高中藝體生秒殺離心率問題的策略研究

范敏

摘 要：在高中數學平面解析幾何模塊中，離心率問題是高考的熱點問題，本文就解決本類問題常用的處理方法和技巧加以歸納，力求達到見題即秒的效果。

關鍵詞：藝體生 離心率 策略

在新高考背景下，離心率以及離心率取值范圍問題是高考的熱點考點，各種題型均有涉及。有關離心率的考題涉及的知識點較多，且處理的思路和方法比較靈活，通過對本校藝體特長生的數學學習狀況的調查，發現很多藝體生同學對離心率問題掌握起來比較困難。本文就解決本類問題常用的處理方法和技巧加以歸納，力求達到見題即秒的效果，希望對藝體生的復習備考帶來一定的幫助。

秒殺離心率問題所需秘笈網Z，

（1）直接求出a、c，利用離心率公式 來求解；

（2）變用公式，整體求出e：以橢圓為例，

如利用 ， ；

（3）構造a、c的齊次式，解出e：根據題設條件，借助a、b、c之間的關系，構造出a、c的齊次式，進而得到關于e的方程，通過解方程得出離心率e的值.

秒殺離心率取值問題所需秘笈網Z，

1、根據題目中給出的不等關系

根據平面圖形幾何條件中的不等關系， 的范圍，已知某些量的范圍，圓錐曲線的第一和第二定義等得到a，b，c之間的不等關系，從而確定離心率的范圍。

2、根據橢圓或雙曲線焦半徑的范圍來求離心率的范圍

第一步：先利用幾何條件把焦半徑表示出來；第二步：若橢圓則 ，若雙曲線則 .

3、根據橢圓或雙曲線中x的范圍來求離心率的范圍

第一步：同法二先利用幾何條件把焦半徑表示出來；第二步：若橢圓則-a≤x≤a，若雙曲線則x≥a或x≥-a.

三、典例分析，融合貫通

典例1 已知雙曲線E： ，若矩形ABCD的四個頂點

在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|=3|CD|，則E的離心率為

【解法1】直接法

由題意|BC|=2c，所以|AB|=3c，

于是點 在雙曲線E上，代入方程，得 ，

在由a2+b2=c2得的離心率為 .[

【點睛之筆】直接代入，少走彎路！

【解法2】通徑法

易得 ， ，所以 ，|BC|=2c，

由2|AB|=3|BC|，c2=a2+b2得離心率e=2或 （舍去），所以離心率為e=2

【點睛之筆】通徑法，此徑通幽！

【點睛之筆】幾何法，利用圖形畫出美好未來！

【解后反思】

解法1 直接將數據代入，直奔主題，不走回頭路！

解法2 利用通徑，減少計算量！

解法3 利用數形結合法，以形助數！

典例2 設雙曲線 （a>0， b>0）的漸近線與拋物線

y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率等于（ ）

A. B.2 C. D.

【點睛之筆】設而不求法，不求也能求！

【解法2】導數法

設切點P（x0，y0 ）

∵y'=2x

∴切線斜率

∴

∴b2=4a2.

又 c2=a2+b2，∴c2=a2+4a2=5a2

∴ ，故選C.

【點睛之筆】導數法，快速確定解題方向！

【解后反思】

解法1 設而不求法，再也不求人！

解法2 利用導數的幾何意義，迅速突破難點，確定解題方略！