基于交流調功電路的有源濾波器PI-PR-重復前饋控制算法

立梓辰，張延遲，李碩，陳洋，解大

(1. 上海電機學院，上海 200120； 2. 上海交通大學，上海 200240)

0 引 言

高加工精度的工業用電現場需要精確控制電源系統的輸出功率，但是又不必頻繁控制每個交流周期時，一般采用的是交流調功電路[1]。交流調功電路通常與典型的沖擊性負荷連接使用[2]，這種電路與負載在設備啟停的短暫過程中產生沖擊性電流，會導致變壓器飽和等問題，同時產生大量諧波，影響周圍設備的電能質量[3-4]。

目前對于具有間歇性的沖擊性負荷的無功補償，一般使用高精度、大功率的設備來進行治理，對此已有較多的研究[5-8]，這些研究從控制算法、裝置研制和拓撲結構等幾個方面進行了有益的探討。文獻[5]針對SVG無功補償的精度不高的問題，提出了一種混合重復PI和電網電壓的前饋控制的控制策略；文獻[6]研究三角形連接級聯H橋多級SVG的不平衡補償，推導出不平衡協調能力與其他影響因素之間的定量關系，得到了三角形連接SVG在不平衡條件下的有效補償范圍；文獻[7]針對有源功率補償問題，提出了一種新型SVC與HAPF三相電壓并聯補償結構和控制方法；文獻[8]針對高額定功率系統的混合APF拓撲成本高和體積大的問題，提出一種新型的三相SAPF四開關VSI拓撲結構。

而在面向具有沖擊性特點的諧波源時，兼具快速動態響應速度和高穩態精度的APF就顯得尤為重要，研究主要從檢測算法、控制策略和拓撲結構等三個方面進行[9-12]。文獻[9]提出一種瞬時電壓矢量定向的補償電流檢測方法，解決了傳統治理方法在電網電壓畸變時補償電流不能跟隨電網電壓波形的問題；文獻[10]針對APF穩態精度和動態響應不高的問題，提出了基于單同步旋轉框架的快速重復控制策略；文獻[11]分析非線性負載電流諧波分量的劇烈變化，提出一種基于CTEC算法的電流跟蹤誤差補償方法；文獻[12]提出一種基于直接交交變換技術的APF，結合改進的滑窗離散傅里葉變換法以及對稱分量法，實現了對三相電網各次諧波的各序分量的獨立的快速檢測。以上的研究雖然對于治理設備的補償能力以及APF的動態響應速度和穩態精度進行了有效的改進，但由于帶沖擊性負荷的交流調功電路除了本身會產生諧波，還存在具有頻繁沖擊性的電流需要補償，這就需要具有諧波補償和有功平滑功能雙重能力的裝置進行治理，并且在負載突變時對裝置內部直流側電壓進行快速精準控制，這方面的研究目前相對較少。

目前已有文獻[13-19]基于PI-重復控制在控制算法、特殊應用進行改進。文獻[13]為了提高重復控制的速度，提出一種只補償奇數次諧波的控制策略，但不能補償偶數次諧波以及整數次諧波；文獻[14]采用基于拉格朗日插值的有限脈沖響應濾波器，提出一種多速率分數階重復控制算法；文獻[15-21]采用PI-重復控制算法來提高系統補償性能；文獻[22-23]針對電網的頻率、電壓和諧波電流會隨著電網的擾動而迅速變化的問題，采用重復控制回路和采樣率固定的FD濾波器組成一種帶諧波校正環的快速重復控制。以上文獻對于PI-重復控制的改進雖然對系統補償性能有所提升，但是都是在整數次諧波的環境下進行改進，缺少對分數次諧波的改進措施。

本文主要提出并解決了以下的問題：(1)將沖擊性負荷與交流調功電路進行綜合分析，基于其產生的沖擊性電流和諧波分析結果，建立了針對此種特殊負荷的治理模型。(2)提出了一種適用于間歇性沖擊電流治理的三相并聯型有源電力濾波器的改進PI-PR-重復反饋控制算法。

文中首先從交流調功電路的諧波分析和沖擊性電流的分析計算介紹了帶沖擊性負荷交流調功電路的特性。然后針對帶沖擊性負荷交流調功電路的特性的分析改進傳統的治理方法，采用PI-重復控制的控制方法，提高APF的精準快速跟蹤的能力。文中進行了仿真和實驗驗證，研究了改進的PI-PR-重復前饋控制算法的APF針對不同運行工況的補償情況，分析了采用新算法的APF的性能。

