鐵路重載貨車輪對彈性振動及其動態影響

劉鵬飛 ，劉紅軍 ，高 昊 ，任尊松 ，張凱龍

（1.石家莊鐵道大學省部共建交通工程結構力學行為與系統安全國家重點實驗室, 河北 石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學機械工程學院, 河北 石家莊 050043；3.北京交通大學機械與電子控制工程學院, 北京 100044）

重載貨車是我國重載鐵路的重要裝備，當前30 t軸重重載技術已開始成功運用.軸重的增加帶來的輪軌磨耗、輪軌動態相互作用等問題十分突出，特別是貨運提速對重載鐵路的安全運營提出了挑戰.在車輛系統動力學研究中，通常把車輛結構及其走行部件簡化為剛性體.剛性體輪對模型具有集中質量和集中轉動慣量，且只有6個剛性自由度，它與無質量鋼軌作用，其有效頻率只能達到30 Hz左右[1]，無法反映結構彈性振動對輪軌動態作用力及車輛性能的影響，無法表達出輪對存在的彈性變形以及分布質量情況，有必要引入彈性多體動力學理論將重載車輛的輪對考慮為柔性體后進行仿真，以更加切合實際.

針對輪對彈性振動及其動力學影響，國內外學者開展了廣泛深入的研究.Peng等[2]研究了機車輪對柔性對車輪多邊形化發展的影響，指出輪對的柔性在滿足某些先決條件下，對車輪多邊形化有一定的影響；Baeza等[3]給出了3種基于歐拉方法的彈性轉動固體動力響應計算公式，適用于固體與非旋轉結構相互作用的研究.采用類似方法，柔性體旋轉效應對輪軌力的影響也由崔瀟等[4]進行了討論.Fourrie等[5-6]基于有限元彈性輪對建模技術，對鋼軌波磨產生機理、輪軌滾動噪聲問題等進行了研究.李國芳等[7-14]針對考慮柔性輪對的整車車輛動力學建模、輪軌傷損及動力學性能分析等問題，從輪對彈性振動的曲線通過性能影響[7]、運動穩定性的影響[8]、直線電機車輛動態響應的影響[9]、多邊形的產生機理及高頻振動特征[10-11]、車輪扁疤的沖擊振動現象[12-13]、輪軌接觸幾何參數與輪軌磨耗關系[14]等進行了多方面論述.

相關柔性輪對的研究以客運車輛為主，針對重載貨車輪對彈性振動問題研究還鮮有涉及.事實上，貨車也正向輕量化發展，以降低自重、增加載重，其中輪對屬于簧下質量，也是輕量化設計的對象之一，作為基本的走行部件，承擔著更大的載荷，對貨車的動力學性能影響至關重要，輪對彈性振動及其動態影響對于重載鐵路車輛裝備設計具有重要意義.鑒于此，本文基于多體系統剛柔耦合動力學分析方法，針對新型30 t軸重重載貨車，開展考慮輪對彈性振動的重載貨車動力學性能的研究，為重載鐵路貨車動力學仿真分析和動態性能評估提供理論依據和應用參考.

1 柔性輪對運動的數學描述

圖1為重載貨車輪對模型，其絕對參考系設為O0-X0Y0Z0.在描述輪對柔性旋轉運動中，引入相對參考系O1-X1Y1Z1，該坐標系與車輪的運動狀態相同，但與絕對坐標系（地面坐標系）始終保持平行，并且O1始終在輪對質心處，點P和P‘分別為輪對變形前、后某一點的位置狀態，變形后，柔性體上點P‘在O0-X0Y0Z0坐標系的位置向量為uP，X1軸為輪對前進方向，在直線軌道上，Y1軸方向始終為初始時刻車軸橫向，Z1軸方向始終垂直于軌道平面.兩參考系原點的相對位置為r1，柔性體上任意點P在絕對坐標系O0-X0Y0Z0的位置向量為r，u為未變形狀態下點P恒定半徑矢量，u‘為點P變形后彈性位移，相對坐標系O1-X1Y1Z1的位置向量為u+u‘，則r如式（1）所示.

