結構化圖形在幾何單元復習課設計中的應用探索

馬學三

一、 研究的緣起

(一)中考幾何復習教學現狀

縱觀目前幾何單元復習教學現狀，教師普遍采用的是以下三種常態幾何復習教學模式。

模式1：完全按照《復習用書》，主要形式是“N+1+X”，先完成“N”個與本單元相關的課前測題目，再梳理“1”張知識表或知識圖，最后完成“X”種類型題。

模式2：選擇使用《復習用書》，主要形式是“1+X+1”，先回顧梳理“1”張本單元幾何概念、性質和判斷知識圖表，再完成“X”種類型題，最后完成“1”個綜合拓展問題。

模式3：完全自編復習教案，主要形式是“1+X”，圍繞“1”個單元基本圖形設計“1”個典型習題，通過變式拓展“X”個問題串，稱為“一題一課”復習課型。

第一、二種常規的幾何復習教學模式，注重幾何知識和對應問題的歸類講解，缺少知識單元整體深度學習結構的系統構建，因此學生忙于刷題，解題能力提升不大，而且不能激發學生的復習興趣。第三種幾何復習教學模式，是目前比較認可的效率較高的方法，通過以典型題(圖)促發單元重點知識回顧，并通過變式形成研究的基本結構，這種方式比前面兩種方式效果好，但是也存在典型題(圖)選擇不精準情況，需要教師課前精心設計。

(二)中考幾何答題情況現狀

近幾年的杭州市中考壓軸題都以圓為背景、考查圓內直線的基本結構圖形，從學生的答題情況分析，對基本結構圖形的認識和分析能力較弱，知識存儲都是以單一線性為主，特別像2021年的第23題第③小題，有19%左右的學生不會做。

(2020年)如圖1，已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點E，點F是半徑OC的中點，連接EF。連接BF，DF，設OB與EF交于點P，①求證：PE=PF。②若DF=EF，求∠BAC的度數。

圖1

(2021年)如圖2，銳角三角形ABC內接于⊙O，∠BAC的平分線AG交⊙O于點G，交BC邊于點F，連接BG。

圖2

①②略。③已知點E在線段AF上(不與點A，點F重合)，點D在線段AE上(不與點A，點E重合)，∠ABD=∠CBE，求證：BG2=GE·GD。

(三)教研室幾何單元復習指導建議

1.要重視幾何復習素材來源于教材和真題。

2.要重視幾何知識單元整體在建構知識結構過程中，梳理知識框架體系，通過典型圖形的主題學習，掌握單元核心內容并形成較為熟練的學習和思維結構。

基于以上背景，以幾何知識單元典型結構性圖形為復習素材和載體，設計好鏈式和環式問題促進學生形成良好的知識結構，再對結構性圖形進行變式，發展學生的認知和思維結構，從而提升幾何復習的效果，這是解決當前初中幾何單元復習效率低的有效途徑，本課題進行了教學設計和具體操作實施的研究。

二、 研究的設計

(一)概念的界定

結構化圖形：在幾何知識單元復習中，一種是基于知識系統的結構化基本圖形，另一種是基于典型綜合問題的結構化組合圖形。

在幾何知識單元復習中，依托單元結構化基本圖形，整體分層設計具有鏈式+環式的結構化問題。

在幾何知識單元復習中，培養學生利用單元結構化基本圖形和問題重構研究內容，建立學習路徑。

在幾何知識單元復習中，引導學生用系統思維的方法完整、深刻地研究圖形和問題，從而使學生形成相對固定的結構化思維。

(二)研究的思路

幾何知識單元的復習，必須在單元教學觀下進行，復習課是對知識單元的總結、反思和提升，不僅僅是經典題的再回顧，不只是梳理知識點，而是要讓學生有新的收獲，幾何單元復習課的功能與目標應是多元的：數學知識的整合與理解、方法策略的建構與內化、思維能力的形成與提升，不局限于本章節，而應在整個初中數學知識系統中，讓學生感知本章節的地位與作用，體會本章節與前面章節和后面章節的聯系。