1 交流調功電路工作特性分析

1.1 交流調功電路的工作原理

交流調功電路以交流電源的基波周期數為單位控制晶閘管的開斷的時間，用給定周期內負載與電源接通的占空比來調節輸出功率的平均值。單相交流調功電路原理如圖1(a)所示，其中US是交流電壓源，VT1、VT2為晶閘管，R為電阻，L為電感，Uo為負載R上的電壓，i為負載電流。交流調功電路負載電流如圖1(b)所示，其中電源周期為TS，交流調功電路的工作周期為M個電源周期，即T=MTS，向負載供電的時間為N個電源周期，不供電的時間為M-N個電源周期。

圖1 交流調功電路示意圖Fig.1 Schematic diagram of AC power-regulating circuit

輸出電壓有效值為：

(1)

式中Us為電源電壓有效值；Uo為輸出電壓有效值；D為占空比。

負載上的平均功率Po為：

(2)

式中Pmax為負載最大平均輸出功率，即在交流調功電路的整個周期內都向負載供電時負載得到的平均輸出功率；D2Pmax是在T周期內負載得到的平均輸出功率；I為電流有效值；cosφ為功率因數。當D=0時，Po=0；當D=1時，Po=Pmax。通過調節D的大小，即N與M的比值可以改變功率的大小。

1.2 交流調功電路的諧波分析

假設在一個工作周期內，電源工作頻率為fs，交流調功電路的周期為M個電源周期，導通周期為N個電源周期，以電源電壓的過零處為起點，選取T=M/fS為一個工作周期，則ω=2πfS/M。此時負載電流波形如圖1(b)所示，負載電流i(t)的表達式為式(3)，Imax是負載電流最大值。

(3)

當自變量為ωt時，式(3)可化為：

(4)

對式(4)進行傅里葉分解得到式(5)～式(8)，其中n是以電源頻率為基頻的諧波次數：

(5)

其中：

(6)

(7)

(8)

當n=M時，

(9)

此時i(ωt)為交流電源分量。

當n=kM(k=2,3,4…)時，

(10)

當n≠M,kM時，

(11)

由式(9)、式(10)可知，諧波次數為交流電源周期T的整數倍時，諧波分量都為0。由式(11)可得，諧波次數不為交流電源周期T的整數倍時，諧波分量恒不為0。因此，交流調功電路的諧波成分不是電源頻率的整數倍，皆為分數次諧波。

由式(11)可得：

(12)

諧波含量h為：

(13)

設n=xM，則諧波含量：

(14)

由此可得，當x>1時，h(x)<0，由此可得交流調功電路的諧波含量都為分數次諧波，且多在50 Hz以內。

1.3 沖擊電流分析

交流調功電路在改變占空比時切換晶閘管開關開合狀態，在有電感存在的負載中，在開關切入的瞬間會產生沖擊電流ia。

晶閘管閉合前，電路處于斷態，此時交流調功電路回路電流為0，其零狀態電流is為：

is=0

(15)

當交流調功電路工作時，假設在t=0時導通，電流瞬時值應滿足如下微分方程：

(16)

穩態電流ip為：

ip=Imsin(ωt+φ1)

(17)

其中：

式(16)的通解對應齊次方程(18)的解：

(18)

沖擊電流的自由分量iaa，按指數規律衰減：

(19)

電流ia表達式為：

(20)

在含有電感的電路中，通過電感的電流不能突變，即閉合前后的電流值相等：

is=0=ia(0)=Imsinφ1+C

(21)

所以：

C=-Imsinφ1

(22)

沖擊電流ia為：

(23)

由于沖擊電流的最大瞬時值在電路導通后半個周期出現，所以最大沖擊電流瞬時值iM為：

(24)

也可求得沖擊電流ia的有效值，它是以時刻t為中心的一個周期內瞬時電流的均方根值：

(25)

2 改進PI-重復控制算法設計

通過以上對帶沖擊性負荷的交流調功電路的分析，發現其負荷特性具有周期性和突變性，且諧波次數多為50 Hz內的分數次諧波。而常規的電力有源濾波器所采用的PI控制對這種負荷的補償作用有限，無法實現動態無靜差跟蹤。為此本文將PI控制和重復控制組成的算法應用到有源濾波器的控制算法中，并對PI-重復控制算法進行改進，加入PR和前饋控制，可以應對這種帶有沖擊性負荷的交流調功電路對電網的沖擊。