圖1 柔性體空間描述Fig.1 Space description of flexible body

式中：A01為參考系轉動時的坐標變換矩陣，如式（2）所示，其中θ0～θ3為歐拉四元數，由相對坐標系的旋轉位置確定.

用模態振型疊加表示點P微小的彈性位移為

式中：HP∈RN×H為在模態集中提取出與點P相關的模態矩陣，N為有限元模型自由度的個數，H為所選模態階數；q(t)∈RH×1，為模態坐標，t為時間.

在具體的彈性多體系統動力學中，可以通過鉸與力元連接剛性體和彈性體，以確定物體間的相對運動關系，綜合結構的彈性位移、剛體位移、振動速度等確定受力特性，并使用虛功原理或達郎貝爾原理，建立多體系統動力學方程為

式中：M為質量矩陣；K為剛度矩陣；ξ為系統坐標向量；Qe為外力向量；Qv為離心力向量；Cξ為矩陣；λ為拉格朗日乘子向量.

通過對式（4）進行直接數值積分，可求得系統動態響應.

2 重載貨車剛柔耦合動力學模型

2.1 柔性輪對建模

基于上述原理，本文建立了輪對的柔性模型，并進行了整車剛柔耦合系統的集成.首先需要注意的是，實際重載貨車車軸及車輪型式隨軸重不同而有所變化，25、27、30 t軸重轉向架分別裝用 RE2B、RE2C、RF2型車軸，如 30 t軸重的 DZ4、DZ5型轉向架車輪的結構均采用HFS或HFZ型[15]，材料為LZ45CrV的車軸鋼[16]，車輪名義滾動圓直徑也由傳統的840 mm增大到了915 mm，有助于增大輪軌接觸面積，降低輪軌接觸應力.根據 TB 1010—2016[17]規定，確定了車輪和車軸的具體幾何形狀和結構參數，如圖2所示，車輪踏面為經典的LM型踏面，車輪采用S形輻板，這有利于增大車輪的結構彈性，車軸為變截面實心階梯軸，其中在輪座處的直徑最大，以滿足輪軸配合處高承載能力的需求.車輪與輪軸間以壓裝的形式通過過盈配合實現靜連接.

根據圖2所示輪、軸結構，建立了輪對三維幾何模型和有限元模型，如圖3所示.在有限元模型中，輪對采用Solid185三維實體單元進行離散處理，材料泊松比 0.3，彈性模量 210 GPa，密度 7800 kg/m3，模型共計約30萬個單元，32萬個節點.實際結構中，車輪和輪軸采用過盈配合，在計算輪對模態時，考慮的是輪對結構的宏觀振動問題，整個結構發生總體的彈性變形，為此可將車輪和軸視為一個固結整體，忽略輪、軸間過盈配合關系.

圖3 輪對幾何及有限元模型Fig.3 Geometric structural and finite element model of wheelset

基于輪對的有限元模型，提取其質量矩陣、剛度矩陣后，把柔性體模型與多剛體動力學系統實現集成，進而求解出輪對彈性體自由模態.本文基于UM動力學軟件開展建模工作，其步驟如圖4所示.

圖4 基于 UM 的柔性輪對集成方法Fig.4 Integrated method of flexible wheelset based on UM

對于柔性輪對輪軌接觸問題 （圖5），由于輪對和鋼軌本身具有較大的剛度，輪軌接觸力又通常集中在很小的一個區域，即使接觸點位置和相對速度發生很小的變化，都會引起接觸力發生大的變化.因此柔性輪對建模時，通過自動插值找到任意時刻輪軌接觸點所在踏面網格接觸單元，再將該輪軌力等效分解作用于單元網格節點，亦即實現了輪軌力通過網格面、節點傳遞到柔性體的動態過程.

