二維變密度介質中納米圓柱形空腔對SH波的散射問題研究

雷東俠，尚 童，歐志英

(蘭州理工大學理學院，蘭州 730050)

許多學者研究了彈性波在層狀介質中的傳播問題。Daros等人[1-2]采用格林函數法研究了波在連續非均勻介質中的傳播問題，證明了顫變公式可以用來推導具有線性速度變化的非均勻介質的基本解。Achenbach[3]根據拓展互易定理，研究了在半空間中剪切模量和質量密度隨深度變化的SH波，將速度與波數及剪切模量和質量密度的深度依賴關系的函數聯系起來。為了研究非均勻介質中的波傳播特性，有人根據復變函數理論，研究了剪切模量和密度是一維變化的SH波散射問題。還有人對SH波在半空間、全空間中密度變化的一系列問題進行了研究。

隨著納米技術的快速發展，許多學者研究了納米尺度下的波動理論。Fang等人研究了表界面剛度對嵌入在承受反平面剪切波的半空間中的圓柱形納米非均勻性周圍的動應力集中問題。Ou等人在研究單個或兩個納米涂層孔洞時引入波函數展開法，討論了界面能對模型的影響。

1 理論模型和分析

1.1 模型的分析

如圖1所示，在彈性空間中存在一個納米尺度下二維近似線性非均勻介質的圓柱形空腔，一列穩態入射平面SH波在非均勻介質內沿x軸方向水平傳播。

圖1 二維變密度介質中納米圓柱形空腔對SH波的散射Fig.1 Scattering of SH waves by nanocylindrical cavities in the two-dimensional variable density medium

假設介質的剪切模量μ質量密度是二維，且隨著x方向和y方向變化而變化，密度的表達式為：

ρ(x,y)=ρ0[4α2(x2+y2)+4αβx+β2]

(1)

其中，ρ0是介質的參考質量密度，α和β是非均勻參數。根據彈性介質的性質，非均勻參數α和β不能同時為0。

據波數k和密度ρ間的關系，波數可表示為：

(2)

1.2 控制方程

考慮到密度的變化，假設存在一個簡諧相應且忽略體力，非均勻介質的波動方程可表示為：

(3)

基于復變函數理論，將式(2)代入(3)可得到：

(4)

為了將變系數的Helmholtz方程轉化為標準的Helmholtz方程，引入新的復變量：

(5)

將式(5)代入(4)可得：

(6)

2 位移場和應力場

考慮無限大非均勻介質中的位移場和應力場，水平入射波表達式為：

(7)

其中，w0是入射波的振幅。

(8)

(9)

(10)

(11)

將式(7)代入式(10)和(11)，可得到入射波的應力表達式：

(12)

(13)

因介質中存在圓柱形孔洞，則孔洞周圍引起的散射波的表達式可寫為：

(14)

將式(14)代入式(10)和(11)，可得到散射波的應力表達式：

(15)

(16)

在非均勻介質中，總波場為：

w=w(i)+w(s)

(17)

3 邊界條件

根據表面彈性理論，將各向同性材料的本構關系引入到納米尺度下，得到其邊界條件為：

(18)

利用方程(18)可求得未知系數An的表達式為：

(19)

將式(19)兩邊同時乘以e-imθ，且在區間(-π,π)上對角度θ進行積分，可得到有關未知系數An的方程組：

(20)

通常用圓形空腔邊界處的DSCF來評價動應力集中的程度，其定義為：

(21)

其中，τθz是環向應力，τ0=μk0w0。

4 算例分析

主要研究兩個非均勻參數滿足β/α<5。根據動應力集中因子的定義可知，考慮表面效應時，兩個非均勻參數α和β、入射波波數k0和表面參數s都對DSCF的變化有一定的影響。

由圖2可知，與已有的文獻結果相比較，當s→0時，動應力集中因子與s=0，即不考慮表面效應時結果是一致的。

圖2 當α=0.5，β=1，k0R=1時，表面效應s對DSCF的影響Fig.2 Influence of surface effect s on DSCF when α=0.5, β=1 and k0R=1

圖3表示，以低頻波數k0=0.1入射時，隨著s的增大，動應力集中因子逐漸減小，且不均勻性使DSCF的最值出現在波背面，其最大值出現在θ=π/3和θ=5π/6處，最小值出現在θ=0和θ=π處。

圖3 當α=0.4，β=1，k0R=0.1時，表面效應s對DSCF的影響Fig.3 Influence of surface effect s on DSCF when α=0.4, β=1 and k0R=0.1

圖4表示以高頻波數k0=2入射時，隨著s的增大，動應力集中因子變化不規則且出現多個波峰和波谷。最大值隨著s的增大逐漸減小，最小值出現在θ=0和θ=π處。

圖4 當α=0.4，β=1，k0R=2時，表面效應s對DSCF的影響Fig.4 Influence of surface effect s on DSCF when α=0.4, β=1 and k0R=2

由圖5可知，以低頻波數k0=0.1入射時，圖形關于x軸對稱。隨著表面參數s的增大，動應力集中因子逐漸減小，且陰影側的DSCF分布比光照側的更復雜。

圖5 當α=1.5，β=0.2，k0R=0.1時，表面效應s對DSCF的影響Fig.5 Influence of surface effect s on DSCF when α=1.5, β=0.2 and k0R=0.1

由圖6可知，以高頻波數k0=2入射時，隨著表面參數s的增大，動應力集中因子先減小后增大且變化復雜，出現多個峰值和波谷。

圖6 當α=1.5，β=0.2，k0R=2時，表面效應s對DSCF的影響Fig.6 Influence of surface effect s on DSCF when α=1.5, β=0.2 and k0R=2

5 結論

利用復變函數法和保角變化，討論了納米尺度下二維近似線性非均勻介質中圓柱形空腔對平面SH波的散射問題。通過數值模擬可得：在納米尺度下圓柱形空腔邊界處的應力集中變化顯著，當非均勻參數α<β時，表面參數s越小，動應力集中因子分布比較均勻；當非均勻參數α>β時，表面參數s越大，動應力集中分布越復雜。在納米尺度下，隨著波數的增加，動應力集中因子逐漸向陰影側移動。