基于D-H四元數變換法對2-RRR型腳踝康復機器人的機構分析

王 遠，馮俊學，韓 亮，李瑞琴

（1.山西工程職業學院 機械電子工程系，太原 030001;2.中北大學 機械工程學院，太原 030051;3.北京機械工業自動化研究所有限公司，北京 100120;4.北自所（北京）科技發展股份有限公司，北京 100120）

0 引言

踝關節作為人體最大的參與運動的支承關節，其結構非常復雜，如果在運動的時候動作不恰當，就極易出現損傷。據調查，在下肢損傷中，韌帶拉伸或撕裂的腳踝扭傷是在運動和生活中最常見的[1]。在過去的幾十年中，多項研究表明康復機器人在改善診斷和理療結果方面具有巨大潛力，自動康復系統的主要優勢是能夠進行大量的重復，這被證明對神經肌肉損傷的治療非常有益[2]。隨著機器人技術的發展和現代醫療科學的進步，國內外機器人和醫療輔助設備研究工作者對腳踝康復機構開展了大量的研究，由機器人運動學到人體康復學，內容十分豐富。

Jamwal P K等人針對并聯踝關節康復機器人提出一種改進的遺傳算法，對該機器人的運動學進行了設計優化，提出了一個最小化GCN的優化問題，在優化結果中，得到了一種最優的機器人設計[3,4]。Yoon J等人提出了一種新型的可重構踝關節康復機器人，涵蓋了各種康復運動模式，該機構可以在前后平臺之間產生相對旋轉以及俯仰和側傾運動，該踝關節康復機器人不僅能在各種運動模式中替代傳統的治療，還能提供先進的功能性訓練[5]。Satici AC等人根據人體腳踝結構設計了一種可重構的基于力反饋的并聯康復機器人，該設備既可以用作平衡本體感覺訓練器，也可以配置為適應運動范圍(RoM)強化練習，并對該機器人進行了運動學分析和控制分析[6]。戴建生等人研究了一種關于踝關節運動的運動分析的新技術，提出了一種在此基礎上的機制合成方法，并開發了幾種具有踝關節康復中心支柱的并聯機構，用支撐踝關節康復的中央支柱產生的部分對剛度矩陣進行了分析，將并聯機構引入到踝關節康復機器人中[7]。Hu A等人設計了一種新型的下肢康復訓練機器人，并提出了相關的康復訓練方案，采用仿生下肢運動機制驅動人體髖關節和踝關節，合跑步機式垂直振動訓練裝置，模擬人體行走進行下肢康復訓練，采用簡化的鏈路機構模型分析了機器人的運動過程，導出了各分量的運動方程和運動參數[8]。

此外，國內外大量學者都針對腳踝康復機器人展開各種各樣的研究，并且都利用傳統的D-H參數法對串聯或并聯機器人的運動學和工作空間進行了不同程度的分析[10]。D-H參數法在計算機器人每個構件的位置和姿態有著非常大的優勢，使許多機器人運動學的問題都迎刃而解[12]。然而，由于D-H參數法的相關計算是建立在矩陣運算的數學基礎上進行的，而矩陣運算有著先天的不足，若某矩陣行列式為零，則該矩陣將無法進行矩陣逆運算[13]。張忠海等人結合四元數和D-H參數法的特點，于2015年提出的利用四元數代替矩陣運算并利用D-H參數法對串聯機器人相鄰桿件以及任意桿件的位姿計算推演方法，并證明了D-H四元數法可有效替代傳統的D-H參數法[14]。本文將結合D-H參數法和四元數法對腳踝康復機器人的運動學展開分析。將通過以下幾部分進行分析。1）首先建立機器人的機構簡圖并利用旋量理論對其進行自由度分析；2）采用D-H四元數法對機器人的運動學進行分析，對末端執行器的變換矩陣進行求解；3）在第二步分析的基礎上，對腳踝康復機器人的機械臂的運動規律進行分析。該理論將為機器人機構運動分析提供一種簡潔高效的理論方法。

1 腳踝康復機器人自由度分析

文中提到的腳踝康復機器人屬于串聯機器人，該機器人由兩個串聯的機械臂以及底部平臺組成，如圖1所示。以其中的一個串聯機械臂作為分析對象，該串聯機械臂有三個轉動副構成，分別為R11、R12、R13，需要注意的是，由于在轉動副R13的轉動軌道上設置有限位擋塊，所以轉動副R13無法做360度回轉運動，只能做一定角度的擺動，同時該設計也符合人體腳踝運動學特征。

圖1 腳踝康復機器人

串聯機械臂和底部平臺的接觸，通過轉動副R11連接底部平臺，構件l1和構件l2通過轉動副R12聯結，在這里將腳踏板以及連接腳踏板的安裝平臺作為構件l3，構件l3和構件l2通過轉動副R13聯結，腳踏板作為末端執行器，起著支承腳的作用。

由圖1可知，串聯機械臂的三個轉動副的軸線在三維空間中相互垂直，以轉動副R11轉軸的中心作為坐標原點O1，分別以R11、R12、R13的軸線為Z1、Y1、X1坐標軸，以此做出該機械臂的全局坐標系O1-X1Y1Z1，如圖2所示。

圖2 RRR串聯機械臂的機構簡圖

根據螺旋理論，RRR串聯機械臂的運動螺旋系為：

其約束螺旋系為：

由觀察可知，該約束螺旋系由三個約束力螺旋組成，分別約束腳踏板沿著X軸、Y軸和Z軸方向上的移動，且互不相關，可判斷該RRR串聯機械臂的自由度是3，末端執行器的運動是繞著X軸、Y軸和Z軸方向的轉動。

