基于協方差擬合準則的降維空時自適應處理方法

龐曉嬌, 趙永波, 曹成虎, 胡毅立, 陳 勝

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室, 陜西 西安 710071)

0 引 言

自上世紀發展至今,空時自適應處理(space-time adaptive processing, STAP)技術受到廣大學者的關注。1973年,Brennan等人將一維濾波技術推廣到了空間和時間二維聯合空間中,對雷達信號進行處理,并在高斯噪聲加確知信號的模型下,利用最大似然比理論,首先推導出空時二維最優處理器。雖然空時二維最優處理器是一種最優處理結構,但是其存在較多缺陷。例如,運算量大,需要大量的獨立同分布樣本,但是在實際的雷達環境中,雜波環境表現為非平穩、非均勻,這使得最優處理器可應用性以及實時性較差,因此廣大學者研究了大量改進的空時自適應處理方法。例如,降維STAP方法,降秩STAP方法,基于稀疏性的STAP方法,基于知識輔助的STAP(knowledge-aided STAP, KA-STAP)方法等。

在降維STAP方法中,多普勒濾波后空時聯合處理方法(mDT方法)首先對各陣列通道的回波信號進行時域濾波處理,用以減少每一個多普勒通道輸出雜波的自由度,緊接著對每一個陣元通道中的若干個多普勒通道的輸出信號進行空時聯合自適應處理,從而有效地實現雜波抑制。如果只選取一個多普勒通道的輸出數據進行空時自適應處理,被稱為1DT方法,該方法雖然對副瓣雜波的抑制接近最優且運算量小,但是對主瓣雜波抑制較差。當選用多個多普勒通道的輸出數據時,可以提高系統自由度,實現對雜波的有效抑制,但是選用的多普勒通道越多,所需的訓練樣本數越多。而且多普勒濾波后空時聯合處理方法普遍存在當陣元數增多時,所需訓練樣本數也增多的問題。

針對以上多普勒濾波后空時聯合處理方法存在的問題,本文提出了一種基于協方差擬合準則的降維空時自適應處理方法。該方法首先對機載雷達回波信號進行時域濾波,然后利用協方差擬合準則構造了在高斯信源下與最大似然估計器漸近等價的優化問題,同時我們將協方差擬合優化問題轉換為半定規劃問題,并利用凸優化工具包求解優化問題,進而對時域濾波后的數據所對應的雜波加噪聲協方差矩陣進行估計。本文分別對選用一個多普勒通道的輸出數據對應的雜波加噪聲協方差矩陣以及選取多個多普勒通道輸出數據對應的雜波加噪聲協方差矩陣進行分析。仿真實驗表明利用協方差擬合準則估計雜波加噪聲協方差矩陣所需的訓練樣本數少于傳統多普勒濾波后空時聯合處理方法,且雜波抑制性能更好。

1 信號模型

假設相控陣機載雷達側面陣由×的矩形平面陣構成,如圖1所示,按列微波合成后,得到陣元數為的等效線陣。設機載雷達以速度沿著側面陣方向飛行,且機載雷達在一個相干處理間隔內發射個脈沖重復周期為的脈沖,雷達波長為,則第個距離環的雜波加噪聲回波信號為

圖1 機載相控陣雷達系統Fig.1 Airborne phased-array radar system

(1)

式中：表示第個雜波散射點的回波復幅度；?表示Kronecker積；,與,分別表示第距離環上第個雜波散射點的時域導向矢量與空域導向矢量,具體形式為

,=[1,ej2π,,…,ej2π(-1),]

(2)

,=[1,ej2π,,…,ej2π(-1),]

(3)

雜波加噪聲信號的時空二維相關矩陣為

(4)

式中：E[·]表示求期望操作；表示×維的單位矩陣；表示第個距離環的雜波相關矩陣。

2 基于協方差擬合準則的降維STAP方法

當陣元數增多時,mDT方法所需的訓練樣本數也會大大增加,這在實際雜波環境是無法滿足的,針對這一問題,本文提出了一種基于協方差擬合準則的降維STAP方法。該方法首先對回波信號進行時域濾波,然后利用協方差擬合準則對時域濾波后的雜波數據所對應的協方差矩陣進行估計。如果只選取一個多普勒通道的輸出數據進行空時處理,時域濾波后的雜波協方差矩陣滿足Toeplitz性質,但是選取多個多普勒通道的輸出數據進行空時聯合處理時,其對應的雜波協方差矩陣不再滿足Toeplitz性質,鑒于此,需要對這兩種情況分別進行討論。本節先對選取一個多普勒通道的輸出數據時的情況進行分析,之后再分析選取多個多普勒通道輸出數據的情況。

