牽制控制含噪聲的多延遲超網絡的結構識別

趙雪漪,朱帥兵,鄧樂斌,謝 紅

(1.漢江師范學院數學與計算機科學學院,湖北 十堰 442000)

(2.湖南師范大學數學與統計學院計算與隨機數學教育部重點實驗室,湖南 長沙 410081)

1 引言

在過去的二十年中,大型互連系統通常被建模為單層復雜網絡.復雜網絡的研究涉及到不同的學科領域,受到了各學科研究人員的廣泛關注[1-9].在現實世界中,復雜網絡通常并不是單獨存在,而是通過相互作用形成超網絡.比如,在疾病傳播網絡中,傳染病的大爆發會引發信息傳播網絡上消息爆發,而消息的傳播會增大疾病的爆發閾值；社交網絡中,人們之間的關系網絡（家人、朋友、同事等）和通信網絡（電話、微信、QQ等）是錯綜復雜相互作用的.以上這些網絡就稱為超網絡,網絡嵌套或包含著若干個子網絡,子網絡之間通過某種方式連接在一起.對超網絡的研究是復雜網絡領域最重要和最前沿的研究方向之一[10-15].目前關于超網絡的動力學方面的研究還很少,近幾年所研究的大多數超網絡,都是不含延遲或者是含有單個延遲,這是很理想的狀態.在現實世界中,一個網絡中可能含有多種延遲.比如說通信網絡,兩個人之間通過微信或者QQ聯絡,那么不同的通信方式所產生的延遲就是不同的；在交通網絡中,航空或者是高速等不同的運輸方式所產生的延遲也是不同的.在超網絡中,每一層的節點之間可以有多種耦合方式,不同的耦合方式產生不同的延遲,具有相同延遲的節點結合一起形成層內的子網絡,這種每一層含有多種延遲的超網絡稱為多延遲超網絡,如圖1,不同的顏色代表不同的層,每一層有各自不同的延遲、噪聲強度和耦合強度.

圖 1 三層多延遲超網絡模型,不同的顏色代表不同層,每一層有各自不同的延遲、噪聲強度和耦合強度

在自然、社會和工程實際中,準確的拓撲結構往往是未知的或者是不確定的.因此,根據網絡的節點動力學來反演網絡的拓撲結構,這個問題越來越引起各個相關領域研究者們的重視.網絡結構的識別具有重大的理論和應用價值,它也是分析控制和預測真實的復雜網絡動力學行為的先決條件.對于網絡的拓撲結構識別問題,最近幾年獲得一些重要進展,有很多種識別方法,比如基于自適應同步的網絡拓撲識別方法[16-19],壓縮感知方法利用實際復雜網絡鄰接矩陣的稀疏性以及目標優化思想反演網絡結構[20,21],基于格蘭杰因果檢驗的網絡拓撲結構的識別方法則是根據實測時間序列數據推斷節點間的有向關系[22],這些方法都取得了很好的效果,并且在進一步地發展.另外,在文章[23-25]中,分別給出了基于同步的識別方法中,保證成功進行拓撲結構識別的幾個條件.對單層網絡的拓撲識別問題的研究已經取得了豐碩的成果,但是目前對超網絡拓撲識別的研究還很少,對超網絡的拓撲識別問題是目前網絡科學重要的分支之一.

在實際復雜網絡中,我們通常只對一部分網絡的拓撲結構感興趣,比如說在社會網絡,我們只想知道朋友或家人的信息；在生物神經網絡,細胞神經元個數繁多,全部識別不切實際,可以根據實際情況識別部分網絡.因此,通過牽制控制的方法,不需要接收原始網絡中所有節點的信息,通過牽制控制一部分節點,來識別原網絡其中一部分未知的拓撲結構是有實際意義的.近幾年,對牽制控制的研究有很多好的成果[26-30],但是牽制控制超網絡的研究還很少.在現實世界中,噪聲是無處不在的,系統受到內部或外部的干擾,都會產生噪聲.同時,噪聲也是一把“雙刃劍”,比如科學家制成一種激光聽力診斷裝置,它由光源、噪聲發生器和電腦測試器三部分組成,可以通過噪聲的原理來治病.但是長期的噪聲污染又會引發疾病,因此,怎樣利用好噪聲是一個亟待解決的問題,對噪聲系統的研究也引起了人們的廣泛關注.