2 D-H四元數法對腳踝康復機器人的分析

2.1 四元數的數學基礎

四元數是由數學家Hamilton提出，根據四元數的數學形式可知，它是標量和向量的組合，包括實部和虛部[11]，如式(1)所示：

其中系數a,b,c,d∈R,a表示四元數p的實部，bi+cj+dk表示四元數p的虛部，虛部中的i、j、k應滿足條件：

四元數p可寫成矩陣形式：

同時，四元數p的分量矩陣M(P)和蛻變矩陣M+(P)可寫為：

設p、q、r都為四元數，則它們滿足下面的運算法則：

2.2 D-H參數法和四元數之間的轉換

D-H參數法是Denavit和Hartenberg于1995年提出[9]，通過分別建立相鄰桿件的分坐標系，通過四個參數建立起相鄰坐標系之間的關系，也就是變換矩陣，通過變換矩陣便可得到各個桿件的位姿[15]。由于任一空間機構都是由連桿和連桿通過運動副連接起來的，也就是說除去機架和末端執行器外，空間機構的其他任一連桿的兩端都連接著不同或者相同的運動副，而在空間機構的運動學分析中，都默認為連桿是剛性的，所以連桿兩端的運動副會因為連桿是剛性的而產生某種固定的幾何關系[16]。Denavit和Hartenberg列出四種參數來描繪相鄰桿件的相互關系，它們分別是桿長an-1、扭角αn-1、偏置Sn和轉角θn。

桿長a(i-1)i是指桿件n-1和相鄰桿件n兩軸線沿公法線上的垂直距離。扭角α(n-1)n是桿件n-1和n之間的夾角，方向由n-1指向n。這兩個參數是不變量，它們描述相鄰桿件本身[17]。而偏置Sn和轉角θn表示的是相鄰兩桿件的連接關系。當運動副為轉動副時，偏置Sn是固定不變的，此時轉角θn會隨著轉動副的轉動而發生變化，當運動副是移動副時，轉角θn是固定不變的，而此時偏置Sn會隨著移動副的移動而發生變化[18]。圖3所示的是腳踝康復機器人的單側的RRR機械臂的D-H參數示意圖。

圖3 RRR串聯機械臂連桿參數D-H表示法

根據圖3，RRR串聯機械臂的D-H參數如表1所示：

表1 RRR串聯機械臂的D-H參數

根據文獻[9]可知串聯機構中任意連桿的運動分析用D-H四元數法表示，mp和0p的關系可表示為：

已知RRR串聯機械臂的D-H參數如表1所示，根據式(7)，可計算該機械臂末端執行器相對于全局坐標系{O0-X0Y0Z0}的四元數計算式為：

從式(6)中不難看出，該式子是由兩部分組成的，前半部分表示運動的位置，后半部分則表示機械臂的姿態，由于該機械臂僅含有三個關節，故式(15)、式(16)可表示為:

位置方程:

3 RRR串 聯機械臂的運動學分析

RRR串聯機械臂有三個轉動關節，在機械臂運行過程中，θn始終是變量，通過式(15)可得到機械臂隨時間的變化曲線，如圖4所示。

圖4 RRR機械臂位移曲線

圖4所示的是RRR機械臂的三個連桿的位移隨時間的變化曲線，圖4(a)、圖4(b)、圖4(c)圖所示的分別是三個連桿在全局坐標系下的x、y、z坐標隨時間的變化，通過位置方程式(15)所得到的曲線在尺寸范圍內連續平滑，完全符合腳踝康復儀的運動。圖5所示的該機械臂的線速度曲線圖，圖5(a)、圖5(b)、圖5(c)圖所示的分別是機械臂的三個連桿的在x、y、z方向上的線速度分量。

圖5 機械臂的線速度曲線

通過觀察可知，每一個連桿在x軸、y軸、z軸方向上的速度分量都是連續且平滑的，并且在運行過程中，每一個速度變化都是穩定的，且不會引起突變，從這三個速度分量圖中可看出每一個連桿的速度規律都符合腳踝康復儀的運轉規律。

圖6所示的是三個連桿的線加速度隨時間的變化圖。圖6(a)、圖6(b)、圖6(c)圖所示的分別是三個連桿在x、y、z方向上的線加速度變化分量。

圖6 機械臂的線加速度曲線

很明顯，三個連桿的線加速度隨著時間的變化也是連續且平滑的，且線速度的變化和線加速度的變化能夠保持同步，說明三個連桿的線速度以及線加速度能夠在驅動力的作用下，連續平滑的隨時間變化。下面，將對三個連桿的質心的角速度及角加速度進行分析。圖7所示的是機械臂的三個連桿的質心的角速度變化圖。

圖7 機械臂的角速度曲線

圖中可發現連桿arm1的角速度在x和y軸方向上的分量均為零，僅在z軸方向上以30deg/s2的角速度繞z軸勻速轉動，這是由于在設定腳裸康復儀參數的時候，將連桿1的驅動力和驅動力矩設置為恒定的，而另外兩個連桿的驅動力以及力矩都會隨著人體腳踝的受力的變化而產生變化。

圖8所示的是機械臂的三個連桿的角加速度隨時間的變化曲線。通過觀察圖7和圖8的角速度以及角加速度曲線圖可知，連桿3的變化是最頻繁的，這是由于連桿3是離腳踝最近的連桿，而腳踝的康復需要多方位高頻率的鍛煉方可見效。

圖8 機械臂的角加速度曲線

4 結語

利用數學工具四元數對經典的D-H法進行公式推導，根據推導出來的結論對由兩個串聯RRR機械臂組成的腳踝康復機器人進行運動學仿真分析，結果表明通過四元數D-H法對腳踝康復機器人分析的運動學參數符合人體腳踝康復的基本要求，該方法將為機器人的運動學分析提供了一種科學的算法。