分數階混沌系統自適應有限時間追蹤控制

李賢麗，湯俊杰，朱金元，溫玉玉

（東北石油大學物理與電子工程學院，黑龍江大慶 163318）

分數階微積分理論始于17 世紀，但最近幾十年才得到研究者的關注。一方面分數階微積分理論將整數階微積分推廣到任意階次可以更準確地描述動力學現象，如機械系統、生物工程和流體力學等。另一方面，許多分數階系統中都存在混沌現象，如分數階統一混沌系統[1]、分數階Lorenz 混沌系統[2]、分數階Rossler 混沌系統以及分數階金融混沌系統[3]等。

近年來，將分數階微積分理論應用在混沌控制中已經成為物理、數學等領域的研究熱點。許多控制方法相繼提出，如線性反饋控制[4]、追蹤控制[5]、自適應控制[6]、脈沖控制[7]、滑膜控制[8]等。滑膜控制是一種簡單實用的混沌控制方法，因其具有較強的抗干擾能力而得到廣泛關注。這些混沌控制方法大多是漸進穩定的，而有限時間控制可能在實際應用中更有意義，因此在20 世紀中期Kamenkov 首次提出有限時間穩定概念，不僅使受控系統具有更快的收斂速度，而且具有較強的魯棒性以及抗干擾能力。Amato[9]和Garcia 研究了連續時間及離散時間系統的有限時間穩定問題。Wang[10]等人解決了超混沌系統的有限時間控制問題。2018 年，邵克勇[11]等人成功將整數階混沌系統有限時間控制理論推廣到分數階混沌系統，實現了分數階超混沌Lorzen 系統有限時間控制。但是上述研究只是將混沌系統控制到零點，將混沌系統控制[12]到任意點的研究較少。文中基于有限時間控制理論，結合追蹤控制法，對參數未知的分數階Zhang 混沌系統進行控制研究，通過設計自適應有限時間追蹤控制器，實現了系統的自適應有限時間追蹤控制。實驗結果表明，該方法可以使系統狀態變量在有限時間內收斂到任意點，并且具有較強的抗干擾能力。

1 分數階微積分概述和基本理論

當前分數階微積分定義主要分為3 種，分別是Riemann-Liouville 定義[13]、Grunwald-Letnikov 定義以及Caputo 定義。文中采用Caputo 定義。

定義1 連續函數f(t)的q階Caputo 分數階導數定義為：

式中，q是分數階系統的階次，滿足n-1 ≤q≤n，Γ(?)是Gamma 函數。

定義2 Gamma 函數[14]定義為：

引理1 假設x(t)∈Rn是連續可導的，則對于任意時間t≥0，?q∈(0,1)，有：

引理3 假設存在一個Lyapunov函數V(t,x(t))，m和n為任意正常數，且存在一個類β函數βi(i=1,2,3)滿足下列不等式，則該系統滿足全局Mittag-Leffler穩定。

引理4 如果系統Dqx(t)=f(t,x(t))滿足引理3 且滿足DqV(t,x(t))≤，則說明該系統是有限時間內穩定的，且系統的穩定時間滿足：

其中，q是階數且0

引理5[16]假設xi=x1,x2,…,xn是實數，且0

2 分數階Zhang混沌系統動力學動力學性質分析

文中以分數階Zhang 混沌系統[17]為研究對象，其數學模型如下：

設定分數階Zhang 混沌系統的參數為a=12,b=25,c=8，階數q=0.95，初始值x0=-1,y0=0,z0=1，通過MATLAB 進行數值計算，得到分數階Zhang 混沌系統隨參數d變化的分叉圖如圖1 所示。

圖1 分數階Zhang混沌系統分叉圖

從圖1 可知，當d∈[0,1.87)時系統處于混沌狀態，取參數d=1，系統的二維相圖如圖2 所示；當d∈[1.87,2.05)時系統處于周期狀態，取參數d=2，系統的二維相圖如圖3 所示；當d∈[2.05,2.5)時系統處于混沌狀態，取參數d=2.3，系統的二維相圖如圖4 所示；當d∈[2.5,6)時系統處于周期狀態，取參數d=6，系統的二維相圖如圖5 所示。

