一次函數圖象的應用——行程問題

馮長征

本課選自遼寧教育學院“學到匯”公眾服務平臺“遼寧省初中數學學科教研核心團隊名師公益學堂”，旨在引領教師專業發展，服務學生自主學習，減輕學生學業負擔。

真題呈現

在某自行車隊的一次訓練中，1號隊員以高于其他隊員10 km/h的速度獨自前行，勻速行進一段時間后，又返回隊伍，在往返過程中速度保持不變. 設分開后行進的時間為x（h），1號隊員和其他隊員距分開時地點的路程分別為y1，y2（km），并且y1，y2與x的函數關系如圖1所示. （1）1號隊員折返點A的坐標為 ? ? ? ;（2）求1號隊員與其他隊員經過幾小時相遇.

解析：根據題意及圖象可知1號隊員折返時距出發點10 km，由關鍵點[19 ，5]可知[19] h行進5 km，則1號隊員的速度為45 km/h，行進10 km用[29] h，則A [29 ，10]. 其他隊員的速度為45 - 10 = 35（km/h）. 設經過x小時相遇，由“1號隊員與其他隊員的速度之和 × 時間 = 總路程”，則（35 + 45）x = 10 × 2，解得x = [14]. 故應填[29 ，10]，[14].

思考：①該試題與教材中例題、習題有何聯系？②解決此類問題的方法與策略？

真題溯源

一個自行車隊進行訓練，訓練時所有隊員都以35 km/h的速度前進. 突然1號隊員以45 km/h的速度獨自行進，行進10 km后掉轉車頭，仍以45 km/h的速度往回騎，直到與其他隊員會合. 1號隊員從離隊到與隊員重新會合，經過了多長時間？（七年級上冊第151頁習題）

該題信息可用函數形式呈現. 設分開時的地點為出發點，1號隊員和其他隊員分開后行進的時間為x（h），距離出發點的路程分別為y1，y2（km）. 你能在同一坐標系中畫出y1，y2關于x的函數圖象嗎？

解析：如圖2，兩組隊員同時同地出發，由1號隊員的速度快可知其圖象位于上方. 1號隊員在10 km處掉頭后，其圖象向下與其他隊員的圖象交于一點，且圖象折點的縱坐標是10 km. 由1號隊員的速度為45 km/h，可知其折返時行進了[29] h，列方程為35x + 45x = 10 × 2，可得[14] h與其他隊員會合. 此時其他隊員行進的路程為8.75 km.

顯然，前面呈現的中考真題源自這道課后習題. 命題者變換條件，將部分信息以函數圖象形式給出，教材中的方程問題就化為中考試卷中的一次函數圖象問題.

方法歸納

此類問題的具體解法：1. 確定橫、縱坐標分別表示的實際意義;2. 根據圖象形狀與趨勢還原行進過程;3. 從圖象中的橫坐標觀察各時間點的實際意義;4. 從圖象的縱坐標觀察相應因變量的實際意義;5. 理解圖象中關鍵點的意義，如圖象的折點、圖象之間的交點、已知坐標的點、圖象與坐標軸的交點等. 只有全面準確地從圖象中獲取有用信息，方能結合線段圖與方程解決實際問題.

變式延伸

甲、乙兩人沿筆直公路勻速由A地到B地，甲先出發30 min，到達B地后沿原路原速返回，與乙在C地相遇. 甲的速度比乙的速度快35 km/h，甲、乙兩人與A地的距離y（km）和乙行進的時間x（h）之間的函數關系如圖3所示，則B，C兩地的距離為_______km （結果精確到1 km）.

解析：縱軸表示兩人與A地的距離，橫軸表示乙出發后的時間. 觀察圖象可知：甲先用30 min行進25 km，則甲的速度為50 km/h，乙的速度為15 km/h;甲行2 h后沿原路返回，說明甲共行2.5 h，則A，B兩地的距離為125 km.

如圖4，三段路程之和等于A，B兩地距離的2倍，列方程為50x + 15x + 25 = 125 × 2，則相遇時間為[4513] h. B，C兩地距離為A，B兩地距離減去乙的路程，約為73 km. 故填73.

拓展提升

育紅學校七年級學生步行到郊外旅行. 七（1）班出發1 h后，七（2）班才出發，同時七（2）班派一名聯絡員騎自行車在兩班隊伍間聯絡，聯絡員和七（1）班的距離s（km）與七（2）班行進時間t（h）的函數關系圖象如圖5所示. 若已知聯絡員用了[23] h第一次返回自己班級，則七（2）班需要_______h才能追上七（1）班. （答案見第33頁）

（作者單位：遼寧省阜新市第十一中學）