淺談通過數學周記培養學生的數學反思習慣

寧小紅

反思即反省，“反思”在現代漢語中的解釋是“思考過去的事情，從中總結經驗教訓”。從心理學的角度看，反思就是元認知，是對自己的認識過程及結果的認識，是全方位地對問題及解決問題的思維過程進行全面考察分析和思考的活動。其中，《中國高考評價體系》就提到了學生應該具備“思維認知能力”的數學能力。經過素質教育的培養，思維認知能力強的學習者應當能夠獨立思考，通過自己的邏輯思辨，發表獨立的、有創造性的看法，能夠從多個視角觀察、思考同一個問題。

不少研究表明，數學日記有助于學生反思數學學習的過程，促進數學學習能力的發展。通過數學日記培養學生反思習慣在數學教學中具有重要意義。數學日記提高學生數學能力，提升學生數學素養的價值與意義是國內外眾多研究者所一致認同的，但是數學日記在實際的高中數學教學中實施卻受到許多時間空間的限制。在高考備考的壓力下和多科作業的負擔下，學生通過每天寫數學日記的形式來進行反思每天的數學學習過程顯得困難。因此我們換了種少受時間空間限制的方式，通過實施數學周記的形式來實踐探索其對學生數學反思習慣的培養。通過一年多的行動研究，我們發現數學周記有助于培養學生以下幾方面的反思習慣。

一、 對數學知識內容進行反思

在《中國高考評價體系》中，必備知識是指即將進入高等學校的學習者在面對與學科相關的生活實踐或學習探索問題情境時，高質量地認識問題、分析問題、解決問題所必須具備的知識。高中數學必備知識內容豐富，高二的數學內容又相較高一難度上增加了不少，學生經過了一周的學習之后，難免會出現對一些數學概念、數學定理、公式法則、性質理解得不夠深入，掌握得不夠好的現象。那么這個時候，教師可以針對本周內的某個重難點知識內容，提出一些問題，讓學生通過寫作的方式對某個概念、某個命題進行深入的思考探索，幫助學生理解概念的內涵，掌握命題中對象的關系及相關數學規律。例如在學完二面角的相關概念后，我們在這周內學生的練習中發現，學生沒能很好地理解這個概念，因此在周末的時候，我們設計了若干問題，讓學生在周記本上用寫作的方式回答。

設計如下：

1. 二面角的平面角如何定義？請用文字語言、圖形語言和符號語言描述一下；

2. 你認為為什么這樣定義二面角的平面角？

3. 二面角的平面角有多少個？它們有什么關系？

4. 作出兩個平面，畫出兩個二面角的平面角，并說說畫二面角的平面角的注意要點；

5. 試作出正方體，連接各面的對角線，探究圖形中二面角的大小；

6. 挑一個本周內你遇到的不會做的與二面角相關的題目，進行再次探究。

通過對這一組問題的探究，學生對二面角的平面角概念進行了深入的反思，對概念進行再建構。明確概念的內涵外延，并對概念進行了初步的應用。當然，在我們的實踐過程中還采取其他的方式來促使學生對相關知識進行反思，例如開放性地讓學生談自己在一周學習過程中遇到哪些困難，對哪些知識點理解不夠到位，讓他們通過查找資料自學并寫下自學后對相關知識的認識與感悟；再如當學習完某一章節知識的時候，我們還通過指導學生畫思維圖來梳理相關知識的聯系與區別，使學生加強對知識的整體性把握，如圖1所示。

圖1

二、 對數學解題過程進行反思

在教學過程中，我們經常會遇到這樣一個問題，在某一不是很難的類型題上教師多次講解，學生多次練習，學生還是掌握不到位。那么這時候除了教師要合理組織相關內容，再次講解清晰之外，更重要的是學生自己要再深入分解問題、分析條件目標、掌握解決問題的思維方法。所以在我們的教學中如果出現這種情況，我們會再找一兩道相關的典型題，讓學生在周末的時候，從背景分析(即知識點分析)、條件分析、目標分析、思路分析(可從多角度考慮，嘗試多種方法)、解題過程呈現、解題回顧(歸納解題方法策略，分析此類題的難點與關鍵點)等六個方面對題目進行全面深入地分析，使學生把握問題的本質，體悟題目中蘊含的思想方法。例如在我們的教學中發現學生對“最短弦、最長弦”和“切線長最短”的類型題掌握得不好，因此我們設計如下兩個問題，讓學生從以上六個方面進行反思。