圖5 輪軌接觸特性的插值計算Fig.5 Interpolation calculation of wheel-rail contact feature

2.2 重載貨車動力學建模

貨車中存在大量的摩擦元件，這是發揮減振作用、提供回轉阻力的關鍵，也是動力學建模的核心.其中，心盤及斜楔等摩擦元件統一考慮為摩擦-接觸力元特性，其計算方法是利用線性黏彈性模型計算接觸面的法向接觸正壓力Np（式（5）），再通過阻尼帶寬法求解摩擦面摩擦速度瞬變過程中的切向滑動摩擦力Fμ（式（6）），通過力的分段數學描述，保證了摩擦力變化的連續性.

式中：kc和dc分別為接觸剛度和接觸阻尼；δ為接觸面侵入量；μ為動摩擦因數；v0和vs分別為臨界滑動速度和相對滑動速度在接觸面上的投影.

常接觸彈性旁承裝置則根據其結構及受力特點可簡化成如圖6 （a）所示模型，C點為力作用點.將旁承磨耗板簡化為無質量剛體，彈性旁承體簡化為彈簧-阻尼模型，為了限制旁承產生過大的壓縮量，導致回轉摩擦力矩過大，在旁承上設置了一個滾子，所以在建模時將模擬彈性旁承的彈簧設置為兩級剛度，如圖6（b）所示，將旁承磨耗板與滾子之間的垂向間距設置為5 mm，彈性體垂向剛度為2.2 MN/m.

圖6 旁承建模Fig.6 Modelling of side bearing

考慮柔性輪對后，重載貨車動力學模型的拓撲結構如圖7所示，圖中，DOF為自由度（degree of freedom）.圖8為建立的整車動力學模型，除輪對外，其余部件均采用剛體建模.另外，軌道的彈性振動對于重載機車車輛的動態行為也有影響[18-19]，為考慮這一因素，本文中軌道模型采用無質量鋼軌，軌下則將軌道結構簡化為考慮扣件垂向和橫向的彈簧-阻尼系統.

圖7 柔性輪對建模及半車拓撲關系Fig.7 Modelling of flexible wheelset and topology relation of half vehicle

圖8 貨車剛柔耦合動力學模型Fig.8 Rigid-flexible coupling dynamic model of wagon

文獻[20]針對摩擦斜楔減振裝置的摩擦特性進行了試驗和建模分析，參考該文獻的試驗參數、結果，采用多體動力學建模方法建立了同等參數的轉向架模型，驗證建模方法的準確性.車輛為重車工況，中央懸掛彈簧設置垂向為固定剛度，仿真結果如圖9所示，摩擦減振器顯示出明顯的遲滯特性，搖枕載荷和垂向位移的幅值與文獻[20]結果基本吻合，說明建模方法是正確的.

圖9 摩擦減振器載荷-撓度曲線Fig.9 Load-deflection curve of frictional damper

此外，后續仿真中，對于輪軌激勵，需能夠激發輪對的中高頻彈性振動模態，為此在軌道不平順中應考慮短波成分.本文在傳統的三大干線軌道不平順基礎上疊加了0.1～1.0 m波長的短波隨機不平順，采用基于石太線實測不平順的擬合功率譜密度函數，由式（7）表示[18]，經過快速傅里葉反變換（IFFT），可將其轉換為數值求解所需的空間樣本，如圖10所示.

圖10 短波隨機不平順Fig.10 Short-wave random irregularity

式中：f為空間頻率，1/m.

3.1 柔性輪對的約束模態

相較于自由邊界，實際輪對兩端與軸箱連接，從而形成了約束效應.模態分析時，選取輪軸端部回轉中心線上的點為界面節點，此處也是一系懸掛柔性約束點，在該點處釋放繞輪軸方向的轉動自由度，并模擬裝配狀態的約束情況，從而得到了約束條件下的振動模態與固有頻率.車輛宏觀動力學行為的主要能量集中在中低頻，所以選取了300 Hz以下不同頻率的約束模態，如圖11所示.約束狀態下，輪對的彈性振動模態主要表現為：輪對的扭轉振動（98.8 Hz）、輪對的一階彎曲振動（57.3 Hz，輪軸的彈性彎曲）、二階彎曲振動（172.2 Hz，左右車輪的反向相對錯動）和三階彎曲振動（295.2 Hz，輪軸彈性彎曲與車輪反向相對扭轉）.

