基于逆高斯退化過程的面向任務系統CBM優化模型

陳云翔, 李京峰,*, 項華春, 李恒年

(1. 空軍工程大學裝備管理與無人機工程學院, 陜西 西安 710051;2. 西安衛星測控中心宇航動力學國家重點實驗室, 陜西 西安 710043)

0 引 言

航空航天、工業制造等領域的關鍵系統在執行任務期間往往會伴隨性能退化現象,且一些系統的性能退化過程單調不可逆。如果關鍵系統在任務階段發生故障,不僅會造成嚴重的經濟損失,還會阻礙任務進程。為確保關鍵系統安全可靠運行,隨著檢測技術的不斷發展,視情維修(condition-based maintenance, CBM)作為一種有效手段已受到學者廣泛關注。它可根據具備檢測條件的關鍵系統的退化狀態信息及預設閾值,決定系統是否需要維修或更換。

根據修復程度的不同,維修通常可分為3類,即完全維修、不完全維修和小修。然而在工程實際中,關鍵系統的結構較為復雜,對其實施的維修活動多為不完全維修,系統只能恢復到“如新”和“如舊”之間的某一狀態。因此,一些學者開始在退化系統的CBM優化研究中考慮不完全維修的影響。葛恩順等在基于Gamma過程建立的退化系統CBM模型中,引入了不完全維修對系統退化狀態的影響,該影響會隨著工作時間的延長和維修次數的增多而加重。Guo等基于Wiener過程研究任務導向型系統的CBM優化模型時,利用指數分布刻畫了不完全維修對剩余退化量的影響。Do等提出一種自適應CBM優化模型,在深入分析不完全維修正面和負面影響的過程后,認為不完全維修對退化量的恢復程度是隨機的。劉葛輝等在不完全檢修計劃優化模型中,通過役齡回退因子描述不完全維修對系統壽命的影響。Zhang等則從退化率的角度，利用隨機改進因子描述了不完全維修的效果。以上研究雖然在考慮不完全維修的維修策略優化中取得一定效果,但是忽略了不完全維修對退化量和退化率均會產生影響的事實。因此在不完全維修建模時必須將兩類影響考慮在內。

另一方面,系統進行更換的時機一般包括系統故障或系統運行時間達到預定服役年限兩種情況。但對于關鍵系統,為提高任務成功概率,其更換時機還應考慮任務要求的可用度約束,當系統在壽命周期的某一階段無法滿足規定可用度時,需要進行預防性更換。因此,可用度約束會對維修優化過程產生影響,其在建模時不可忽略。例如:Zhou等在基于連續狀態部分可觀測半馬爾可夫決策過程的維修策略優化模型中,考慮了可用度約束對目標函數的影響。Barone等在制定橋梁結構的最優維修計劃時,將可用度、風險等納入成本目標函數中,通過遺傳算法進行多目標優化。Do等則將維修策略優化模型進一步擴展到多部件串聯系統中,同時在可用度和有限維修人員約束條件下給出了用于維修決策的啟發式優化方案。然而,以上研究尚未結合不完全維修影響。為解決此類問題,Shen等針對動態環境中具有不同退化過程的系統建立了維修策略優化模型,該模型考慮了不完全維修造成的剩余損傷,以及求解過程會受到可用度和系統運行時間約束。蘇春等建立了可用度約束下的風力機單部件順序維修優化模型,同時考慮了不完全維修對有效年齡的影響。但是二者僅從退化量的角度刻畫了不完全維修影響,尚未把不完全維修對退化率的影響融入到模型當中。

可以發現,現有文獻中少有模型將不完全維修的雙重影響和任務要求的可用度約束同時整合到CBM優化中。因此,本文針對具有單調退化過程的關鍵系統,基于單次任務后的定期檢測策略,提出一種考慮不完全維修雙重影響與可用度約束的CBM優化模型。具體方法為:建立具有隨機漂移系數的逆高斯過程退化模型,在首達時間的意義下推導出相關函數的解析概率分布;分析系統演化過程,得到不完全維修對退化量和退化率的影響;結合可用度約束給出系統進行維修或在不同時機更換的概率公式,并以長期運行期望費用率為目標構建CBM優化模型;最后通過數值實驗對本文構建模型驗證和對比,并進行參數敏感性分析。

1 基于逆高斯過程的退化模型

Wasan提出的逆高斯過程作為一種連續時間連續狀態的單調隨機過程,不僅能夠描述系統退化隨時間單調增加的特征,而且在引入隨機效應方面具有優勢。因此,本文在逆高斯過程的基礎上進行擴展和建模。