反思題1 直線l：2mx+y-m-1=0與圓C：x2+(y-2)2=4交于A、B兩點，則當弦AB最短時，直線l的方程為。

反思題2 已知P為直線l：x+3y-12=0上一點，過P作圓C：(x-2)2+y2=1的切線，則切線長最短時的切線方程為。

通過這兩個典型題的深入探究，可使學生抓住解決此類型題的關鍵是要將弦長或切線長轉化為圓心到直線的距離與半徑的勾股關系，從中體悟轉化與化歸的數學思想方法。如此反思，從效果上來看，比聆聽教師多次“強調”效果要好，因為這促進了學生對這道題解答時包含的過程性知識(對知識結果和知識應用的體驗，且是內隱的、動態變化的)和程序性知識(題目該如何解答，每一個步驟是怎樣的)的整理和反思。反思是一種習慣和意識，不斷地反思，才會不斷進步，如圖2所示。

圖2

三、 對數學思想方法進行反思

數學思想方法是對數學知識、數學解題及數學方法的本質認識，對學生學習數學具有非常重要的意義。數學思想方法是數學中的一般性的原理，它有高度的概括性，有助于學習的遷移，所以在平時的教學中要注重數學思想方法的教學。在高中的許多數學內容中以及數學問題中都蘊含著數學思想方法。通過周記的形式使學生對這些數學知識內容和問題進行深入探究反思，有助于學生對數學思想方法的領悟。例如讓學生在周記中對數學概念的形成過程進行反思，并讓學生思考在概念形成過程中應用了哪些思想方法。再如在題目探究型周記中，設計解題回顧環節，引導學生對整個解題過程進行反思，總結題目中的知識內容，挖掘蘊含在題目中的數學思想方法，顯化數學思想方法，在這個過程中逐步培養學生從思想方法的高度審視平時遇到的數學問題。

有位同學在學完“平面向量的應用”后，在周記中說道：“老師在講‘平面向量的應用’這一節內容時，著重講了轉化與化歸的思想，讓我印象非常深刻。在解題中先確定已知模和夾角的平面向量基底，然后將目標中的未知向量通過向量基本運算先轉化為基底表示，再往下運算。這種將未知量轉化為已知量的思維方式真的太妙了！”我對這位同學的批語是：“很高興看到你對轉化與化歸的數學思想方法有較深的體悟，如果你能在平時的解題和學習過程中也多用轉化與化歸去思考問題你會發現轉化與化歸思想有更廣的應用。”

四、 對數學學習方法進行反思

定期地反思近段時期自己在數學學習方法上的不足，總結自己這段時間以來好的數學學習經驗，可以促使學生發展自己的數學學習能力。而數學周記可以給學生提供一個很好的自我反思總結的路徑，在周記中引導學生反思自己一周以來做得好的與不足的地方。在每周的周記內容中我們可以設計這樣的問題：通過一周的數學學習你覺得有哪些收獲與成就？在一周的學習過程中有哪些不足？接下來如何改進？有同學在周記中寫道：“這周做得不夠好的是錯題沒有及時提問解決，導致問題堆積，下次遇到問題要規定時間，及時處理。”“線性回歸分析這節課沒來得及進行課前預習，上課沒能很好地跟上老師的節奏，以后新課要提前預習，帶著問題去聽課。”“周三寫作業前沒有先去梳理當天學習的新內容，對所學新知識不夠熟悉，導致晚修寫作業效率低下，占用太多時間，下次要注意。”……通過這樣的反思，學生可以發現自己的不足并進行及時的調整，可以促使學生養成定期對自己的數學學習過程進行自我監控和調節的良好習慣，進而提升學生的元認知能力。

五、 對數學學習情感態度進行反思

“數學情感”存在于教學過程的各個環節之中，具有積極性、消極性、雙重性與不確定性。長期以來，數學教學中對學生的數學情感關注較少，教學活動多數是針對高考去設計與實施。很多教師下課后，很少與學生進行交流，至多通過平時的批改作業了解學生的一些解題情況，所以數學教師也需關注學生的情感體驗(興趣感、成功感、焦慮感和厭倦感)。

數學周記可作為師生間進行交流的有效媒介，它可以幫助教師發現、了解學生的個體差異，減輕學生的心理壓力和精神憂慮，培養其數學自信心，使之在輕松愉快的環境中能動地掌握數學知識和數學方法，從而達到普遍提高學生數學能力的效果。實際上，近幾年有非常多的研究表明，非智力因素對學生的數學學習有非常重要的助推作用。而在我們的實際教學中也可以發現，凡對數學學習有強烈興趣的學生，都能夠積極主動地進行數學探索，所以這類學生的數學素養都不會差。在周記中我們可以向學生提出這樣的問題：在這一周的數學學習過程中，有什么經歷是讓你覺得有趣或愉悅的？有什么經歷是讓你感到糟糕或焦慮的？你有什么話想對老師說？

一個學生寫道：“我的數學很差，高中之后數學更差，覺得數學老師離我好遠好遠，永遠都跟不上老師的步驟。我上課時，都不敢看你，生怕你會提問我，我也不敢來問你問題，怕您覺得我問的問題太簡單了……”我寫下了：“你應該重拾信心和對學習數學的熱情，老師和你一起努力，從現在的開始，一點一點努力把數學提高。記得多來找我。加油！”

