有多少種方法

孟霞

我們知道，一個(gè)數(shù)可以分成幾個(gè)因數(shù)相乘的形式，比如6=1×6=2×3，12=1×12=2×6=4×3等。利用這一形式，我們可以尋找解題的突破口，從而順利解題。

例1：盒子里有30個(gè)乒乓球，要求不許一次拿完，也不許一個(gè)一個(gè)地拿，而且每次拿的個(gè)數(shù)相同，拿到最后正好一個(gè)不剩。怎么拿？有多少種拿法？

思路點(diǎn)睛：題目是什么意思呢？比如一次拿2個(gè)乒乓球，那么拿15次就可以全拿完了;要是一次拿3個(gè)呢，就需要10次。由此我們想到兩個(gè)自然數(shù)乘積是30的情況有8種：30=1×30=2×15=3×10=5×6=6×5=10×3=15×2=30×1。

由于“不許一次拿完，也不許一個(gè)一個(gè)地拿”，所以要去掉“1×30”和“30×1”，這樣只剩下6種情況，也就是一共有6種拿法。

在乘法中，5×6=6×5，2×15=15×2，因此上面的算式還可以寫(xiě)成：30=2×15=3×10=5×6。這里的2×15既可以看作每次拿2個(gè)乒乓球，拿15次，也可以看作每次拿15個(gè)乒乓球，拿2次。所以一共有3×2=6（種）不同的拿法。

例2：李老師要把60個(gè)同學(xué)分成人數(shù)相等的小組去大掃除，每組不少于6人，不多于15人。李老師該怎么分？有幾種分法？

思路點(diǎn)睛：題中“不少于6人”的意思是大于或等于6人，“不多于15人”的意思是小于或等于15人。

按照例1的思路，先把60分成幾個(gè)因數(shù)相乘的形式，60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10=10×6=12×5=15×4=20×3=30×2=60×1，一共有12種情況。因?yàn)椤懊拷M不少于6人，不多于15人”，去掉不符合要求的，還剩下60=4×15=5×12=6×10四種形式。在這四種形式里，每組可以是15人、12人、10人或6人，不可以是4人或5人，所以一共有四種不同的分法。