2.1 重復控制

內模原理指出：若要求反饋控制系統具有良好的指令跟蹤及抵消擾動影響的能力，并使這種對誤差的調節過程結構是穩定的，則在反饋控制環路內部必須包含一個描述外部特性的數學模型，該數學模型就是所謂的“內模”。

重復控制基于內模原理，即把系統外部信號的動力學模型植入控制器以構成高精度的反饋控制系統，這樣可以實現對輸入信號的無靜差跟蹤。重復控制可以為每個諧波信號提供高增益，適用于周期信號跟蹤和抗干擾問題的處理。

圖2為重復控制系統示意圖，圖中r為輸入信號，y為輸出信號，e為誤差信號，Z-m為周期延遲環節，m為一個重復控制周期環內的采樣次數，P(z)為控制對象，Q(z)為輔助補償器，S(z)為校正器，主要針對控制對象的高頻衰減特性，提高系統的穩定性及抗干擾能力。

圖2 重復控制框圖Fig.2 Repetitive control block diagram

根據圖2得出重復控制的傳遞函數為：

(26)

由式(26)和圖2可以看出，無論什么輸入信號e，只要周期性重復出現，則輸出ur就是對該信號的重復性累加。即使輸入信號為0，輸出信號還是會重復上一個周期相同的信號。

2.2 改進PI-PR-重復前饋控制

PI控制具有較快的響應速度，可以對跟蹤誤差立即起到調節作用，但是跟蹤精度不高。重復控制具有幾乎靜態無誤差跟蹤正弦信號的優點，且輸出失真小，但存在動態響應慢的問題。為此文中提出了一種基于PI控制和重復控制的改進控制策略，以保證APF在治理帶沖擊性負荷的交流調功電路時具有較快的動態響應速度。

由于重復控制延遲一個周期補償，文中將iref與i*的差前饋到PI控制前，提升系統響應速度。

設APF的調制深度H、APF直流側電壓Udc以及電網電壓的峰值Um之間的關系為：

(27)

由式(27)可知，當直流側電壓Udc和電網電壓的峰值Um一定時，調制深度隨著APF輸出電流變化。而由于交流調功電路的負載具有突變性，對于重復控制影響不大，但是負載導通時會產生沖擊性電流，會造成直流側電壓突變，故本系統加上電網電壓的前饋控制，維持直流側電壓穩定，消除電網電壓擾動。

針對文中分析帶沖擊性負荷的交流調功電路諧波特性，采用PR控制對50 Hz以內的分數次諧波進行無靜差跟蹤，如圖3(a)所示。

圖3 系統控制框圖Fig.3 System control block diagram

PR控制器的傳遞函數GPR：

(28)

式中KP為比例控制的增益；M和ω的物理意義同上1.2節。由式(28)可知，PR在諧振頻率處增益無限大，而在非諧振頻率點處增益很小，PR控制器的組數由M確定，M值可以在APF中作為設置參數進行整定。當M確定后，PR可以對特定次的信號進行無靜差跟蹤。

由于PI-重復控制會在中高頻處存在相位偏移的階段，這對于系統穩定存在影響，文中在系統中加入一拍延遲環節，在3.4節進行分析。

由圖3(b)改進PI-PR-重復前饋控制框圖可得系統誤差e(z)：

(29)

同時可得：

(30)

將式(26)、式(29)、式(30)相結合，可得：

e(z)=

(31)

式(31)的特征方程為：

1-Z-mQ(z)+[1-Z-mQ(z)+Z-mKrZkS(z)](GPI+GPR)GVSI=0

(32)

為使系統保持穩定，必須保證特征方程的根在單位圓內，于是需要考慮重復控制器的參數設定。

重復控制器的參數設計：

(1)周期延遲系數m

APF的開關頻率fs設為10 kHz，電網系統的基波頻率f是50 Hz，于是m計算公式為：

(33)

(2)輔助補償器Q(z)

Q(z)的目的是提高系統的穩定性。Q(z)=1時，系統可對于輸入信號進行無靜差追蹤，但這種情況下系統處于臨界穩定狀態。通常情況下，Q(z)為小于1的常數，Q(z)越接近1，內模越接近于純積分。經過仿真測試，選擇0.98。

(3)校正器S(z)

如需對30次以下諧波進行很好的補償，S(z)的截止頻率不能低于30次諧波，取截止頻率fc=2 700 Hz。得到S(z)傳遞函數為：

(34)

