納米尺度下偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)對(duì)平面壓縮波的多重散射研究

王 琴，歐志英

(蘭州理工大學(xué)理學(xué)院，蘭州 730050)

芯-殼結(jié)構(gòu)復(fù)合納米顆粒[1]因其獨(dú)特性、多樣性及可調(diào)性等優(yōu)異性能得到廣泛生產(chǎn)和使用，并引起了納米材料和界面科學(xué)工作者的極大興趣。據(jù)文獻(xiàn)記載，不同頻率下的表面效應(yīng)對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中因子的影響顯著，但缺少偏心芯-殼結(jié)構(gòu)的研究。芯-殼結(jié)構(gòu)復(fù)合納米顆粒在構(gòu)造過程中，結(jié)構(gòu)內(nèi)外無法保證絕對(duì)同心，存在偏心結(jié)構(gòu)的情況。從一些文獻(xiàn)中可以看到，在多重散射作用下，表面效應(yīng)等微觀尺度性質(zhì)影響的偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性研究尚不充分。為填補(bǔ)這一空白，研究了偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)復(fù)合納米顆粒的表/界面動(dòng)力學(xué)問題，結(jié)果表明，表面效應(yīng)對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中因子的影響十分顯著。

1 模型與公式

1.1 模型建立

建立如圖1所示的模型。考慮全空間下嵌入兩個(gè)距離為2d的偏心圓柱，每個(gè)圓柱的外圓半徑為a2/b2，內(nèi)圓半徑為a1/b1，兩圓心之間的距離為h，L1和L2分別表示涂層與基體、涂層與芯體之間的界面，基體、涂層和芯體的彈性常數(shù)和密度分別為λ(i)、μ(i)和ρ(i)(i=1,2,3)。參照全局坐標(biāo)系(x,y)，為方便起見，在每個(gè)圓的中心設(shè)置一個(gè)局部坐標(biāo)系，并假定XOY平面上的平面應(yīng)變滿足σzz=v(σrr+σθθ)。

圖1 納米尺度下偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)對(duì)入射P波的多重散射Fig.1 Multiple scattering of eccentric cylindrical core-shell structure on incident wave in nanoscale

1.2 波在不同坐標(biāo)系下的基本方程

假設(shè)隨時(shí)間變化的平面壓縮P波沿著X軸的正方向入射，入射波可以在局部坐標(biāo)系中直接表示為：

(1)

當(dāng)入射波撞擊納米尺度下偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)時(shí)，P波和SV波分別從L1界面散射出來，由此引起的散射波相應(yīng)的位移勢(shì)為：

(2)

(3)

在納米尺度下偏心芯-殼結(jié)構(gòu)1中，根據(jù)疊加定理，由式(1)、式(2)和式(3)可得到基體中的總彈性場(chǎng)：

(4)

(5)

為方便計(jì)算，需統(tǒng)一坐標(biāo)系，故使用Graf加法公式進(jìn)行多極坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換：

(6)

(7)

將式(6)和式(7)分別代入到式(4)和式(5)中，可以得到：

(8)

(9)

同理，偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)2中基體的總波場(chǎng)形式如下：

(10)

(11)

受到涂層外邊界L1的折射和涂層內(nèi)邊界L2的散射，通過疊加原理，偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)1和2中涂層內(nèi)的波函數(shù)為：

(12)

(13)

由于涂層中的波函數(shù)位于不同的坐標(biāo)系下，因此使用外域的Graf加法公式進(jìn)行坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換：

(14)

(15)

把式(14)、式(15)分別代入到式(12)、式(13)中，可以得出在局部極坐標(biāo)系，涂層中的波函數(shù)形式分別如下：

(16)

(17)

(18)

(19)

芯體介質(zhì)內(nèi)產(chǎn)生的折射波在局部坐標(biāo)系(r2,θ2)和(r4,θ4)可表示為：

(20)

(21)

1.3 邊界條件求解

由廣義的Young-Laplace方程，可以得到應(yīng)力和位移邊界條件為：

(22)

(23)

(24)

(25)

其中，si(i=1,2,3,4)為無量綱量，表示納米尺度下所具有的表面效應(yīng)。

將平面問題中的位移和應(yīng)力表達(dá)式代入到上述位移和應(yīng)力邊界條件(22)～(25)，得到關(guān)于待求參數(shù)Anη，Bnη，Cnj，Dnj，Enj，F(xiàn)nj，Gnη，Knη(η=1,3;j=1,2;n=0,1,2…)的線性方程組，通過求解線性方程組，得到確定的位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)。

由于結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性，可只考慮納米偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)1上的界面L1周圍的波的動(dòng)應(yīng)力集中情況。現(xiàn)將邊界L1處的動(dòng)應(yīng)力集中因子DSCF定義為全波在某一點(diǎn)上產(chǎn)生的應(yīng)力與入射波(未受障礙)在同一點(diǎn)上產(chǎn)生的應(yīng)力的比值，并表示為：

(26)

1.4 結(jié)果分析與討論

考慮在納米尺度下不同頻率入射波作用時(shí)的具有理想界面的偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)間的相互作用問題，發(fā)現(xiàn)動(dòng)應(yīng)力集中因子與表面效應(yīng)有關(guān)。

圖2表明，當(dāng)穩(wěn)態(tài)入射波以低頻入射，表面效應(yīng)s2對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中因子影響顯著，總體趨勢(shì)是隨著表面效應(yīng)s2的增加，在納米尺度下偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)界面L1處的DSCF的值反而減少，并在整個(gè)范圍內(nèi)關(guān)于Y軸對(duì)稱，隨著角度的變化，DSCF值也呈現(xiàn)明顯的周期性，并均在θ=±π/2處取到最大值。

圖3表明，當(dāng)穩(wěn)態(tài)入射波以高頻入射，表面效應(yīng)s2對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中因子影響與低頻入射情況大不相同的是，由于散射現(xiàn)象起著主導(dǎo)因素，DSCF的值在納米尺度下偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)界面L1處變得敏感，分布復(fù)雜，且出現(xiàn)多個(gè)峰值，但是總體趨勢(shì)是隨著表面效應(yīng)s2的增加，DSCF的值在整個(gè)范圍內(nèi)減少。其中，在θ=±π/2范圍內(nèi)時(shí)，變化明顯，并在θ=0處，DSCF取得最大值。

圖2 波數(shù)α1R2=0.1下，表面效應(yīng)s2對(duì)DSCF的影響Fig.2 Influence of surface effect s2 on DSCF in wave number α1R2=0.1

圖3 波數(shù)α1R2=2下，表面效應(yīng)s2對(duì)DSCF的影響Fig.3 Influence of surface effect s2 on DSCF in wave number α1R2=2

2 結(jié)論

基于表面彈性理論，研究了納米尺度下具有理想界面的偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)對(duì)平面P波的多重散射問題，先將波動(dòng)方程中的邊界問題轉(zhuǎn)化為包含波函數(shù)中未知系數(shù)的無窮代數(shù)方程組求解，再用DSCF來刻畫偏心圓柱形芯-殼結(jié)構(gòu)表面的動(dòng)應(yīng)力集中因子。研究表明，無論是低頻波還是高頻波入射，當(dāng)偏心率e固定時(shí)，在軟夾雜中，其表面效應(yīng)傾向于抑制表/界面處的DSCF值，因此在復(fù)合納米材料界面的加工和設(shè)計(jì)方面需要引起重視。