1.1 具有隨機漂移系數的逆高斯過程

令()表示時刻的系統退化狀態,假設退化過程{(),≥0}服從逆高斯過程,即()～IG((),[()]),其中、分別表示逆高斯過程的漂移系數和擴散系數,反映退化過程的速率和波動。()表示時間尺度函數且單調遞增,按照約定,(0)=0。

考慮到系統退化狀態通常具有在運行初期不確定性較大,隨著運行時間的延長逐漸趨于平穩的特點。本文將隨機漂移系數融入到逆高斯過程并使用()=的線性形式進行描述。具體如下:

(1)

1.2 相關概率分布

基于首達時間的概念,設預防性維修閾值為,故障閾值為,將零時刻起系統首次達到和的時間分別定義為

=inf{|()≥,≥0}

(2)

=inf{|()≥,≥0}

(3)

根據逆高斯過程的單調性,當為固定值時,得到的條件分布函數為

(4)

式中：(·)表示逆高斯分布的條件分布函數;(·)表示標準正態分布的分布函數。通過對求導,得到的條件概率密度函數為

(5)

式中：(·)表示標準正態分布的概率密度函數。

上述|(|)為關于的條件分布函數,根據全概率公式可以得到

(6)

式中：()、和[·]分別表示隨機效應參數的概率密度函數、參數空間和數學期望。為計算式(6)積分的解析表達式,需根據文獻[28]中的引理1進行推導。

如果～(,),且,,∈,則以下結果成立:

(7)

(8)

利用式(8)對求導,可得()的表達式為

(9)

同時,根據式(8)可進一步反向推導得到退化過程{(),≥0}的分布函數為

(10)

進一步對求導,可得退化過程{(),≥0}的概率密度函數為

(11)

由式(11)得到了系統的壽命分布函數。令0:={,,…,}表示在0=<<…<時刻獲取的退化數據,其中=()表示時刻系統的退化狀態?；诠收祥撝?span id="g0gggggg" class="subscript">,將系統在時刻的剩余壽命定義為

=inf{|(+)≥,≥0}

(12)

根據獨立增量性質和齊次馬爾可夫性質,得到

=inf{|(+)≥,≥0}=
inf{|(+)-()≥-,≥0}=
inf{|()≥-,≥0}

(13)

然后,利用式(13)的結論可直接得到

(14)

2 系統演化過程及影響分析

2.1 假設條件

(1) 假設每次任務持續時間是一個大于0的固定常數,用表示。在任務結束時,系統被完全檢測,并產生一個固定成本,檢測時間忽略不計。

(2) 如果在執行任務期間,系統發生故障導致任務失敗,或者在任務結束時檢測到系統狀態滿足()≥,則立即進行故障后更換,以使系統恢復如新,產生固定成本。

(3) 如果當任務結束時，≤()<,且滿足任務要求的可用度約束,則在下一個任務之前立即進行預防性維修,維修時間不可忽略,維修的單位時間成本為。

(4) 維修是不完全的,只能將系統恢復到“如新”和“如舊”之間的某一狀態,且對退化量和退化率均有影響。

(5) 如果當任務結束時滿足≤()<,但違反任務要求的可用度約束,將進行預防性更換以使系統恢復如新,并產生固定成本。

(6) 如果當任務結束時()<,系統繼續運行,不采取任何操作。

(7) 當系統運行時間達到時,亦將進行預防性更換,產生固定成本,其中∈表示系統可以執行的最大任務數。

(8) 所有更換活動(包括故障后更換和兩種預防性更換)都消耗相同的時間。

2.2 系統演化過程描述

圖1 系統演化過程Fig.1 The system evolution process

對于單調退化系統而言,其性能會在執行任務期間逐漸退化,通過檢測手段可以獲取系統當前退化狀態,從而指導維修和更換活動。其中包括的邏輯關系可描述如下:① 若系統在任務期間突發故障,則立即進行故障后更換;② 若系統正常運行至任務結束,首先判斷運行時間是否達到,若達到則進行預防性更換,若沒有達到再進行檢測;③ 根據檢測結果,首先判斷系統狀態是否滿足()≥,若滿足則進行故障后更換,若不滿足則進入下一步;④ 判斷系統狀態是否滿足()≥,若不滿足則系統繼續運行,不采取任何操作,若滿足則進入下一步;⑤ 判斷當前預防性維修周期的可用度是否滿足約束條件,若滿足則進行預防性維修,否則進行預防性更換。邏輯關系圖如圖2所示。

