多站無源時差定位可觀測性分析

王 銳

（91439 部隊，遼寧 大連 116041）

在無源定位跟蹤系統中，可觀測性分析已經成為一個重要的研究內容，是實現無源定位跟蹤的前提，只有當目標狀態完全可觀測時，定位跟蹤問題才有唯一可靠的解[1-2]。分析不同定位體制下的目標可觀測性，可以在保證系統可觀測性的前提下，盡可能地減少觀測器數目和觀測次數，完成目標定位跟蹤，提高跟蹤實時性，有效節省傳感器資源。

針對時差定位體制下的組網多觀測器可觀測問題進行研究。首先，在不考慮系統測量誤差的情況下，針對二維平面運動目標，以代數方程解的唯一性作為可觀測準則進行分析，給出系統可觀測的結論。但在實際系統中，由于傳感器和導航設備都會帶來一定的系統測量誤差，因此，對存在測量誤差的多觀測器無源定位跟蹤系統的可觀測性進行分析，給出了系統不可觀測時多觀測器的運動方程約束及觀測器構型對定位精度的影響。

1 多觀測器測時差可觀測性分析

測時差定位又叫雙曲線定位法或反羅蘭法，它利用測量目標的輻射信號到達兩個接收站的時間差來完成定位，具有結構簡單、定位精度高等特點[3]。測時差定位系統采用如下工作方式：在多觀測器中選定一個主觀測器，其他的作為輔助觀測器，輔助觀測器i接收目標輻射的信號，并把它實時轉發到主觀測器，主觀測器同時接收目標輻射的信號及輔助觀測器轉發來的信號，并測量它們之間的到達時間差，有

其中，r0為目標到主觀測器的視線距離；ri為目標到輔助觀測器i的視線距離；di為主觀測器到輔助觀測器i連線（基線Li）的長度，為已知常數；c為光速。

令ΔR=cΔt-d，表示目標到達主觀測器與輔助觀測器i 的距離差，則式（1）可簡化為：

因此，可以用距離差代替時間差。設目標相對于觀測器i在x方向上的距離、速度和加速度分別表示為rxi，νxi，axi，y方向上為ryi，νyi，ayi，則觀測方程為：

其中，c為聲波在空氣中的傳播速度；vi為零均值的高斯白噪聲，對應的方差為。

在二維平面內，假設時差定位系統由三個觀測器構成，其中S0（xob0，yob0）為主觀測器，S1（xob1，yob1）和S2（xob2，yob2）為輔助觀測器，輻射源坐標為（xt，yt），如圖1 所示。

圖1 多觀測器時差無源定位系統配置圖

根據式（2）所示時差無源定位原理，觀測方程可對應表示為：

將式（5）帶入式（4），整理得到：

解上式二元一次方程組，可得：

式中，Φ（a，b）表示（a，b）的相角，Φ∈[-π，π)。

由式（7）可知，當x1cosθ+y1sinθ+△R1=0 或x2cosθ+y2sinθ+△R2=0 時，目標不可觀測。如圖1 所示，若令θ=θ′，此時有

當θ滿足式（9），有x1cosθ+y1sinθ+△R1=0，此時目標不可觀測。由以上分析可以看出，當三觀測器位置不重合時，當且僅當目標位于任意兩觀測器連線及其延長線上時，目標不可觀測。

2 存在系統測量誤差可觀測性分析

在時差定位跟蹤系統中，考慮到達時間測量誤差、觀測器導航誤差和觀測器本身的測量誤差，對多觀測器時差無源定位跟蹤系統的可觀測性進行分析[4-5]。這里為了分析問題方便，并不是一般性，假設輻射源位于坐標原點，觀測器配置如圖2 所示。

圖2 時差無源定位系統配置圖（存在測量誤差）

對式（3）給出的三觀測器無源定位表達式中的到達時間差ti，觀測器位置（xi，yi）分別取微分得：

根據圖2 的時差系統觀測器配置圖，有

將（11）帶入（10）得：

求解dx，dy得：

假設各觀測器的測量誤差均為零均值，且彼此不相關的高斯白噪聲。到達時間的測量誤差標準差為，各觀測器導航誤差標準差為

對dx，dy分別做統計，即可得目標位置（x，y）的誤差分析結果：

根據時差無源定位系統誤差幾何稀釋度定義，有

由式（15）可以看出，定位誤差的大小與兩個因素有關：一個是幾何因子G，它反應了輻射源和觀測器間的相對幾何位置對定位誤差大小的影響；另一個是測量因子M，它反應了系統的測量精度對定位誤差的影響，這里包括到達時間差的測量誤差和觀測器自身的導航測量誤差。即有

其中，

這里我們重點分析幾何因子G對目標可觀測性的影響，得到以下幾點結論：

結論1：如果α+β=θ，當時，即其中任意兩個觀測器連線關于目標和另一觀測器的連線對稱時，定位誤差最小。

結論2：當α=0 或β=0 時，G 為無窮大，即目標位于任意兩觀測器連線及其延長線時，定位誤差無窮大。

結論3：由于α和β的對稱性，為了平均定位誤差最小，三個觀測器最好成等腰或等邊三角形分布。若觀測器成等腰三角形分布，目標位于底邊的中垂線上，定位誤差取得最小值；若等邊三角形分布，目標位于三角形的幾何中心時，定位誤差最小。

3 結束語

目標的可觀測性是目標被動跟蹤中的一個重要研究內容，若能從一個測量矢量中唯一確定目標的狀態，那么目標是可觀測的。在理想測量模式和誤差測量模式下，針對時差定位體制，使用代數方程唯一解方法對多觀測器無源定位的可觀測性進行分析。在目標可觀測的條件下，可有效節省傳感器資源，保證無源定位跟蹤的收斂速度。