圖11 約束模態振型及相應的頻率Fig.11 Constrained mode shapes and frequencies

3.2 軌道隨機不平順下的振動響應

使用上述建模方法分別建立了多剛體模型和輪對為柔性體的剛柔耦合模型，以直線線路為運行考核工況，運行速度為80 km/h，不平順激擾下輪對的橫向與垂向加速度時域響應如圖12所示.從圖12可以看出：不同建模方式對輪對的橫向加速度影響不大，均在 ±2 m/s2的范圍內波動；但剛體模型得到的輪對垂向加速度要大于柔性體模型，其幅值分別對應7.5 m/s2和 6.9 m/s2，表明柔性輪對的彈性變形一定程度上緩和了輪對垂向振動.

圖12 輪對的振動加速度時間響應Fig.12 Time responses of wheelset acceleration

進一步，從頻域響應的角度進行比較，將時域動態響應進行快速傅里葉變換（FFT），從而得到輪對的橫向與垂向加速度頻譜特性，如圖13所示.就橫向振動而言，1～3 Hz范圍內柔性輪對振動幅度略高于剛性輪對，在20～100 Hz的頻率，柔性輪對的振動幅值略小于剛性輪對的振動量；對于垂向振動，頻率在1～20 Hz時，兩種建模方式下垂向加速度頻譜特性變化趨勢大體一致，在大于20 Hz時兩種模型的頻譜幅值相差較大.結合3.1節的約束模態結果可知，柔性輪對的振動能量峰值分別對應其約束模態的垂向振動的自振頻率，說明輪對的剛性建模放大了輪對處垂向加速度的值，輪對的彈性變形則能夠對中高頻振動起到一定的緩沖作用.

圖13 輪對振動加速度頻域響應Fig.13 Frequency responses of wheelset acceleration

4 蛇行運動穩定性分析

4.1 非線性臨界速度比較

非線性臨界速度是評價鐵道車輛運動穩定性的重要指標，而該值的確定又與車輛的分叉形式有關.根據以往研究[21]，鐵路貨車由于存在大量的摩擦力元，非線性特性及動態響應規律極為復雜，實際臨界速度與外界激擾、線路條件有關，軌道激擾幅值越大，穩定性就越差.鑒于此，在線路50 m處分別設置波長為 22、25、28、30 m，幅值均為 18 mm的方向不平順，以模擬不同程度激擾，如圖14所示.當車輛以不同速度通過時，觀察輪對橫移量是否收斂，以確定車輛的臨界速度.不同工況下的臨界速度統計結果如圖15所示，兩種模型的臨界速度均隨著波長的增加呈非線性增加，且剛柔耦合模型的臨界速度要低于多剛體模型，降幅在3～8 km/h左右，體現了不同程度的外界擾動對車輛振動的激發程度有所差異.

圖14 不同的外界激擾Fig.14 Different outer excitations

圖15 彈性與剛性輪對的車輛臨界速度Fig.15 Critical speeds of vehicle with flexible and rigid wheelsets

4.2 車輛實際臨界速度的比較

鐵道車輛實際臨界速度的確定方法是：在軌道上施加一段運用線路軌道譜，使整個系統的振動被激發，然后使車輛系統在平直無不平順的軌道上運行，當系統的響應不再衰減到平衡位置而是趨于穩定的極限環時，則此時的速度即為車輛臨界速度[18].為了準確地反映車輛的實際臨界速度，選取2.3節不平順的100 m作為軌道激擾，使車輛在通過激擾時處于充分振動狀態，從而分析輪對橫向運動來確定其臨界速度.通過分析圖16（a）第一位輪對橫向運動的時程響應可知：當多剛體模型的速度為150 km/h時，其波形出現振蕩后衰減，故此速度下收斂；而速度為151 km/h時，波形持續振蕩，故此速度下發散.所以多剛體模型的非線性臨界速度是150 km/h，同理通過圖16（b）可知：剛柔耦合模型的臨界速度為136 km/h.