圖2 系統維修和更換邏輯關系Fig.2 Logical relationship between system maintenance and replacement

2.3 預防性維修持續時間模型

一般來說,系統維修后恢復程度會隨著維修次數的增多和預防性維修閾值的延長呈現遞減趨勢,使得壽命周期內的維修時間逐漸增加。為刻畫這一特點,令表示第次預防性維修所需時間,對任意≠,獨立于?；谖墨I[31]中關于的期望模型,本文提出一種關于預防性維修次數和預防性維修閾值的改進模型,公式如下:

E[]=exp()

(15)

式中：>0,≥0,=1,2,…且=0,假設參數和與無關。可以發現,的期望值隨著預防性維修閾值和維修次數的增加而增加,改進結果更加符合實際。

2.4 不完全維修的影響

在工程實際當中,對系統進行不完全維修對退化量和退化率均會產生影響,具體可表現為維修后仍有剩余損傷且隨機漂移系數改變,下面分別進行討論。

(1) 剩余損傷

觀察圖1可知,在每次不完全維修過后,系統的初始退化狀態將從某個非零值(比如、)開始且逐漸增加(>),直到進行更換才重新歸零。和被稱為剩余損傷,它將縮短預防性維修間隔時間。依據文獻[12]提出的剩余損傷模型,得到剩余損傷的概率密度函數為

(16)

因此,的數學期望E[]為

(17)

可以證明,E[]會隨著維修次數單調遞增。因此,剩余損傷的存在導致每個壽命周期內的任務數都是有限的。

(2) 隨機漂移系數

由于本文采取了式(1)描述的隨機漂移系數,所以認為不完全維修對退化率的影響體現在隨機漂移系數的參數上,即每次維修過后都會產生一個關于的更新因子。因此的更新公式為

(18)

3 CBM優化模型

3.1 可用度約束

令A1[]表示每個壽命周期中第個預防性維修周期的可用度,其中第個預防性維修周期由第個預防性維修間隔時間和第-1個預防性維修持續時間組成。A1[]的表達式如下:

(19)

其中

(20)

根據式(8)和式(14),可得

(21)

由假設條件(7)可得,如果系統在壽命周期內的可用度A1[]降低到任務要求的約束水平,則將進行預防性更換使系統恢復如新。

3.2 預防性維修概率模型

如果在第個預防性維修周期內,系統狀態滿足((-1))<且≤()<,則在第次任務后將進行預防性維修。該事件在剩余損傷為-1條件下發生的概率為

(22)

關于-(;|-1)和-(;|-1)的表達式,只需將式(21)中的(--1)分別替換為(---1)和(---1)即可,這里不再具體展示。

3.3 3種更換概率模型

如前所述,系統進行更換的時機有3種:一是故障后更換,二是系統運行時間達到進行預防性更換,三是由于可用度約束進行預防性更換。下面分別進行討論。

(1) 系統故障

假設系統在進行故障后更換之前有(=1,2,…)個預防性維修周期,∈表示第個預防性維修周期的任務數。在第+1個預防性維修周期的((+1-1),+1]區間內系統隨機發生故障。此外,系統故障前還需滿足可用度約束,即每個預防性維修周期的A1[]>?；谑?22),給定組合,…,+1發生故障后更換的概率為

(23)

式中：(+1,+1)為在第+1個預防性維修周期的((+1-1),+1]區間內發生故障的概率,(A1[])為示性函數,二者表達式分別是

(24)

(25)

特別地,當=0時,即系統故障前未進行過維修,(0)=(,1)。

由此可得該情形下的期望運行時間E[]、期望停機時間E[]、期望成本E[]分別為

(26)

(27)

E[]++…++1-+)())

(28)

(2) 系統運行時間達到

類似于故障后更換中的假設,系統在第+1個預防性維修周期執行任務數達到,然后進行預防性更換。同樣在前個預防性維修周期,滿足A1[]>。基于給定組合,,…,+1,該預防性更換發生的概率為

(29)

特別地,當=0時,即系統執行任務數達到時未進行過維修,此種情形發生的概率為

(30)

由此可得該情形下的期望運行時間E[]、期望停機時間E[]、期望成本E[]分別為

(31)

(32)

(33)