2.1 改進的1DT方法

傳統1DT方法的時域濾波器借助離散傅里葉變化(discrete Fourier transform, DFT)技術設計,利用加窗技術來抑制副瓣雜波,對主瓣雜波抑制有限。為了能夠同時抑制主瓣雜波與副瓣雜波,本文提出通過有限長單位沖激響應(finite impulse response, FIR)濾波器將脈沖維數據轉換到時域維數據,同時抑制雜波,該FIR濾波器不僅有低副瓣,還可以在主瓣雜波處形成一個寬而深的凹口,用來抑制主瓣雜波。

2.1.1 時域FIR濾波器設計

利用最小方差無畸變響應(minimum variance distortionless response, MVDR)方法,使濾波器的輸出功率最小,并保證對濾波器中心頻率處的輸出恒定。即

(5)

式中：為FIR濾波器的權值；()=[1,ej2π,…,ej2π(-1)]是指定中心頻率處的導頻矢量；為與主瓣區雜波有關的相關矩陣,具體形式為

(6)

(7)

(8)

求解式(5)可以得到FIR濾波器的權值為

(9)

本文中,通過加窗處理來降低副瓣,加窗后的新的權值為

(10)

式中：()=a(),=diag(),=[,,…,]指的是加窗系數。

212 雜波協方差矩陣估計

時域濾波后,對其輸出數據進行空域濾波,保持第個多普勒通道目標信號能量不變的前提下抑制雜波使得輸出能量最小,即

(11)

式中：

(12)

(13)

(14)

由于時域濾波后數據的協方差矩陣可逆,而且各雜波散射點之間互不相關,則時域濾波后數據的理論協方差矩陣可以表達為

(15)

正如式(15)所示,時域濾波后的理論雜波協方差矩陣可以被待估參數精確表示,因此協方差擬合準則可以被用來估計雜波加噪聲協方差矩陣。不同于目標參數估計的是,在機載雷達中,只需估計雜波加噪聲協方差矩陣,不需要再估計各雜波散射點的方位與功率。同時,在文獻[27]對協方差擬合準則做了進一步優化,將協方差擬合準則推廣到樣本數小于系統維數時的情形。根據文獻[27]可知,用以估計改進的1DT方法中時域濾波后的雜波加噪聲協方差矩陣的協方差擬合準則的代價函數為

(16)

為了估計協方差矩陣,通過最小化式(16)中的代價函數,求得協方差矩陣。訓練樣本個數不同時,代價函數有所不同,針對以上兩種不同情況,代價函數的求解方式分別如下。

(1) 當≥時,通過式(16)求解雜波加噪聲協方差矩陣:

(17)

Frobenius范數是一個跡函數,即

(18)

因此式(17)還可以寫為

(19)

(20)

(21)

正如文獻[27]所述,為了計算優化問題式(21),輔助變量被引入,優化問題式(21)轉變為

(22)

(2) 當<時,由于

(23)

(24)

(25)

2.2 改進的2DT方法

與1DT方法相比,2DT方法選取第-1個與第個多普勒通道的輸出數據進行聯合自適應處理,用以提高時域處理的穩定性,假設聯合兩個多普勒通道的輸出數據為

(26)

(27)

其中,

則2DT方法的自適應濾波權值為

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

3 性能分析

本節對所提算法的運算量進行分析。首先對改進的1DT方法進行分析。與1DT方法不同,改進的1DT方法重新設計一組時域FIR濾波器,并利用協方差擬合準則估計雜波加噪聲的協方差矩陣。然而,在實際應用中,雷達系統的參數是已知的,由此可提前估計主瓣雜波協方差矩陣,同時假定一噪聲功率值,再根據式(10)求解時域FIR濾波器權值,并存入權系數庫中。因此,改進的1DT方法的計算量主要集中于雜波加噪聲的協方差估計中,由式(22)可以看出,利用協方差擬合準則求解雜波加噪聲協方差矩陣的優化問題是一個半定規劃問題,用內點法求解問題式(22)的計算量為((2)35)。綜上所述,改進的1DT方法總的計算量為(+23+(2)35),其中為改進的1DT方法所用的訓練樣本數。與改進1DT方法相似,改進的2DT方法的計算量主要集中于優化問題式(35)或優化問題式(37)的求解,其計算量為((4)35),所以2DT方法總的計算量為((2)+2(2)3+(4)35),其中為改進的2DT方法所需的訓練樣本個數。