(4)重復控制器增益Kr

重復控制器的增益Kr是為了保證系統在中高頻段的穩定性，一般情況下取1。

(5)相位補償Zk

Zk為超k前拍相位校正環節，用于補償數字控制器帶來的時間延遲，超前4拍進行調整。

2.3 采用改進PI-PR-重復前饋控制算法的APF

圖4 改進PI-PR-重復前饋控制的APF框圖Fig.4 APF block diagram with improved PI-PR-repeat feed-forward control

在諧波電流檢測環節，電網電壓相位θ由鎖相環和正余弦發生器計算，諧波電流檢測負載側的電流信號iL，分解到直角坐標系上為ix和iy，由Park變換可得有功電流id和無功電流iq為：

(35)

(36)

(37)

(38)

從而補償負載電流中的諧波。

3 仿真與實驗

3.1 交流調功電路仿真

對圖1(a)所示的交流調功電路進行仿真分析，仿真中控制交流調功電路周期為5個電源周期的定周期，即額定工作頻率為10 Hz，負載由大電感和電阻組成，仿真和系統參數如表1所示。

表1 交流調功電路基本參數Tab.1 Basic parameters of AC power-regulating circuit

在實際運行中，電源向負載供電的功率情況較為復雜，這里分別觀察用晶閘管控制電路導通3個周期、斷開2個周期的情況，以及導通1個周期、斷開4個周期的情況，電源側電流的波形變化分別如圖5(a)和5(b)所示。從電源側電流仿真結果圖中可以看出，在第一個周期內，電流的直流分量表現的最為明顯，而在第二周期和第三周期時，電流波形逐漸接近正弦波，說明電流中的直流分量趨于0。

對負載電流的FFT分析如圖5(a)所示，網側THD為34.87%，直流分量12.31%，可見帶有沖擊性負荷的交流調功電路中諧波分量和直流分量都很嚴重，并且從諧波分布可以發現諧波含量高的頻率集中在0～100 Hz之間，不是電源頻率50 Hz的整數倍，而諧波次數為50 Hz的整數倍時，諧波分量都為0，說明諧波成分皆為分數次諧波。

交流調功電路輸出小功率的工作狀況如圖5(b)所示，此時電路只導通一個周期，THD為81.19%，直流分量為35%。對比圖5(a)和圖5(b)不難發現，功率大小雖然會影響分數次諧波的含量和電流畸變率， 但通過計算發現直流分量大小變化卻不大，說明第一周期的直流分量含量最多，并隨著時間推移快速減少至0。

圖5 交流調功電路仿真結果Fig.5 Simulation results of AC power-regulating circuit

3.2 改進PI-PR-重復前饋控制的APF仿真

改進PI-PR-重復前饋控制的APF控制框圖如圖4所示，其中APF主拓撲為兩電平電壓型逆變電路，其參數如表2所示。

表2 改進PI-PR-重復前饋控制APF的參數Tab.2 Parameters of the improved PI-PR-repeat feed-forward control APF

改進的APF采用PI-PR-重復前饋控制實現無靜差追蹤，實時檢測有源濾波器的諧波和無功，通過SVPWM控制策略對網側電流進行補償。

比較PI-重復控制和改進PI-PR-重復前饋控制仿真結果對比如圖6所示。其中圖6包括系統電壓、負荷電流、APF輸出電流、系統總電流和直流母線電壓五個波形，以及對系統總電流FFT的分析結果。

圖6 改進前后APF補償調功電路的仿真結果Fig.6 Simulation results of APF compensation circuit before and after improvement

采用PI-重復控制的APF補償調功電路大功率負載的仿真結果如圖6(a)所示，此時調功電路的M=5，N=3。系統電流含有沖擊性的電流，沖擊電流有效值為467 A，且直流側電壓有較大波動，對系統電流進行FFT后發現50 Hz以內分數次諧波仍舊存在，THD為26.77%。相同情況下，改進PI-PR-重復前饋控制APF補償的對比仿真結果如圖6(b)所示，從系統電壓可以看出電網電壓很穩定，不受負載變化的影響，補償后電流有效值318 A，波形明顯優于PI重復控制算法。對比負荷電流和APF輸出電流可以看出，APF補償電流恰好彌補了負載電流的波形缺失部分，系統電流的波形驗證了這一點以及新算法的有效性。直流母線電壓在700 V左右波動并維持穩定，APF可以正常運行。對系統電流進行FFT的結果可以看出電流直流分量為0，THD減少到3.06%。