(3) 系統達到可用度約束

參照前2種假設,系統在運行到之前由于可用度約束進行預防性更換。在前個預防性維修周期,系統運行狀態均滿足A1[]>,然而在第+1個預防性維修間隔時間結束時,A1[+1]≤。需要說明的是,當=0時,由于A1[1]=1,系統不會由于可用度約束進行預防性更換。因此,基于給定組合,,…,+1,該預防性更換發生的概率為

(34)

由此可得該情形下的期望運行時間E[]、期望停機時間E[]、期望成本E[]分別為

(35)

(36)

(37)

3.4 優化模型

為解決考慮不完全維修雙重影響與可用度約束的單調退化系統CBM優化問題,本文以最小化長期運行期望費用率為目標,決策變量為預防性維修閾值。根據更新報酬理論,CBM優化模型表示為

(38)

式中：E[]=E[]+E[];E[]=E[]+E[];E[]=E[]+E[]。

4 數值實驗

本節通過數值實驗對上述優化模型進行驗證,得到目標函數的最優解及相關決策變量。然后,將本文提出模型(以下簡稱模型1)與僅考慮不完全維修對退化量影響的模型(以下簡稱模型2)進行對比。最后對模型參數進行敏感性分析。

4.1 參數設置

4.2 實驗結果及對比分析

(1) 實驗結果

由于剩余損傷和預防性維修持續時間會隨維修次數的增加而增加,導致系統總會由于可用度約束而進行預防性更換。因此,預防性維修周期數通過實驗可以得到一個上限,以簡化計算過程,實驗結果如圖3所示。

圖3 預防性維修周期上限實驗結果Fig.3 Experimental results of upper limit of the preventive maintenance cycle

觀察圖3可知,當>3時,不同對應的長期運行期望費用率均一致,因此,預防性維修周期上限=3。值得注意的是,當>85時,不同預防性維修周期數對應的長期運行期望費用率幾乎一致。這是因為壽命周期中具有多個預防性維修周期的概率隨著的增加而減少,導致不同預防性維修周期數對應的費用差異逐漸縮小。

同時,根據圖3中優化算法對決策變量的搜索結果來看,當=65時,長期運行期望費用率達到最小,最小值為759萬元小時,此時得到系統的最優維修策略(=65)。

(2) 對比分析

為了驗證綜合考慮不完全維修對退化量和退化率的影響在維修優化中的作用,現將模型1與模型2進行對比。模型2的實驗參數設置與模型1相同,實驗結果如圖4所示。

圖4 模型1與模型2對比結果Fig.4 Comparison results of model 1 and model 2

4.3 敏感性分析

為進一步驗證模型參數對系統維修費用和策略的影響,本文將模型參數大體分為2類,運用控制變量法分別從退化特性、可用度約束兩方面進行敏感性分析。

圖5 和σβ對最優維修費用和策略的影響Fig.5 Influence of and σβ on optimal maintenance cost and policy

接著對可用度約束參數進行討論,研究對象為,變化范圍滿足085≤≤099,其余參數固定不變,實驗結果如圖6所示。

圖6 ζ對最優維修費用和策略的影響Fig.6 Influence of ζ on optimal maintenance cost and policy

觀察圖6可以發現,當從085增加到099時,最優長期運行期望費用率從1032萬元小時減少至668萬元小時,相應地，最優預防性維修閾值從95減少至15,且在[085,091]區間時,費用率和預防性維修閾值分別保持1032萬元小時和95不變。造成此現象的主要原因是開始可用度設置略低,導致整個系統演化過程中第3種更換發生次數固定甚至沒有發生,從而使最優解沒有發生變化。之后最優長期運行期望費用率和預防性維修閾值變小,是因為可用度的增加使得部分第一種更換變成第3種,而預防性更換的成本比故障后更換的成本要低,因此維修費用會逐漸減少。同時,可用度要求越高,最優預防性維修閾值只有降低才能使得系統在壽命周期內盡可能多地進行成本較低的預防性維修活動,而不是由于可用度約束直接進行代價更高的預防性更換。

5 結 論

本文針對現有CBM優化模型中不完全維修影響考慮單一,且未同時融入可用度約束的問題,提出了一種同時考慮不完全維修雙重影響和可用度約束的單調退化系統CBM優化模型,給出了系統長期運行期望費用率的解析計算方法。通過數值實驗驗證了所提模型的可行性,與模型2的對比結果顯示出本文模型具有更優的經濟性,進而證明了考慮不完全維修雙重影響的必要性。此外,關于系統退化特性和可用度約束的敏感性分析結果表明,可用度約束參數對CBM優化結果的影響比退化特性參數更加明顯。