圖2 d=1時系統二維相圖

圖3 d=2 時系統二維相圖

圖4 d=2.3 時系統二維相圖

圖5 d=6 時系統二維相圖

令式（8）左邊為零，可以求得系統的平衡點，則其平衡點處的Jacobian 矩陣為：

根據分數階穩定性定理可知，為了保證系統在平衡點處漸進穩定，就需保證其平衡點處Jacobian矩陣的特征值(λ1,λ2,λ3)滿足|arg(λi) |>πα/2,α=max(qi),i=1,2,3,通過數值計算可知，當式（9）的階數為qi(i=1,2,3)<0.846 161 時，可滿足條件。

3 自適應有限時間追蹤控制

分數階Zhang 混沌系統表達式如下：

其中，xi(i=1,2,3)是系統的狀態變量，ui(i=1,2,3)是待設計的控制器，a、b、c分別為系統的未知參數。當不考慮控制器時式（9）滿足分數階Zhang 混沌系統結構。

當系統參數為a=12,b=25,c=8，階數q=0.95時，系統處于混沌狀態。選取上述參數，選取初始值x1=1,x2=0,x3=1 時，分數階Zhang 混沌系統相圖如圖6 所示。

圖6 分數階Zhang混沌系統相圖

式（9）滿足的自適應有限時間追蹤控制器描述如下：

在滿足式（10）的控制器作用下，滿足式（9）的系統是有限時間穩定的。其中ki>0(i=1,2,3),0<λi<1(i=1,2,3),a1、b1、c1是a、b、c的估計值，e1=x1-y1,e2=x2-y2,e3=x3-y3，其中yi(i=1,2,3)為給定的常數追蹤信號。參數更新規則如下：

其中，ki>0(i=4,5,6)，λi(i=4,5,6) 為任意實數，不確定參數的估計誤差為ea=a-a1,eb=b-b1,ec=c-c1。

證明：選取Lyapunov 函數

由式（9）～（13）可得：

由于ki>0(i=1,2,3,4,5,6)，可得DqV≤0。因為DqV≤0，所以一定存在β3>0，使得DqV(t,e)≤-β3‖e‖2，故由引理3 可知，式（9）滿足的系統是Mittage-Leffler穩定。且由DqV(t,e)≤0 可得=0，因此，該控制器可以保證系統的解全局有界。同時由式（12）可得≤2V(0,e)。當≤1 時，有：

因此，若初始條件滿足：

時，由于DqV≤0，所以e(t)∈Ω。因此，對任意初始條件e(0)∈Ω都有：

由引理4 可知，系統DqV1是有限時間穩定的，因為DqV(t,e)是全局Mittag-Leffler 穩定且DqV1中所有的初值都包含在DqV(t,e)內，所以DqV(t,e)是有限時間穩定的。

4 數值仿真

為證實參數未知的分數階Zhang 混沌系統的有限時間追蹤控制器和自適應率的有效性，對其進行數值仿真，系統參數設置為a=12,b=25,c=8,q=0.9；未知參數初始值a1=8,b1=27,c1=6,ki=6,λi=0.5(i=1,2,3,4,5,6)，初始條件為x0=(-1,0.5,4)，給定信號y0=(0,2.5,3)，穩定時間t≤1.55 s，仿真結果如圖7 所示。

圖7 狀態變量時序仿真

由圖7 可知，系統在1.55 s 內便消除了混沌，狀態變量在有限時間內收斂到追蹤信號y0=(0,2.5,3)，同時實現了對未知參數的辨識。

為證明該方法具有抗干擾性，給出擾動模型如下：

其中，k1=0.2,k2=0.3,k3=0.1，其余參數不變，仿真效果如圖8 所示。仿真結果表明，當初始條件完全一致的情況下加入有界隨機噪聲的情況下，該系統在1.55 s 內收斂到追蹤信號，證明了文中設計控制器的有效性和良好的抗干擾能力。

圖8 狀態變量時序仿真

5 結論

文中基于分數階微積分理論及有限時間控制理論和追蹤控制原理，通過設計自適應有限時間追蹤控制器，實現了參數未知的分數階Zhang 混沌系統的追蹤控制。仿真結果表明該方法簡單有效，可以使受控系統在有限時間內收斂到任意點，收斂速度較快。引入有界隨機噪聲，證明該方法具有良好的抗干擾能力。