采用新算法的APF對調功電路帶小功率的負載進行補償的仿真結果如圖6(c)所示，此時M=5，N=1。從負荷電流可以看出在小功率負載的情況下，負載波形缺失更加嚴重，對APF補償能力的要求也更高；從系統電流的波形可以很容易的發現改進的PI-PR-重復控制算法對于此種情況依然可以很好地進行追蹤。此時，直流母線電壓穩定在800 V并維持穩定，補償后系統電流的THD為4.65%。

3.3 功率調節變化的仿真

前面的仿真結果表明，改進的PI-PR-重復控制算法可以應對不同功率的沖擊負荷，以下考慮負荷變化的情況。

調功電路在調節功率的過程中，調功電路的輸出不再是重復性周期函數，為此對改進PI-PR-重復前饋控制APF補償在功率變化的情況進行了仿真，如圖7(a)所示，總周期M= 5不變，調功電路的導通周期由N= 1逐漸增大到導通周期N= 4的過程。此時，負載電流逐漸增大，功率也隨之增大。圖7(b)為補償后的系統電流，圖7(c)為FFT結果，THD為4.71%，說明在調功電路功率變化時，改進PI-PR-重復前饋控制依然具有優秀的補償效果。

圖7 交流調功電路功率變化過程仿真Fig.7 Simulation of power increasing process of AC power-regulating circuit

3.4 改進PI-PR-重復前饋控制APF的算法穩定性

由2.2節圖2重復控制框圖可得重復控制傳遞函數Grepeat為：

(39)

可求得重復控制系統誤差erepeat：

erepeat=r-ur=r-urP(z)

(40)

將式(37)帶入式(38)可得誤差方程：

(41)

因此重復控制系統的特征方程為：

1-Z-mQ(z)+Z-mKrZkS(z)(GPI+GPR)GVSI=0

(42)

由式(29)和式(31)可以得知改進PI-PR-重復前饋控制的傳遞函數GA為：

GA(z)=

(43)

系統傳遞函數GA的伯德圖如圖8(b)所示，在0～400 Hz之間曲線擬合度精度很高，因此在中低頻階段會有較好的零相移、單位增益特性，而在高頻段，幅值補償快速下降到10 dB以下維持系統穩定。證明了改進PI-PR-重復前饋控制算法的穩定性，能夠實現對諧波的無靜差跟蹤，整個系統顯示了較好的諧波補償效果。

圖8 PI-重復控制改進前后的傳遞函數伯德圖Fig.8 Bode diagram of transfer function before and after the improvement of PI-repeat control

3.5 現場運行測試

為了驗證改進PI-PR-重復前饋控制APF的有效性，將其投入實際現場進行運行測試，現場為容量500 kW的加熱裝置。現場工況如表3所示。

表3 現場工況Tab.3 Field operation conditions

現場實際工況的工作電壓為220 V，首先測量電網側的電壓和電流波形，然后測量APF輸出補償電流與加熱裝置工作電壓。

改進的APF設備投入現場運行測試結果如圖9所示，圖9(a)是加熱裝置運行功率為403.8 kW時系統A相電壓電流波形，圖9(b)為加熱裝置的工作電壓波形以及APF工作時輸出電流波形。

圖9 現場實際運行結果Fig.9 Actual operation results on site

由圖9(a)可知在系統電壓220 V時，系統電流為611.8 A，補償后電流畸變程度很小，在加熱裝置處于關閉狀態時，即圖9(b)中負載電壓為零的情況下，APF輸出電流波形快速升高實施補償，以保持系統電流的正弦，補償后的系統電流THD為3.26%，與預期結果相符。現場實際運行結果說明本文提出的PI-PR-重復前饋控制算法具有良好的補償效果。

4 結束語

文章研究了帶沖擊性負荷的交流調功電路的電能質量問題，提出了改進的PI-PR-重復前饋控制算法APF進行諧波補償，主要結論如下：

(1)文章建立了帶沖擊性負荷的交流調功電路的模型，理論分析并仿真驗證了它的諧波成分皆為50 Hz內的分數次諧波，并且電流具有突變性和周期性。通過比較兩個輸出功率不同的交流調功電路的電流波形發現，直流分量在第一周期含量最多且在周期結束時快速下降；

(2)文章提出的改進PI-PR-重復前饋控制算法的APF可以應對此類負荷時，可以滿足不同功率及功率變化的工況，補償后THD降低至5%以下，現場實驗證實了所述結論。