還有一位同學在某一周的數學周記上寫道：“又是被數學折服的一周，我認為老師講哲學很有幾把刷子，對學生的心理也分析得很透徹，真不考慮去考個心理輔導證嗎？或許大家就不會在數學的世界里煩惱了，雖然我認為寫數學就是煩惱！希望老師您可以多給我們煲煲心靈雞湯，這樣似乎就可以給已經被數學海洋推得無所適從的我一塊沖浪板，雖然摔下板的概率不算低，但起碼有個底，總好過赤腳踏上浪尖啦！”我在這位同學的周記上回復道：“謝謝你對老師的認可與信任，向我傾訴了你對數學的情感，雖然你過去學習數學的情感體驗不是很好，但是我相信只要我們攜手共同努力，慢慢調整心態，慢慢進步，我們一定可以在數學的海洋中自由暢快地游玩！”

通過這樣的交流對話，學生找到了和老師深入交流的窗口，學生可以在周記中表達其內心深處對數學的真實情感，對那些失去數學學習信心的同學可以及時得到教師的鼓勵、肯定與指導，對緩解學生數學學習焦慮有很大幫助。同時對教師而言，可以及時了解學生的數學學習情感動態，可以在后續的教學中進行及時的干預與調整。對拉近師生關系、改變學生對數學的認知、培養學生對數學的親近感有很大的幫助。

六、 對數學課堂學習過程進行反思

學生在數學課堂中的學習習慣、學習態度和學習專注力對其學好數學至關重要，因為數學課堂是學生在校學習數學的最重要場所和最重要環節。如果學生能養成良好的數學課堂學習習慣，將對其高中數學學習產生很好的助推作用。反之，將對其數學學習產生不良影響。所以，通過周記幫助學生反思每周在課堂中的數學學習過程顯得很有必要，通過反思學生可以對自己的課堂行為進行及時的調整，培養良好的數學課堂學習習慣和數學學習反思習慣，進而提升學生的數學學習能力。

有同學在自己的周記中寫道：“學條件概率這一節課的時候，我走神了，沒有緊跟老師的思路節奏，導致沒有很好地理解條件概率的定義，條件概率公式也沒有搞懂，導致課后花了很長的時間惡補后才勉強把這一塊知識搞清楚。下次切記不能輕易走神，多跟老師進行眼神互動，緊跟著老師的節奏走。”還有同學寫道：“通過回憶自己的課堂學習過程，我發現自己的專注能力真的很差，很容易受到外界因素的干擾，例如窗外有個人走過，我會不自主地望向窗外，老師背身板書的時候容易開小猜，決心改正過來。”我給這位同學的回復是：“看到你能真誠地反思自己在課堂中存在的問題老師真的很開心，更開心的是看到你通過反思，發現了自己存在的不足，并且下定決心改過。我相信只要我們平時有意識地去鍛煉我們的專注能力，你的專注能力就會逐步提高。”

七、 對數學素養進行反思

提高學生的數學素養不是簡單一句話。數學課堂學習探索的時間和空間是有限的，這就需要滲透到平時學習中。學生通過數學周記的形式有更大的空間進行探索和了解數學文化。在講到楊輝三角與二項式定理的關系后，周記自行探索楊輝三角里面有豐富的數學規律。

一個學生在周記中寫道：“如圖3我發現第一斜列均為1，第二斜列則為自然數，第三斜數值是1、3、6、10……，這種熟悉的數據讓我想起來，第三斜列為三角形數。第四斜列是什么呢？我雖然不知道，但可以肯定是數學中特有的。我還發現里面隱藏了斐波那契列，如圖斜線相加在一起，分別是1、1、2、3、5、8、13、21……，當我發現的時候我太不可思議，原以為只是簡單的二項定理展開式的系數。沒想到卻有這么豐富數學內含，感覺自己喜歡上數學了。”老師給的點評是：“你探索得很好，能從楊輝三角到三角形數，再到斐波那契列。看來對數學文化也是了解不少喲。老師告訴你第四斜列是四面體數，第五斜列之后等你上了大學可以再去研究。其實里面很多有趣的性質，我們可以一起繼續探索。”學生通過數學周記對問題進行探索，并記錄過程和感悟，也對數學文化有了進一步認識。

圖3

八、 結語

新課程背景下，數學周記是在教師引導下著眼于發展學生的興趣、需求和個人特長，并關注學生的個性發展，促進學生從被動地學習，逐步走向主動探索及反思，進而養成良好的數學反思習慣。這種的數學反思習慣，在情感、態度與價值觀方面，也在數學思維能力以及數學創造性等方面，都有非常積極的影響。培養數學反思習慣，還可以有更多的形式，希望在以后的教學與研究過程中不斷地探究與總結。