尺規(guī)作圖 豐富多彩

徐焱

新課程標(biāo)準(zhǔn)（2021版討論稿）對(duì)尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)要求有所提高. 將三角形、全等三角形、軸對(duì)稱與尺規(guī)作圖聯(lián)姻的試題成為2021年中考新熱點(diǎn).

[真題呈現(xiàn)]

例1 （2021·吉林·長春）在△ABC中，∠BAC = 90°，AB ≠ AC. 用無刻度的直尺和圓規(guī)在BC邊上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形. 作法不正確的是（ ）.

解析：選項(xiàng)A中，AD是△ABC的角平分線，無法證得△ADC是等腰三角形;選項(xiàng)B中，CA = CD，則△ADC是等腰三角形;選項(xiàng)C中，DA = CD，則△ADC是等腰三角形;選項(xiàng)D中，BD = CD，可證AD = DC = BD，則△ADC是等腰三角形. 故應(yīng)選A. 該題匯集了常見的基本尺規(guī)作圖，解題時(shí)極易混淆出錯(cuò).

[追根溯源]

原型1：（八年級(jí)上冊第48頁）已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分線. （如圖1，作法略）

原型2：（八年級(jí)上冊第36頁）由三邊分別相等判定三角形全等的結(jié)論，可得用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的方法.

已知：∠AOB. 求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B' = ∠AOB. （如圖2，作法略）

原型3：（八年級(jí)上冊第62頁例1）尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線. （如圖3，作法略）

原型4：（八年級(jí)上冊第63頁例3）如圖4，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，你能作出這條直線嗎？（如圖4，作法略）

[變式延伸]

變式1? 將單一基本尺規(guī)作圖與其他知識(shí)點(diǎn)聯(lián)姻

例2 如圖5，已知a[?]b，直線[l]與直線[a，b]分別交于點(diǎn)[A，B]，分別以點(diǎn)[A，B]為圓心，大于[12AB]的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)[M，N]，作直線[MN]，交直線b于點(diǎn)C，連接[AC]，若[∠1=40°]，則[∠ACB]的度數(shù)是（ ）.

A. [90°] B. [95°] C. [100°] ? ? D. [105°]

解析：由尺規(guī)作圖知MN垂直平分AB，

∴CA = CB，∴∠CAB = ∠ABC.

∵a[?]b，∠1 = 40°，

∴∠ABC = ∠1 = 40°，∴∠CAB = 40°，

∴∠ACB = 180° - 40° - 40° = 100°. 故選C.

變式2 將單一基本尺規(guī)作圖與推理論證、遷移應(yīng)用聯(lián)姻

例3 （1）如圖6，O為AB的中點(diǎn)，直線l1，l2分別經(jīng)過點(diǎn)O，B，且l1[?]l2，以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑畫弧交l2于點(diǎn)C，連接AC. 求證： l1垂直平分AC;

（2）如圖7，平面內(nèi)直線l1[?]l2[?]l3[?]l4，且相鄰兩直線間距離相等，點(diǎn)P，Q分別在直線l1，l4上，連接PQ. 用圓規(guī)和無刻度的直尺在直線l4上求作一點(diǎn)D，使線段PD最短. （兩種工具分別只限使用一次，并保留作圖痕跡）

解析：（1）連接OC，由作圖可知OB = OA = OC，

∴∠A = ∠ACO，∠ABC = ∠OCB，∴∠ACB = 90°，∴l(xiāng)2⊥AC，

∵l1[?]l2，∴l(xiāng)1⊥AC，由等腰三角形的性質(zhì)可知直線l1垂直平分AC.

（2）如圖8，以l2與PQ的交點(diǎn)O為圓心，OP長為半徑畫弧交直線l3于點(diǎn)C，連接PC并延長交l4于點(diǎn)D，此時(shí)PD⊥l4，線段PD最短，故點(diǎn)D即為所求.

變式3 將兩種不同的基本尺規(guī)作圖在同一個(gè)問題中聯(lián)姻

例4 如圖9，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，判斷以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）.

A. ∠BDE = ∠BAC? ? ? B. ∠BAD = ∠B C. DE = DC? ? ? D. AE = AC

解析：由尺規(guī)作圖知AD平分∠CAB，DE⊥AB于E .

∵∠ACB = 90°，∴∠BDE = ∠BAC，DE = DC，AE = AC，

但∠BAD = ∠B不一定成立. 故選B.

注意：不要將DE看作是AB的垂直平分線.

變式4 將兩種基本尺規(guī)作圖與數(shù)學(xué)思想聯(lián)姻

例5 如圖10，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC < BC. 分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于[12]AB的長為半徑畫弧，兩弧交于D，E兩點(diǎn)，直線DE交BC于點(diǎn)F，連接AF. 以點(diǎn)A為圓心，AF為半徑畫弧，交BC的延長線于點(diǎn)H，連接AH. 若BC = 3，則△AFH的周長為 .

解析：由尺規(guī)作圖可知，DE是線段AB的垂直平分線，∴FB = FA.

∵∠ACB = 90°，AF = AH，∴FC = HC.

∵BC = 3，∴△AFH的周長 = AF + AH + FH = 2BF + 2FC = 2（BF + FC） = 2BC = 6.

故填6.

[跟蹤檢測]

1.（2021·湖北·黃岡）如圖11，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，以A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn);再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于[12]EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，則BD與CD的數(shù)量關(guān)系是 ? ? ? .

2.（2021·湖北·鄂州）已知銳角[∠AOB=40°]，如圖12，按下列步驟作圖：①在[OA]邊取一點(diǎn)[D]，以[O]為圓心，[OD]長為半徑畫[MN]，交[OB]于點(diǎn)[C]，連接[CD]. ②以[D]為圓心，[DO]長為半徑畫[GH]，交[OB]于點(diǎn)[E]，連接[DE]. 則[∠CDE]的度數(shù)為（ ）.

A. [20°] B. [30°] C. [40°] D. [50°]

3. （2021·湖北·荊州）如圖13，在△ABC中，AB = AC，∠A = 40°，D，P分別是圖中所作直線和射線與AB，CD的交點(diǎn). 根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡推斷，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）.

A. AD = CD? ? ? B. ∠ABP = ∠CBP? ? C. ∠BPC = 115°? ? D. ∠PBC = ∠A

（答案見第33頁）