隨機風場中系留無人機系統運動響應研究

邢龍濤，馮志壯，劉晨，李貞坤

(中國直升機設計研究所 直升機旋翼動力學重點實驗室，江西景德鎮，333001)

系留無人機系統由多旋翼無人機、綜合纜繩、系纜收放系統組成，具有續航時間長，抗干擾能力強等優點。系留無人機系統在運動過程中會受到隨機風作用，隨機風荷載會使系留無人機系統發生劇烈運動，嚴重影響系留無人系統的穩定性。所以需要對系留無人機系統的運動響應進行研究。有些學者對平均風場中系留無人機系統的運動響應進行了研究。Sina Doroudgar[1]通過拉格朗日方法建立了系纜的運動方程，研究了平均風場中系留無人機系統的靜態和動態運動。

王亞偉等[2]采用ADAMS軟件對飛艇系留系統進行了靜力學與動力學仿真，將纜索結構處理成質點-彈簧-阻尼系統，計算得到8個靜力學工況和1個動力學工況下系纜張力變化情況，得到飛艇攻角、線密度對系纜靜態構型的影響和風速對系纜張力的影響。方治華和李晨[3]將模擬的隨機風荷載導入到斜拉索表面，計算拉索在自然風作用下的振動響應。柯世堂，王同光和曹九發等[4]采用諧波疊加法模擬塔架和風輪的來流風速時程，然后對海上風力發電系統結構進行風振動力響應和風振系數計算。劉小會等[5]研究了隨機風場中覆冰四分裂輸電導線的舞動問題。楊慶山和沈世釗[6]等利用隨機振動離散分析方法計算隨機風振響應，并對懸索結構隨機風中響應進行了參數分析。杜齊魯[7]等對隨機風作用下系泊浮體系纜力進行了研究。基于Davenport譜和API譜得到隨機風速時程，給出了不同載態情況下系纜力的模擬公式及其參數值。

本文建立了張緊狀態下系留無人機系統的運動方程，并對系統進行模態分析，采用伽遼金法對張緊狀態下系留無人機系統運動方程進行離散化處理，基于Davenport脈動風譜，采用諧波疊加法模擬隨機風，研究了隨機風荷載作用下，對不同位置處系纜法向運動響應進行了分析。

1 張緊狀態下系留無人機系統運動方程

假設系留纜繩滿足彈性本構關系，忽略彎曲剪切和扭轉剛度。系留無人機系統的簡圖如圖1所示，其中xOy為慣性坐標系，V為風速，Si為靜態構型，St為動態構型，e1和e2分別是切向和法向的方向向量，忽略副法向方向的運動，動態位移U可沿e1、e2方向分解為U1、U2。系留纜繩的運動微分方程為[8]：

圖1 系留無人機運動簡圖

其中：P為靜態張力，K為靜態曲率，E為系留纜繩的彈性模量，A為系留纜繩的橫截面積，θi為平衡構型中纜繩切向與水平方向的夾角，ρ為纜繩線密度，g為重力加速度，F1和F2分別為系留纜繩在切向和法向上所受的風荷載，由于F1很小所以忽略。

在S=L處系纜與無人機質心鉸接，無人機所受力都作用在質心處，無人機的受力圖如圖2所示。

圖2 無人機受力簡圖

其中:F為無人機的電機驅動力，Mg為無人機的重力，Pt(L) =P(L)+EAε為系纜的總拉力，FDx是無人機在水平方向上所受的氣動力，其表達式為：

纜繩下端點鉸接，將系纜上端點所受各力沿e1和e2方向進行分解，系留無人機系統的邊界條件為：

為了下面的計算方便，對系留無人機系統的運動方程進行無量綱化處理，其表達式為

由于纜繩質量很小，而無人機質量很大，當系纜處于張緊狀態時，系纜動張力變化很小，因此系纜切向可以應用準靜態拉伸理論，所以用平均動應變來表示系纜各點的動應變。由于系留無人機系統平衡狀態是處于均勻風場中，系纜受氣動力作用使系纜有構型，所以平衡曲率不為0，但是平衡曲率k很小，可以當成小量處理，保留運動方程和邊界條件中平衡曲率的一次項。因此系纜的運動方程和邊界條件變成：

