？

(3)該校共有800名學生，選擇“錄播”和“直播”的人數之比為1∶3，估計參與度在0.4以下的共有多少人？

【評析】以上兩道題以實際問題為載體，考查了學生解決實際問題的能力，以及對數據的理解與分析的能力，很好地滲透了對抽樣知識遷移能力的考查。例1注重檢測學生收集與整理簡單抽樣數據的能力，考查了統計圖表的轉換，以及學生的推理能力。例2從客觀實際背景出發，主要考查學生利用樣本數據去估計總體情況的能力。數據分析核心素養明確提出注重對學生收集和整理數據能力的培養，以上題目的設計對學生數學核心素養的提高具有積極作用。

(二)統計圖表的繪制與數據轉化的綜合考查，峰轉“四基”，暗戳素養

描述數據的重要手段之一就是統計圖表的表示，能夠更直觀地表示數據。從初中生數據分析核心素養發展水平情況來看，在讀懂條形統計圖、折線統計圖、扇形統計圖以及頻數直方圖的基礎上，能夠繪制簡單的統計圖表。2020年中考統計與概率試題繼續考查統計圖表的分析與繪制，通過考查統計圖表的基本概念、本質意義，以及數據的計算，增強統計與概率知識考查的基礎性，使學生透徹掌握統計的基礎知識，有利于學生數據分析核心素養的達成。

【例3】(寧波卷)某學校開展了防疫知識的宣傳教育活動。為了解這次活動的效果，學校從全校1500名學生中隨機抽取部分學生進行知識測試(測試滿分100分，得分x均為不小于60的整數)，并將測試成績分為四個等級：基本合格(60≤x<70)，合格(70≤x<80)，良好(80≤x<90)，優秀(90≤x≤100)，制作了如下統計圖(部分信息未給出)。

圖2

由圖中給出的信息解答下列問題：

(1)求測試成績為“合格”的學生人數，并補全頻數直方圖。

(2)求扇形統計圖中“良好”所對應的扇形圓心角的度數。

【例4】(衡州卷)某市在九年級“線上教學”結束后，為了解學生的視力情況，抽查了部分學生進行視力檢測。根據檢測結果，制成下面不完整的統計圖表。

表2 被抽樣的學生視力情況頻數表

圖3

(1)求組別C的頻數m的值。

(2)求組別A的圓心角度數。

(3)如果視力值4.8及以上屬于“視力良好”，請估計該市25000名九年級學生達到“視力良好”的人數。根據上述圖表信息，你對視力保護有什么建議？

【評析】例3以學生熟悉的生活情境作為背景，令學生根據題目中的信息，進行統計圖表的分析與完善，潛移默化中考查了學生對統計概率圖表表示方法的理解與運用，著重考查了學生的作圖能力與數據分析意識。尤其考查了學生對頻數直方圖與扇形統計圖數據的轉變，使統計概念的考查水到渠成。圖表本身作為數據關系的一種表露形式，圖表的繪制可以從數量和圖形雙方面考查學生的綜合計算能力，表露出統計本質的考查。例4對頻數分布表與扇形統計圖之間數據的關系進行全面考查，突出了基礎知識、基本技能、基本思想方法以及基本活動經驗即“四基”的重要性。通過給出的頻數與占比進行分析能夠快速對總人數進行求解，能夠彰顯統計思維的縝密性和靈動性。另外，本題的最后一問涉及基于數據的預測和結論，學生可以根據各個視力段人數分布占比獲得有效信息。讓學生根據數據分析的結果提出相關建議，此題較明確地考查了學生數據分析核心素養能力，這表明我國中考試題已經開始嘗試對學生數學核心素養的測試。

(三)集中趨勢和離散程度的分析考查，引導推理與探究，維度多元

《義務教育課程標準(2011年版)》中明確指出刻畫一組數據集中趨勢的統計量一般用平均數、中位數和眾數來表示。通過以上數據的計算結果能夠對調查對象發展的趨勢進行判斷，以便于做出應對的決策。而平均數、中位數以及眾數由于定義的不同，進而數據表示的意義也存在較大的區別。

【例5】(杭州卷)在某次演講比賽中，五位評委給選手圓圓打分，得到互不相等的五個分數，若去掉一個最高分，平均分為x；去掉一個最低分，平均分為y；同時去掉一個最高分和一個最低分，平均分為z，則

( )

A.y>z>xB.x>z>y

C.y>x>zD.z>y>x

表3

明年準備從這三個品種中選出一種產量既高又穩定的枇杷樹進行種植，則應選的品種是。

【例7】(溫州卷)山茶花是溫州市的市花，品種多樣，“金心大紅”是其中的一種。某興趣小組對30株“金心大紅”的花徑進行測量、記錄，統計如表4。

表4

這批“金心大紅”花徑的眾數為

( )

A. 6.5cm B. 6.6cm C. 6.7cm D. 6.8cm

【評析】例5考查學生對平均分、最高分和最低分的區別與聯系以及數據的計算能力，并對學生分析判斷數據的能力進行了要求和考查。例6考查學生對平均數、方差概念的理解與運用，清楚兩者的本質含義。本題需要學生從概念的角度辨別平均數和方差的內在區別，然后通過對數據的分析得出結果，凸顯了數據對客觀背景的真實反映，實際問題的解決更突出考驗學生的數據分析核心素養。例7通過以本土文化作為數據產生的背景，描述出收集數據的細節，在一定程度上能夠讓學生在審題過程中感受到數據收集的過程與方法，以及主要考查了學生對眾數概念的理解。