基于以上討論,本文利用同步理論,通過牽制控制方法,不需要接收原網絡中所有節點的信息,通過牽制控制一部分節點,來識別含噪聲的多延遲超網絡中的未知拓撲結構.數值仿真驗證了定理的有效性,說明用牽制控制方法研究超網絡的未知拓撲結構是有效的,具有實際意義.本文共有五個部分,第二部分介紹了文章的一些引理和預備知識,第三部分是本文的主要理論結果,第四部分用數值仿真驗證定理的有效性,第五部分是結論.

2 預備知識

考慮如下n維隨機微分方程

對于任意的初始向量x0,方程(2.1)的解定義為x(t;t0,x0).當f(t,0,0)=φ(t,0,0)=0,方程(2.1)有一個平凡解x(t0)≡ 0.這里,(Ω,F,{Ft}t≥0,P)表示完備概率空間,w(t)=(w1(t),...,wn(t))T是定義在概率空間上的n維布朗運動.

引理1[31]

引理2(Schur Complement[32])線性矩陣不等式

其中AT(x)=A(x),CT(x)=C(x),等價于以下任意一個條件

(a)A(x)＜0且C(x)-BT(x)A(x)-1B(x)＜0;

(b)C(x)＜0且A(x)-BT(x)C(x)-1B(x)＜0.

引理3[33]假設P是對角矩陣,第k個(k=1,2,···,l)對角元素是p,其余元素為0,其中p＞0是足夠大的數.因此,G-P＜0等價于Gl＜0.

3 主要結論

本文主要考慮如下含噪聲的多延遲超網絡(3.1):

本節的目的就是通過設計自適應牽制控制器,來識別多層網絡(3.1)的系統參數和部分未知拓撲結構.令多層網絡(3.1)為驅動網絡,并相應地設計響應網絡如下：

在得到主要結論之前,我們先給出幾個假設：

定理1如果假設1-4成立.若存在合適的正數l1使得

這里i=1,2,···,l1,j=1,2,...,l2,hi是正常數,含噪聲的多延遲超網絡(3.1)的未知拓撲結構可以被成功識別,同時,驅動網絡和相應網絡達到同步.

證考慮如下李雅普諾夫函數：

這里d＞0,r＞0是常數.我們得到

注由定理1可知,牽制控制的節點個數l與ck,μ,δ,γk有關,即與原網絡的耦合強度、噪聲強度、延遲和內連耦合矩陣有關.

4 數值仿真

由定理1可知,存在合適的正常數l1和r,只需要牽制控制l1個節點,就可以識別多延遲超網絡的部分拓撲結構,并且使得驅動系統(3.1)和響應系統(3.2)達到完全同步.考慮含有10個Rossler系統的三層網絡,

由圖2可知Rossler系統是有界的[34],并且存在M1=10,M2=10,M3=35,使得||xij||≤ Mj,||yij||≤ Mj,i=1,2,···,10,j=1,2,3.

圖 2:Rssler系統 (a=0.2,b=0.2,c=7).

因為

所以

滿足假設1,α=43.4730.

圖3:牽制控制一個節點的同步誤差圖.

圖4:拓撲結構a,k=1,2,3的估計圖.

5 結論

本文構造了含噪聲的多延遲超網絡,基于同步的拓撲識別方法和隨機微分方程的理論基礎,通過設計合適的牽制控制器,牽制控制一部分節點,將原始網絡當作驅動網絡,構造響應網絡來識別原網絡的未知拓撲結構.數值仿真驗證了定理的有效性,接下來我們會進一步研究各種網絡參數對拓撲識別的影響.