系纜法向運動方程：

邊界條件為：

2 模態分析

忽略方程（8）到方程（11）中的非線性項得到：

系纜法向線性化方程：

邊界條件：

運用變量分離設解為：

將上式代入到線性化方程和邊界條件中整理得到系纜法向頻率方程為：

以及頻率方程對應的法向振型為：

3 隨機風場中系留無人機系統運動響應

3.1 張緊狀態下系留無人機系統運動方程離散化

采用伽遼金方法對方程進行截斷，由于系纜處于張緊狀態，系纜的運動方程主要以前2階為主，所以對系纜法向運動方程進行了2階截斷。設系纜法向位移為：

其中x21(s)和x22(s)分別為系纜法向1階振型和法向2階振型，通過方程（17）得到。本文將無人機看成質點且與系纜鉸接，因此系纜頂端位移與無人機處相等，所以無人機處的法向位移可以表示成：

將方程（18）和（19）代入到系留無人機系統運動方程（8）到（11）中，整理得到：

其中a1～a2,b1～b2,c1～c12,d1～d12以及E1～E6為積分常數。

3.2 隨機風速時程模擬

隨機風通常由平均風和脈動風組成，其表達式為：

其中Vc為平均風速，Vn(t)為零均值的脈動風速。本文基于Davenport風譜，采用諧波疊加法模擬脈動風，然后加入平均風來模擬隨機風。Davenport風譜的表達式為[9]：

根據Shinozuka理論[10]，其隨機風速的表達式可以表示成：

Δf為頻率增量其表達式為fmin和fmax為頻率區段的上限和下限，N為一個充分大的正整數；φj為在 ■■0 ,2π■■上均勻分布的隨機變量，fj=fmin+(j- 0.5)Δf。

當平均風速Vc=15m/s、N=2048、V10=7m/s、海面工況K1=0.0025，f為脈動風頻率，其取值范圍為為湍流積分尺度系數其表達式為時，通過方程（22）到（24）模擬出1000s隨機風歷程曲線，這里截取200s到1000s的時間歷程如圖3所示。

圖3 Davenport風譜模擬的隨機風時程曲線

3.3 隨機風場中纜繩位置對系纜法向位移的影響

采用表1中的參數，將方程(22)到(24)代入到系留無人機系統的離散化方程(20)和(21)中，然后采用數值方法進行求解得到系纜不同位置處的法向位移。本文通過概率密度曲線來分析系纜法向位移的大小。從圖4可以看出，在S=40m處，系纜法向位移概率密度曲線很陡峭，說明系纜法向位移發生較大位移可能性很小；在S=60m處， S=80m處和S=100m處,系纜法向位移概率密度曲線不斷變得平緩，說明系纜法向發生很大位移的可能性開始增加。這是因為系纜頂端與無人機相連，而無人機處所受的風荷載大于系纜所受的風荷載，靠近頂端位置處系纜受無人機運動的影響很大。

表1 系留無人機參數

圖4 不同位置處系纜法向概率密度曲線

4 結論

本文對張緊狀態下隨機風場中系留無人機系統運動響應進行了研究。研究發現：在系纜底端，系纜法向位移的概率密度曲線變化很陡峭，說明系纜法向發生較大位移可能性很小；隨著系纜位置增加，系纜法向位移概率密度曲線開始變得平緩，說明系纜法向發生較大位移的可能性開始增加。這可能是由于系纜頂端與無人機相連，無人機所受的風荷載相對于系纜較大，所以靠近系纜頂端的系纜受無人機運動的影響，會造成此處系纜的運動劇烈，相應地影響系留無人機系統的正常工作。這些研究為系留無人機系統的設計提供了理論依據。