“微積分”教與學改革的研究及探討

徐愛慶

（南京財經大學 應用數學學院，江蘇 南京 210023）

目前，各大高校普遍開設了“微積分”課程，這門課已經相當成熟了，從知識體系來說已經沒有多少改進的空間。然而，社會在飛速發展，尤其是信息化、智能化、數據化等發展迅速，微積分在其他領域的應用也越來越深入［1］。這就要求微積分教師要及時調整教學目標、教學內容和教學手段，培養順應時代要求的新一代大學生，使他們具有過硬的數學素養和良好的數學能力。

一、“微積分”課程現狀

（一）“微積分”課程教的現狀

1.微積分是一門極其抽象的學科，學生感覺學習難度較大，有時甚至對概念理解都覺得特別困難。如數列極限“ε-N”的定義，學生感覺一頭霧水，領悟不了概念所表達的深刻含義，進而影響學生后續學習函數極限的信心。事實上，有時教師在講解相關知識時也比較晦澀，無法從問題的本質出發，用相對簡單、直接的思想引導學生。

2.微積分教學是大課授課，由于課時有限，加上課程內容比較多，在教學過程中仍以教師講課為主，課上用以互動的時間較少，習題課相比中學來說較少。由于學生眾多，教師極少能關注到學生的個性化學習需求，從而導致教學效果欠佳。

3.近年來，受新冠肺炎疫情的影響，網課變為主要授課方式。由于新冠肺炎疫情的不確定性，隨時可能進行網課，這給微積分教師的教學帶來了不少困難和挑戰。在課堂教學中，教師可以根據學生在課堂上的反應做出相應的教學調整，但在網課中，教師無法精準掌握學生的學習狀態，教師和學生缺乏面對面交流的機會，互動不理想，學習效果不盡人意。

（二）“微積分”課程學的現狀

我國中小學生的學業壓力較大，但在進入大學后突然轉為自我學習和管理，很容易失去學習目標和方向，學習熱情和中學階段相比不可同日而語。還有一部分學生進入大學后，想要好好放松一下，學業投入較少。微積分是一門邏輯性很強的學科，如果不了解函數導數知識，也就不可能學好不定積分，進而就學不好定積分和最后的二重積分。所以，引導學生認識到大學學習是人生旅程的新起點，是特別關鍵的一步。

對大一新生來說，習慣了在教師講解完相關數學知識點后，進行大量的習題練習加以鞏固，除了平時大量刷題外，豐富的課外參考資料將各知識點詳盡羅列，如果還是學不好，還可以依靠課外補習班，這使得學生習慣了“填鴨式”學習，導致學生自我學習和總結的能力較低，無法適應高等數學學習模式。因此，如何激發學生的學習興趣和主動性，在“微積分”課程的教學中顯得尤為重要。

二、“微積分”課程“教”的改革

本文主要從“微積分”課程的教學目標、教學內容、教學手段三方面進行教學改革研究和探討，旨在提高新時代教育背景下的教學成效。

（一）教學目標的改革

1.幫助學生確立學習態度和方向。作為高校的公共基礎課，“微積分”課程肩負著幫助新生確立學習態度和方向的重任［2］。大一新生來自四面八方，部分學生對未來目標清晰，甚至計劃好了各個階段的學習計劃，在本科畢業后是繼續讀研、找工作，還是出國，方向明確；還有一部分學生沒有目標，對未來一無所知。因此，在大一時，微積分教師要引導學生認清目前整體的經濟和社會形勢，分析學習的重要性，使學生明白學習不光是為了能學好知識，更重要的是培養辯證、獨立的思考能力，并以此推廣到其他課程的學習中，讓學生意識到大學學習的重要性，幫助學生完成人生的初步定位。

2.傳授“微積分”課程知識。傳授“微積分”課程知識是微積分教學的重中之重。完備的課程內容為后續課程（如“概率統計”“線性代數”）的學習打下了基礎，并為交叉學科的學習提供了相關理論依據。另外，學生在大學階段參加數學建模競賽、高等數學競賽及準備考研，都要求學生學好“微積分”課程。