(四)隨機事件及其發生概率的運算檢測，貼近生活，夯實基礎

2020年浙江省關于統計與概率試題，通過創設情境，立足于學生對實際問題的思考，考查學生數學邏輯推理能力，考查學生對數學題目的閱讀理解能力，以此引發學生深入思考，讓學生經歷“抽象—分析—歸一”的過程，考查學生對隨機事件的理解和解決問題的能力。

【例8】(嘉興卷)一只螞蟻在如圖4所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在岔路口隨機選擇一條路徑，它獲得食物的概率是。

圖4

【例9】(寧波卷)一個不透明的袋子里裝有4個紅球和2個黃球，它們除顏色外其余都相同，從袋中任意摸出一個球是紅球的概率為

( )

A. 1/4 B. 1/3 C. 1/2 D. 2/3

【例10】(杭州卷)一個僅裝有球的不透明布袋里共有4個球(只有編號不同)，編號分別為1，2，3，5，從中任意摸出一個球，記下編號后放回，攪勻，再任意摸出一個球，則兩次摸出的球的編號之和為偶數的概率是。

【評析】例8引導學生經歷從設計的情境中抽象出數學問題的過程，類似的試題在2020年全國各地區的中考試卷中都較為常見，與學生的生活實際息息相關。例9則引導學生體會隨機事件發生的概率問題，注重考查學生的基本知識和基本能力，突出考查學生對隨機事件發生概率的理解運用能力。例10則考查學生對放回再摸取事件的理解能力，使學生運用所學知識與方法解決此類概率問題，注重對概率本質特征的探究與理解，學生需要借助樹狀圖或者列表表述簡單隨機事件所有可能的結果，更關注實際問題中學生對概率意義的理解。

(五)數學核心素養能力的考查，挖掘數據，表述結論

《普通高中數學課程標準(2017年版)》中關于數據分析素養的介紹中指出數據分析是指針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關于研究對象知識的素養。數據分析過程主要包括收集數據、整理數據、提取信息、構建模型、進行推斷、獲得結論。這表明，中考中對數學統計與概率的考查應該包括對題目中數據的簡單整理與信息的推斷與提取。

【例11】(溫州卷)A，B兩家酒店規模相當，去年下半年的月盈利折線統計圖如圖5所示。

圖5

(1)要評價這兩家酒店7—12月的月盈利的平均水平，你選擇什么統計量？求出這個統計量。

(2)已知A，B兩家酒店7—12月的月盈利的方差分別為1.073(平方萬元)、0.54(平方萬元)，根據所給的方差和你在(1)中所求的統計量，結合折線統計圖，你認為去年下半年哪家酒店經營狀況較好？請簡述理由。

【評析】隨著對學生數學核心素養要求的提高，中考試題考查的內容越來越新穎，題目作答的類型也較為開放，例11主要考查學生解決實際問題的能力，問題(1)較為簡單地考查了平均數的計算方法，問題(2)則更注重對學生數據分析思維的考查，讓學生通過對方差以及折線統計圖的分析，提取圖中信息并分析作答。此題沒有準確答案，只要闡述原因合理即可。此類題目是考查學生統計思維意識的重要載體，對改進并提高中考數學核心素養檢測的有效性，提高學生數據分析素養能力具有積極作用。

三、 基本結論和命題趨勢展望

通過以上對中考題型的分析可以看出，以數據分析為載體，對數據分析核心素養進行了多角度、多方面的考查。這樣的試題設計不僅考慮到學生的分層發展，也透露出中考試題在逐步向核心素養檢測方面靠攏。關注數學核心素養的落實，不僅考查對數學基本概念、定理、方法及數學思想的理解和運用，而且還關注數學文化及科學精神，強化學科育人，使考試成為落實“立德樹人”的重要途徑。因此，未來中考數學的命題趨勢應是更加注重對學生數學思維能力以及生活情境的考查，對概率與統計知識模塊，將會在接下來的中考中更注重學生對數據的感知意識與分析能力，開放性題目也會逐漸增多，即更注重對學生數據思維、數學素養的考查，具體體現在以下方面：

(一)從情境維度考查學生的數學核心素養

數學核心素養培養是當下基礎教育數學課程與教學改革的熱點，培養學生的質疑能力和創新精神建立科學合理的核心素養評價指標體系是當下迫切需要解決的問題。中考試題更注重從現實問題入手，設置學生熟悉的情境，主要考查學生對情境的理解與轉化能力，有利于學生將所學知識遷移至實際問題中，增強學生的應用能力與應用意識，促使學生全面地認識數學與社會生活之間的關系，以此提高學生的創新能力與應用能力，進而達到提升學生數學核心素養的目的。

(二)從開放性結論維度考查學生的數學核心素養

中考正以開放性的問題設置考查學生對數據的感觀意識，從實際生活中收集到的數據往往具有多重含義，讓學生挖掘數據背后的意義有利于學生數據分析核心素養的達成，另外，從國際數學核心素養PISA測試的題目來看，題目的設計也較為寬泛，更多地與實際生活息息相關，為此，我國中考試題的設計可以參考國際測評標準，以達到更好地檢測學生數學核心素養的效果。

(三)從知識遷移維度考查學生的數學核心素養

數學教學的目的是學生數學思維能力的達成，學生能夠將所學知識遷移至其他問題的解決中，通過數學方法解決未知題目，更注重學生數學學習方法的應用、理解與創新，中考試題傾向考查學生對數學方法的掌握，數學思維的轉化，數學知識的應用，解決問題的能力是考查學生數學核心素養的有效手段。