數學類研究生培養質量評價的數學建模
——以河南科技大學為例

李培巒 劉葉青 王海軍

（河南科技大學數學與統計學院 河南洛陽 471023）

受高等教育擴招和國內外形勢變化的影響，研究生數量快速增加。在研究生數量不斷發展的過程中，如何保障和提升研究生培養質量越來越受到關注。

1 國內外研究現狀

Edward Holdaway等提議從輸入、過程、輸出3個方面開展質量性的評價［1］。Jarratt Report 將研究生培養質量評價的績效指標細化為3 個維度，并闡述了各個維度的子指標類型，以此來衡量學生質量高低［2］。

裴慶祺等引出了全面質量改善的開放系統方法，應用其構建了評估體系［3］。金云志認為應對培養質量的評價進行量化，將研究生培養質量分為5個評價等級［4］。

2 數學類研究生培養質量評價模型的建立

2.1 數學類研究生培養質量評價指標體系的建立

本文基于已有研究，建立了如表1所示的由5個一級指標和13 個二級指標構成的數學類研究生培養質量評價指標體系［6］。

表1 數學類研究生培養質量評價指標體系

2.2 數學類研究生培養質量評價指標權重的確定

各評價指標對總目標影響程度不同，即所占權重不同。而合適的權重確定方法很重要，故本文選擇在現實生活中應用十分廣泛的層次分析法，其具體步驟如下。

（1）建立層次結構模型。

（2）構造判斷矩陣A，A中元素表示某層某個因素相對于上層某個因素的重要程度。

（3）層次單排序，通過對矩陣A進行一致性檢驗確定其不一致程度，若不一致程度在允許范圍內，則通過檢驗，計算出的特征向量歸一化后即為權重向量W，W的分量即為相應元素單排序的結果。

（4）一致性檢驗，計算一致性比率CR，如果CR＜0.1，則可認為判斷矩陣的不一致程度在容許范圍內，通過一致性檢驗；否則修正判斷矩陣，直至通過檢驗。

（5）層次總排序及其一致性檢驗，計算某一層次所有因素對于最高層的權重，自上而下合成單準則下權重。若b1，b2，…，bm是B1，B2，…，Bm對總目標的權重，c1j，c2j，…，cnj是C1，C2，…，Cn對于Bj的權重（當Ci與Bj無關聯時，cij=0，j=1，2，…，m），則C層的層次總排序，即對總目標權重為：

同樣進行一致性檢驗，C層層次總排序一致性比率為：

若CR＜0.1，則通過檢驗，否則修正判斷矩陣或重新建立模型。

2.3 基于模糊綜合評判的研究生培養質量評價模型的建立

根據上文建立的二級評價指標體系，建立研究生培養質量的二級模糊綜合評判模型，具體步驟如下。

（1）確定評價因素集，也稱指標體系，用U={u1，u2，…，um}表示。

（2）確定評語集。評語集用V={v1，v2，…，vn}表示，往往對應3～5個等級。

注意隸屬度要歸一化以消除量綱的影響，進而得到單因素評判矩陣：

（5）一級模糊綜合評判，對每個Ui進行綜合評判，即將其權重向量Wi與單因素評判矩陣Ri加權平均，得一級模糊綜合評判向量Fi：

（6）二級模糊綜合評判，視每個Ui為一個因素，則U={U1，U2，…，Uk}是單因素集，則R為：

將其權重向量W0與單因素評判矩陣R進行模糊合成，則可得二級模糊綜合評判向量為［19］：

（7）對模糊綜合評判向量進行分析處理，本文選擇加權平均原則分析處理模糊綜合評判向量F，具體方法為：量化評語集中的各評價等級，得到模糊評判評語量化集S=(S1，S2，…，Sn)T，然后用二級模糊綜合評判向量對S的加權平均值作為綜合得分E，即：

各一級指標的綜合得分為：

3 數學類研究生培養質量評價模型的實證分析

3.1 數據說明

本文用調查問卷確定隸屬度，河南科技大學數學研究生及導師對12 個二級指標進行選擇。調查共回收有效問卷50 份。用SPSS 得測度變量的Cronbach α系數為0.923 ＞0.8，說明問卷數據信度較高。用人單位滿意度二級指標的評價數據來自于學科評估時用人單位填寫的相關調查表。

3.2 模型的實證分析

3.2.1 利用AHP確定各評價指標權重

（1）建立層次結構模型。

根據表1可建立如圖1所示的層次結構模型。

圖1 層次結構模型

（2）構造判斷矩陣。

目標層為O，準則層為B，子準則層為C，并進行編號。記O層對B層的判斷矩陣為A0，B層對C層的判斷矩陣分別為A1，A2，A3，A4，A5。則根據有關專家的意見，可得A0，A1，A2，A3，A4，A5，其中A0見表2。

表2 數學類研究生培養質量指標判斷矩陣A0

（3）層次單排序及其一致性檢驗。

借助軟件，計算出所有所需數據，其中判斷矩陣A0，CR＜0.1，通過一致性檢驗，其余CR皆小于0.1，全部通過一致性檢驗。

（4）層次總排序及其一致性檢驗。

C層的層次總排序由前面的結果和式（1）計算得出，結果匯總如表 3 所示。由式（2）得層次總排序一致性比率CR=0.0117 ＜0.1，一致性檢驗通過。

表3 層次總排序結果匯總

3.2.2 二級模糊綜合評判模型的實證分析

（1）由表1數學類研究生培養質量評價指標體系，可得評價因素集為：

（2）評語集V={V1，V2，V3，V4，V5}={優秀，良好，一般，較差，很差}，把0～100 劃分成5 個范圍分別對應評語集的5 個等級，取分值范圍的中位數構造模糊評判評語量化集（或評價尺度）S，如表4 所示，則S=(95，84.5，74.5，64.5，29.5)T。

表4 分值范圍表

（3）前文采用AHP 已得到各級指標的權重向量，分別為：

（4）對結果進行匯總如表5所示，對隸屬度歸一化后得到R1～R5。

表5 評價結果匯總表

（5）由式（5）得一級模糊綜合評判向量為F1，F2，F3，F4，F5。

（6）由式（6）得O的單因素評判矩陣為：

得二級模糊評判向量為：

（7）綜合得分分別為89.9171，88.2570，89.7967，91.2073，89.5405，90.6350。

3.2.3 模糊綜合評判結果分析

將上面計算出的各層指標的綜合得分，匯總如下，見表6、表7。

表6 研究生培養質量綜合評價結果分析

表7 準則層一級指標綜合評價結果分析

結果分析：河南科技大學數學類研究生培養質量綜合得分為89.9171，等級為良好，可進一步提升。培養條件和外部評價綜合得分較高，等級為優秀，應繼續保持。生源質量、導師指導和教育管理評價等級為良好，需進一步提升。