3.培養學生理論與實踐相結合的能力。微積分中的大量知識有其產生背景，但學生往往忽視了這些知識的背景，直接學習理論知識，從而導致學完部分理論知識后，無法感受其在實際生活及相關學科中的應用價值，學習興趣大幅下降。為此，從背景知識出發，通過提出解決問題的思路，思考解決問題的方法，抽象解釋理論概念及解決工具，最后回到實際問題中解釋其相關結果，實現從實際中來到實際中去的教學目標，培養學生利用微積分知識解決實際問題的能力。

4.培養學生的邏輯思維能力。由于微積分知識體系嚴謹，從函數概念出發，到討論函數極限、函數連續性、函數可導性，相互之間一環扣一環。只有在前面知識理解到位的基礎上才能扎實地學好后面的內容。同樣，求解不定積分又可以看成是函數求導運算的逆運算。而根據定積分中的牛頓-萊布尼茲公式，發現要想準確地求出定積分值，需要學生熟練地求解不定積分，至于二重積分的計算，就是轉化為二次積分，兩次求解定積分。這些知識緊密相連，不可分割。如果孤立地學習這些知識，必然會使學生聽不懂，甚至覺得越來越難，無法掌握微積分的邏輯體系。

（二）教學內容的改革

1.根據學生數學學習能力的不同，適當進行分層教學，對不同層次的學生制定不同的教學大綱及相關內容。大一新生的數學能力參差不齊，除了不同專業之間學生的差異較大外，相同專業學生的數學基礎也不盡相同。另外，對于未來有考研或出國計劃的學生來說，對數學學習的需求一定比沒有相關規劃的學生要高很多。因此，采用分層教學，制定平行班和提高班，讓學生根據自身的情況選課，找到適合自己的學習層次。教師針對不同層次的學生，設計不同的微積分學習內容。例如，對于平行班的學生，適當降低學習難度，對教學內容進行適當刪減，如減少級數部分的函數展開和差分方程的相關內容，而對提高班的學生則適當提高題目的深度和廣度，以適應未來學習和研究的需要。

2.偏重對微積分定義定理的講解，使學生深度理解知識概念及理論。雖然學生的基礎差異大，但是對基礎概念及定理的理解是學好微積分的核心所在。比如，講授極限概念時，如果能從極限概念本身出發，幫助學生找到在怎樣的條件下得到怎樣的結論。就數列極限“ε-N”定義而言，教師應清晰地說明N和ε所代表的意義，啟發學生理解=A中的條件和結論，條件是n→∞，結論是un→A。因此，在定義描述中要想使得un的極限為A，即使得un與A的距離無限接近，可以用任意小的正數ε來描述，用數學表達式表達就是|un-A|＜ε。然而，這個結論是基于在n→∞的前提下，對于任意小的正數ε，都應該在滿足n→∞時才成立，而n＞N恰恰包含第N項后的所有數列值，這樣n→∞的條件自然也就滿足了。講完這個概念的重點后，學生對“ε-M”“ε-δ”的相關定義的理解就順暢多了。

3.課程學習中適當引進數學建模理念，培養學生解決實際問題的能力。教授學生相關知識背景時，教師應該引入數學建模理念，這是架構實際問題和理論知識的橋梁［3-4］。例如，如何用微積分知識解釋經濟學中的邊際效用遞減理論？這就需要先建立效用函數模型，利用邊際的概念對應微積分中的導數，再根據判斷單調性的相關知識，便可以輕松得到效用導數遞減的結論。又如，我們如何在直角坐標系下將二重積分轉化成二次積分？此知識的理解對學生來說非常困難，這就需要我們結合日常生活中的實例。如從計算手撕面包的體積出發，首先在空間直角坐標系下建立面包上方的曲面函數，體積等于這個函數的二重積分；其實采用垂直x軸切片劃分的方式，將手撕面包切片，并保證每片切片都很薄，面包體積轉化為所有切片體積之和，這樣二重積分等于以x為積分變量，切片截面面積為被積函數的定積分；最后視切片截面為一個曲邊梯形，其面積等于函數在y-z平面上的定積分，至此二重積分就化為二次積分了。