4 仿真實驗

在后多普勒自適應處理方法中,由于時域濾波器設置的好壞,決定了時域濾波后雜波剩余的多少,也決定了剩余雜波的自由度,因此本節首先對改進1DT方法的時域FIR濾波器的性能進行評估,并與傳統1DT方法中的DFT濾波器進行比較,實驗結果如圖2所示。圖2顯示了以=-0.31為濾波器歸一化中心頻率時DFT濾波器與FIR濾波器的頻響圖,由圖2可以看出,與DFT濾波器相比,FIR濾波器可以在指定區域(主瓣雜波區)存在一個深凹口。因而,FIR濾波器與DFT濾波器相比,不僅有低旁瓣,還在主瓣雜波區有一個更低的凹口。

圖2 多普勒濾波器頻率響應圖(ft=-0.31)Fig.2 Frequency response of Doppler filter (ft=-0.31)

在本文中通過輸出信雜噪比(signal to clutter-plus-noise ratio, SCNR)來衡量各STAP算法的性能。對于1DT方法來說,輸出SCNR的具體表達式為

(38)

式中：為目標的回波幅度。對于2DT來說,輸出SCNR的具體表達式為

(39)

圖3與圖4分別給出了訓練樣本數為60與20時的各方法的雜波抑制性能比較圖。

圖3 不同方法的輸出SCNR比較圖(L1=60)Fig.3 Output SCNR comparison of different methods (L1=60)

圖4 不同方法的輸出SCNR比較圖(L1=20)Fig.4 Output SCNR comparison of different methods (L1=20)

當樣本個數為60時,接近于1DT方法所需的最少樣本數,即2=64,而訓練樣本數為20時,已經不能滿足1DT方法所需的最小樣本數。從圖3可以看出,當樣本數足夠時,改進的1DT方法優于傳統的1DT方法,且性能接近于最優STAP方法的性能。從圖4可以看出,當樣本數不足時,改進的1DT方法依然可以保持良好的雜波抑制性能,然而傳統的1DT方法雜波抑制性能有所惡化。

為了更好的評估訓練樣本數對改進1DT方法的性能的影響,圖5給出了不同方法隨訓練樣本數的性能變化圖。從圖5可以看出,同樣的訓練個數時,改進的1DT方法優于傳統的1DT方法,而且,在少樣本條件下,改進的1DT方法性能損失不大,也就是說,改進的1DT方法可以實現少樣本下的雜波加噪聲協方差矩陣準確估計,并保證良好的雜波抑制性能。

圖5 輸出SCNR隨訓練樣本數的變化情況(1DT)Fig.5 Output SCNR versus the number of training samples (1DT)

接下來,對改進的2DT方法的性能進行評估,圖6與圖7分別給出了訓練樣本數為120與64的雜波抑制性能圖。

圖6 不同方法的輸出SCNR比較圖(L2=120)Fig.6 Output SCNR comparison of different methods (L2=120)

圖7 不同方法的輸出SCNR比較圖(L2=64)Fig.7 Output SCNR comparison of different methods (L2=64)

對于傳統的2DT方法,需要最少4=128個訓練樣本。從圖6可以看出,當訓練樣本數足夠時,改進的2DT方法與傳統的2DT方法均有良好的雜波抑制性能,且改進的2DT方法的雜波抑制性能稍微優于傳統的2DT方法。從圖7可以看出,當訓練樣本數不充分時,傳統的2DT方法性能出現惡化,而改進的2DT方法性能損失不大。

為了進一步評估訓練樣本數對改進的2DT方法的影響,圖8給出了不同方法隨訓練樣本數的性能變化圖。從圖8可以看出,相同樣本條件下,改進的2DT方法始終優于傳統的2DT方法,且改進的2DT方法收斂速度快于傳統的2DT方法。

圖8 輸出SCNR隨訓練樣本數的變化情況(2DT)Fig.8 Output SCNR versus the number of training samples (2DT)

5 結 論

本文提出的基于協方差擬合準則的降維空時自適應處理方法,利用協方差擬合準則進行雜波加噪聲協方差矩陣估計,相比于傳統的多普勒濾波后空時聯合處理方法,可以實現更少訓練樣本條件下,良好的雜波抑制性能。

改進的1DT方法利用主瓣雜波與錐角之間的一一對應關系,設計時域FIR濾波器,使主瓣雜波區可以形成有一定寬度的深零陷,有效抑制主瓣雜波,提高雜波抑制性能。同時改進的1DT方法利用協方差擬合準則估計時域濾波后的雜波加噪聲協方差矩陣,實現了少樣本條件下,對雜波的有效抑制。同時,改進的2DT方法利用協方差擬合準則估計雜波加噪聲協方差矩陣,在相同訓練樣本數條件下,其性能始終優于傳統的2DT方法。