欠驅動橋式吊車系統的非線性擴張狀態觀測器設計

張桐松，邵雪卷，張井崗，趙志誠，陳志梅

(太原科技大學電子信息工程學院，山西 太原 030024)

0 引言

橋式吊車屬于典型的非線性欠驅動設備，被廣泛應用于工業、港口、建筑工地、露天倉庫等場合，執行貨物的運輸。對于橋式吊車系統的定位防擺控制，一般采用狀態反饋的方法實現[1-4]。其狀態信息通常經過傳感器直接測量得到。但在實際工作現場，吊車系統的小車速度及擺角速度等信號不容易直接測量。即使可測，也摻雜著大量的噪聲，且安裝速度傳感器也會增加硬件的成本。

為了解決橋式吊車狀態信息難以測量的問題，國內外學者進行了一系列研究。崔建偉等[5]和鐘斌等[6]針對實際工程中擺角與擺角角速度信息難以測量的問題，利用小車位置信息設計了全維線性狀態觀測器。曾少航等[7]針對吊車吊重系統設計了降維觀測器，用可測的小車位移和速度信息估計出擺角與擺角角速度信息。以上文獻均基于線性化模型構建觀測器。一旦系統狀態遠離平衡點，所設計的觀測器便會失效。因此，根據非線性模型設計狀態觀測器更符合工程實際需要。

鐘斌等[8]利用神經網絡能對任意函數逼近的原理，以吊重擺角變量作為可測輸入，設計了神經網絡觀測器。杜鵬等[9]以擺角信息作為可測輸入量，針對吊車吊重擺角子系統，設計了非線性擴張狀態觀測器。但這兩種方法沒有同時觀測小車的位置與速度信息。為此，Feng等[10]和鐘斌等[11]以小車位置信息為輸入，分別設計了不同形式的擴張狀態觀測器，成功估計了吊車系統的狀態。

以上文獻都是橋式吊車在定繩長情況下觀測器的構建問題。在工程實際中，當小車水平運動和負載升降同時進行時，上述方法的狀態估計偏差漸近收斂時間都會增大，甚至有可能發散。為了解決這個問題，本文給出了一種橋式吊車系統在繩長變化時非線性擴張狀態觀測器的設計方法，用于重構橋式吊車系統的狀態。仿真結果證明了該觀測器的可行性和有效性。

1 模型描述

實際橋式吊車系統比較復雜。一般假設吊車系統滿足以下條件。

①鋼絲吊繩質量相對于負載質量可以忽略不計，吊繩的剛度足夠大。

②負載只在二維平面內運動，且被看成一個無體積的質點。

③小車和地面之間的摩擦力與速度成正比。

④忽略小車與吊繩連接處的摩擦力。

二維橋式吊車系統物理模型如圖1所示。

圖1 二維橋式吊車系統物理模型Fig.1 Physical model of two-dimensional overhead crane system

圖1中：M為橋吊系統的小車質量；小車在驅動電機的水平驅動力fx的作用下沿X軸方向運動；fr為小車運動時所受的摩擦力；μ為摩擦系數；fd為小車所受到的外部干擾；m為負載質量；負載在升降電機的驅動力fl的作用下沿Y軸方向運動；l為吊繩長度，負載通過吊繩與小車相連；小車在運動的過程中會造成負載擺動，擺角幅度用θ表示。

由拉格朗日方程可得含有擾動的二維變繩長橋式吊車系統動力學模型，為：

(1)

將q=[xlθ]T選作廣義坐標向量，則可將式(1)表示為以下矩陣形式：

(2)

標稱值矩陣為：

(3)

(4)

G0(q)=[0 -mgcosθmglsinθ]T

(5)

控制向量為：

U=[fxfl0]T

(6)

外部干擾向量為：

(7)

式(2)可進一步改寫為：

(8)

(9)

2 擴張狀態觀測器的設計

(10)

基于式(10)的非線性擴張狀態觀測器設計為：

(11)

式(11)的非線性函數定義為：

(12)

其中：

(13)