數學建模能力的培養不是一蹴而就的，需要教師在平時的教學中慢慢滲透和引導，這樣的培養方向一定要正確且有成效，從而激發學生學習微積分的興趣［5］。

（三）教學手段的改革

1.將傳統教學和多媒體技術相結合，提高課堂效率。傳統的微積分教學是以教師板書為主，包括定義定理的書寫。隨著多媒體技術的發展，教師基本上都能制作PPT，一些定義定理的內容通過PPT直接呈現，可以節約教師的上課時間，從而將更多的精力花在定義定理的講解上。事實上，隨著網課的大力發展，慕課、學習通、雨課堂、騰訊會議等豐富多彩的教學輔助軟件，在很大程度上豐富了教師的教學手段。在新冠肺炎疫情常態化階段，多種教學方式能保證上課效果。例如，使用騰訊會議開展線上直播，可以充分使用其錄制視頻、所有成員可批注及屏幕共享等功能。與此同時，結合在PPT中嵌入雨課堂，將PPT推送給學生，通過記錄學生簽到、利用彈幕了解學生的學習需求、隨機點名和課堂測驗等功能，達到與學生充分互動的教學效果。

2.充分利用網絡的便捷性，與學生積極交流。現在大部分學生都有電腦或手機，教師建立班級群，可以充分了解學生的學習需求，對于個別學生，可以進行一對一語音講解。碰到學生提問頻率較高的難題時，可以手寫計算過程，拍照上傳到群里；遇到好的微積分學習公眾號和電子書籍，可以分享給學生；對于一些教學網站上的優秀教學視頻，可以有針對性地提醒學生觀看和學習。這樣能將課堂延伸到課外，盡管教師要付出更多的時間與精力，但是充分擴大了教學空間，學生也能與教師直接交流，從而大大縮短了教與學的距離，極大地增進了師生間的感情。

3.針對學生的學習情況，努力提高習題課的題目質量。微積分作為一門數學學科，需要每節課做一定量的練習才能對知識加以理解和熟練掌握。但是在微積分課時不變的情況下，習題課的題目質量就十分重要了。對于書本上有的例題可以布置給學生自行學習，對經典題型可以進行重點講解。同時，教師也要多做習題，尤其是考研題目，這樣才能正確掌握每年考研的數學方向。應盡量選取課后習題、答疑時遇到的代表性習題、以往期中期末試卷中的習題及考研題目，這樣能快速提高習題課的學習效果，幫助學生提高解題和應試能力。

三、“微積分”課程“學”的改革

要想學好“微積分”課程，除了教師“教”好課外，學生“學”好課也是重要的一環。“微積分”課程成績往往由平時成績、期中考試成績和期末考試成績綜合評價而得。其中，平時成績由學生的作業情況、出勤情況構成，這樣得到的學生平時成績不夠全面。有的學生上課滿勤但抄襲作業，卻得到很高的平時成績；有的學生由于課上學習沒有理解透徹，作業自主完成，但正確率不高，反而影響了平時成績。對于后一種學生，因其主動學習能動性高，教師應該鼓勵并幫助其鞏固所學知識，提升其學習微積分的信心。那么，如何動態有效地記錄學生的學習情況，給予學生及時有效的評價，以下提出三點改革措施：（1）課程開始之前，根據未來自身的發展方向，制訂適合自己的微積分學習計劃。學生進入大學后，完全進入自主學習狀態。學生對于大學學什么、怎么學要有清晰的認識。同時，初步確定未來的努力方向，改進中學階段的學習方法，制訂出適合自己的微積分學習計劃。以上課不遲到、不早退、完成教師布置的作業為基準，充分和學長、學姐討教學習經驗，摸索出學習微積分的方法，并以微積分學習報告的形式交給教師。（2）充分參與課堂學習，及時向教師反饋學習效果。課上，如有問題可以使用騰訊會議中的舉手、語音或彈幕等功能，及時向教師提出；課后，及時復習所學知識，可以向教師當面請教學習中的問題，從而有助于教與學一體化模式的形成。（3）加大課后習題的練習量，充分利用網絡優勢鞏固所學知識。學生在完成教師布置的作業后，要積極、主動地選擇相關學習材料，對所學內容加以鞏固。騰訊會議等軟件有錄課的功能，因此可以和教師提出錄課請求，便于遇到薄弱知識環節時在課后隨時回放。也可以在互聯網上尋找相關教學視頻，傾聽其他教師對這個問題的分析和講解。經常和學習好的同學探討知識，通過溝通交流加深對知識的理解。

結語

本文結合新冠肺炎疫情常態化和網絡化時代的背景，討論了“微積分”課程的教與學兩方面，提出微積分的教學目標、教學內容、教學手段改革，并以學生課前學習、課中學習和課后學習為改革方向，以期達到教與學一體化。