(三)研究的路徑

本課題的研究從“一路徑·兩結構”研究幾何知識單元教學設計與實施。

一路徑：幾何知識單元復習結構化學習路徑。

兩結構：結構化圖形和結構化問題串。

研究程序如下框圖。

通過設計—實施—改進—再實施，基本形成幾何知識單元復習教學模式的研究。

(四)研究的目標

1.總體目標

通過本課題的研究，有效提高了幾何單元復習的教學效率，提高了學生幾何結構化深度學習能力，很好地發展了學生幾何結構化系統思維。

2.細化目標

(1)通過本課題研究掌握了幾何知識單元劃分的基本原則；(2)通過本課題研究掌握了幾何知識單元結構化圖形和問題的設計能力；(3)通過本課題研究，學生基本學會了幾何知識單元復習的結構性學習路徑；(4)通過本課題研究，基本形成了幾何知識單元復習教學設計及操作模式。

三、 研究的內容

(一)幾何知識單元復習課的結構化知識內容設計

結構性知識單元的劃分原則：聚焦同一類研究對象，包含對象概念、要素、性質、判定和運用等自成一個閉環邏輯體系。本課題劃分原則按照1課時的知識單元內容。

(二)結構化作圖或問題串：幾何知識單元復習課引入階段的設計

1.通過結構化作圖串，重構知識單元結構

根據劃定知識單元的內容特征，及學生獲取幾何新知識的方法，部分幾何單元可以通過設計結構化作圖串重構知識單元結構，并形成結構化的基本核心圖形。

在復習《直線與圓的位置關系》單元時，設計如下作圖任務串。已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4。

①以C為圓心，4為半徑的⊙C與直線AB的位置關系。

②若直線AB與半徑為r的⊙C相切，求r的值。

③求作圓心在BC邊上的⊙O。

④求作過點C的⊙O。

⑤求作與直線AB相切的⊙O。

2.通過結構化問題串，重構知識單元結構

根據劃定知識單元的內容特征，及學生獲取幾何新知識的方法，部分幾何單元可以通過一個基本圖形設計結構化問題串，重構知識單元結構，并形成結構化的基本核心圖形。

在復習《特殊三角形》單元時，設計如下問題串。已知，在△ABC中，AB=AC，請回答以下問題。

①若兩邊長分別為2和3，則△ABC的周長為。

②若∠B=75°，則∠BAC=；若∠BAC=30°，則∠C=。

③若點D是BC邊中點，AB=10，BC=12，則AD=；若點E是AB中點，則DE=；

若CF⊥AB，則CF=；若AP平方∠DAB，則DP=。

④如果AB=13，BD=5，AD=12，則△ABD為三角形。

⑤若點D是BC邊中點，點F是AB上一點，DF=BF，則△ADF是三角形。

(三)結構化基本核心圖形：幾何知識單元復習的圖形歸納

羅增儒教授指出，教材是中考命題的基本依據，教材內容是中考復習資源的基本來源。因此根據劃定的知識單元，歸納出相應的結構化基本核心圖形是學生重構知識結構的重要載體。

1.通過教材中蘊含的概念、性質和判定圖形，歸納出結構化基本核心圖形

學習九上3.3垂徑定理和3.4圓心角定理時，總結出基本圖形，加深直觀理解。(如圖3)

圖3

通過總結基本圖形，不僅能夠使學生知道切線長定理的內容，更能使學生知道和理解該定理的證明過程，以及由此基本圖形推導得出的其他結論。

學習九下2.2切線長定理時，總結出基本圖形。(如圖4)

圖4

通過總結基本圖形，不僅能夠使學生知道垂徑定理和圓心角定理的內容，同時也能使學生對該定理的推理過程有直觀顯性的理解載體，由基本圖形構建知識網絡，提高學習的效率，鍛煉學生的幾何思維能力。

2.通過教材例題和習題中的圖形，歸納出結構化基本核心圖形

在復習九上相似三角形單元時，歸納六種基本圖形。(如圖5)