式中：E1i為估計誤差向量e1的第i個分量，E11為小車位置的估計誤差，E12為吊繩長度的估計誤差，E13為負載擺角的估計誤差，0<α<1。

假設：總擾動D(t)及其導數h(t)都是有界的。

(14)

在參數滿足一定條件的情況下，擴張狀態觀測器的輸出量將在有限時間收斂至實際狀態的鄰域內。關于擴張狀態觀測器的收斂性證明，詳見文獻[12]中的推論2.1。

(15)

如果|E1i|≤1、|E2i|≤1、|E3i|≤1，則估計誤差可以表示為:

(16)

如果|E1i|>1、|E2i|>1、|E3i|>1，則估計誤差可以表示為:

(17)

3 仿真研究

為了驗證本文方法的可行性，在Matlab/Simulink中對所設計的非線性擴張狀態觀測器進行仿真，并與線性擴張狀態觀測器的估計效果進行比較。

橋吊模型的相關仿真參數如下：小車質量M=6.16 kg，負載質量m=1 kg，重力加速度g=9.81 m/s2，摩擦力系數μ=20.37。為了保證擴張狀態觀測器的漸近穩定性，觀測器增益取L1=L2=L3=diag[3 3 1]，非線性函數的參數α1=α=0.7、α2=0.4、α3=0.1、r=70。小車驅動力fx=1 N。吊繩驅動力fl=1 N。系統的初始狀態設計為(0,0.4,1.7,0,0,0)。擴張狀態觀測器的初始狀態為(0,0,0,0,0,0)。系統內部的參數攝動是通過增加橋吊模型參數值的10%來實現的。橋吊系統受到的慢時變外部干擾fd取值為：

(18)

圖2給出了非線性擴張狀態觀測器在慢時變擾動下，系統狀態的非線性估計曲線及誤差曲線。圖2中，系統狀態的實際值曲線用黑色實線表示，估計曲線用黑色虛線表示，誤差曲線用黑色點劃線表示。

圖2 系統狀態的非線性估計曲線及誤差曲線Fig.2 Nonlinear estimation curves and error curves of system state

為了進一步說明本文所給出的非線性擴張狀態觀測器的有效性，下面給出線性擴張狀態觀測器的仿真結果。用于觀測橋吊系統(8)狀態的線性擴張狀態觀測器設計為：

(19)

線性擴張觀測器(19)選取與非線性擴張觀測器(11)相同的參數值。

系統狀態的線性估計曲線及誤差曲線如圖3所示。

圖3 系統狀態的線性估計曲線及誤差曲線Fig.3 Linear estimation curves and error curves of system state

將圖2(a)、圖2(b)、圖2(c)、圖2(e)與圖3(a)、圖3(b)、圖3(c)、圖3(e)進行對比，可以發現非線性擴張狀態觀測器的線性部分與線性擴張狀態觀測器的仿真結果基本相同。從圖2(d)和圖3(d)的比較中可以看出，在繩長變化速度上，非線性擴張狀態觀測器的估計值超調量明顯小于線性擴張狀態觀測器的。對于擺角角速度的估計，圖2(f)的估計峰值不超過19°/s，而圖3(f)的角速度估計峰值接近87°/s，且可從其誤差曲線觀察到輕微振蕩，說明非線性擴張狀態觀測器的估計效果優于線性擴張狀態觀測器。盡管線性擴張狀態觀測器的收斂時間短，即快速性優于非線性擴張觀測器，但它的估計峰值過高，使用到控制器中會產生更為不利的影響。綜合來說，所設計的非線性擴張狀態觀測器更能滿足實際需求。

4 結論

本文利用小車位置和負載擺角等測量信息設計非線性擴張狀態觀測器，合理選取觀測器參數，使觀測器能以有限時間和微小誤差對橋吊系統的狀態進行實時估計，從而解決了吊繩繩長變化時狀態收斂時間長以及擾動估計偏差大的問題。在相同條件下，非線性擴張狀態觀測器的收斂過程更為平緩，沒有出現高頻的振蕩，估計性能和抗擾性能也比線性擴張狀態觀測器更為實用。仿真結果表明，橋吊系統狀態在0.3 s內可得到準確估計值，觀測器設計合理且有效。