圖5

通過總結歸納六種相似三角形的結構化基本圖形，可以加深學生對圖形中邊和角對應關系的理解，學生可以在一些復雜的相似三角形圖形中快速準確地找到相似三角形。

利用九上4.5相似三角形的性質及應用(3)作業題5：

有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高線AD=80mm。要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上。求加工成的正方形零件的邊長。(如圖6)

圖6

這個基本圖形用到相似三角形對應邊上的高之比等于相似比的性質，作為性質應用的結構化基本核心圖形，涉及的知識也是相似三角形的重要性質，學生熟練掌握這個圖形與性質，能夠簡化解決類似幾何問題的思考過程。

利用九下1.3解直角三角形(3)作業題3：

如圖7，廣場上空有一個氣球A，地面上點B，C，D在一條直線上，BC=20m。點B，C分別測得氣球A的仰角∠ABD為45°，∠ACD為56°。求氣球A離面的高度AD(精確到0.1m)。

圖7

這個基本圖形用到解直角三角形和三角函數知識，圖中是兩個含有公共直角邊的直角三角形，圖形比較典型，根據條件一般不能直接解決其中任意一個三角形問題，只能通過設未知數x的間接方法來解決問題。因此這是一個圖形和方法都比較典型的問題，作為本章一個重要的結構化基本核心圖形讓學生積累。

(四)中考復習幾何知識單元的結構化變式問題鏈設計

傳統的復習課很容易變成單純的習題課，做完一題又開始下一題，題做了不少，其中也不乏好題，但是涉及過多導致整節課零散，知識和技能重復，不僅效率低下，而且增加學生負擔，與現在要求的“雙減”相悖，深層次原因是問題沒有體現結構化層次性，導致學生沒有形成學習結構和思維結構。本課題從以下但不局限于這幾種方法研究結構性變式問題鏈設計。

1.分析和探究中考試題，設計結構化問題鏈

如杭州市2019年中考題：

23.如圖，已知銳角三角形ABC內接于⊙O，OD⊥BC于點D，連結OA。

(1)若∠BAC=60°，

②當OA=1時，求△ABC面積的最大值；

(2)點E在線段OA上，OE=OD。連接DE，設∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED(m，n是正數)。若∠ABC<∠ACB，求證：m-n+2=0。

設計如下圖兩種結構化問題鏈：

如杭州市2017年中考題：

23.如圖，已知△ABC內接于⊙O，點C在劣弧AB上(不與點A，B重合)，點D為弦BC的中點，DE⊥BC，DE與AC的延長線交于點E，射線AO與射線EB交于點F，與⊙O交于點G，設∠GAB=α，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ。

(1)點點同學通過畫圖和測量得到以下近似數據：

α30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°

猜想：β關于α的函數表達式，γ關于α的函數表達式，并給出證明；

(2)若γ=135°，CD=3，△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，求⊙O半徑的長。

設計如下圖結構化問題鏈：

2.研究和拓展中考圖形，設計結構化圖形串

如杭州市2020年中考題：

已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點E，點F是半徑OC的中點，連接EF。連接BF，DF，設OB與EF交于點P，①求證：PE=PF。②若DF=EF，求∠BAC的度數。

通過分析研究，挖掘并拓展基本圖形(圖8)，形成結構化圖形。

圖8

(五)幾何單元復習的結構化典型組合圖形設計

幾何綜合性問題往往隱含不止一個結構化基本圖形，通過變式問題鏈的設計，建構成結構化典型組合圖形，通過這方面的學習，學生在建構過程中，不僅經歷了組合圖形的產生過程，也建構了復雜圖形的一般研究路徑，從而促進學生應用結構化圖形解決問題意識的培養。

四、 結語

幾何解題能力是數學的基本能力，是形成幾何直觀核心素養的重要體現，通過幾何單元復習的教學實踐，利用結構化圖形和問題，使學生在形成幾何結構化知識體系時，能夠形成基本的結構化研究路徑，并用圖形承載知識，有效發展學生的幾何能力。本研究對當前學生幾何直觀、幾何解題能力普遍薄弱的現狀有一定的積極作用，筆者將繼續進行后續跟幾何圖形相關的教學研究。