圖16 一位輪對橫向位移時間歷程Fig.16 Time history of first wheelset later displacement

通過改變速度，觀察系統響應特征，便可直觀確定出剛柔耦合模型的非線性臨界速度為136 km/h，較多剛體模型（150 km/h），下降了約 9%.這是由于在運行過程中，輪對通過結構的柔性變形，降低了輪軌之間的約束能力，導致臨界速度下降.

5 動態曲線通過性能比較

為了研究輪對剛柔建模對其曲線通過性能的影響，設置了曲線運行工況.根據 TB 10098—2017[22]規定，重載鐵路平面最小曲線半徑不應小于800 m，繼而設置車輛通過800 m半徑曲線，曲線超高100 mm，緩和曲線長度100 m，分別以輪軌橫向力、輪軌垂向力、脫軌系數、輪重減載率4類指標評判車輛的曲線通過性能.

圖17給出了兩種模型以90 km/h速度下一位外輪的輪軌橫向力和垂向力響應.響應規律上看，兩種模型的主要差異出現在圓曲線段，特別是較大幅值的橫向力波動，相對于輪對的柔性體建模，進入曲線后輪軌力降低約10%.所以在建模時把輪對考慮成剛體時會過高估計的輪軌動力作用水平，也從側面說明，輪對的彈性變形能夠緩和輪軌間剛性沖擊，利于其曲線通過，這是剛性模型無法反映的.

圖17 一位輪對外輪輪軌作用力Fig.17 Outer wheel-rail forces of first wheelset

此外，從量化統計的角度對比研究兩種模型不同速度下的曲線通過性能.選取5種不同的速度，對兩種模型一位輪對外輪動力學指標最大值進行統計，各類曲線通過性指標統計如圖18所示.通過計算對比可知，兩種模型的橫、垂向力以及脫軌系數都隨速度的增加呈增大的趨勢，但增長幅度不同，在60～100 km/h速度范圍內，剛體模型對應的輪軌橫向力、輪軌垂向力、脫軌系數和輪重減載率分別變化了 8 kN、30 kN、0.03、0.2，相應的剛柔耦合模型的對應動力學指標分別增大了 5 kN、30 kN、0.01 和 0.3.總體而言，剛柔耦合模型的輪軌橫向力相對于多剛體模型約降低了13.7%，輪軌垂向力約降低了2.4%，脫軌系數較多剛體模型約降低10.9%，輪重減載率相差微弱，不到0.03.

圖18 剛體與柔性輪對安全性指標比較Fig.18 Safety index comparisons between rigid and flexible wheelsets

綜合以上分析，對于重載貨車，輪對的剛性與柔性建模，主要區別體現在輪對20 Hz以上的振動有差異，特別是垂向動態響應上.輪對采用剛性建模時會過高估計車輛的非線性臨界速度和通過曲線時的輪軌動態作用力.導致上述差異的本質原因在于，柔性輪對通過輪對結構的彈性變形，可以緩沖一部分中高頻振動能量，另外反映了實際結構中存在的輪軸彎曲、車輪變形等對輪軌接觸所產生的影響，降低了輪軌間的剛性約束效應，因而與基于輪對剛性假設的相應結果表現出一定差異.

6 結 論

針對30 t軸重重載貨車輪對結構，建立了輪對柔性體有限元模型，進一步將其集成于多剛體系統中，建立了考慮輪對柔性的貨車剛柔耦合動力學模型，并與剛性輪對模型進行了對比，得出以下結論：

1）輪對剛性和柔性建模主要影響20 Hz以上的中高頻振動響應，剛性建模方法會高估輪對的振動量級，特別是垂向振動，在20 Hz以下兩種建模方式對輪對振動影響微弱.

2）輪對為剛體的重載貨車動力學模型的非線性臨界速度較剛柔耦合模型高出約9%，說明柔性輪對的變形，降低了輪軌之間的約束能力，能夠導致臨界速度下降.

3）通過小半徑曲線線路時，柔性輪對在一定程度上改善了車輛的曲線通過性能，剛柔耦合模型的輪軌橫向力相對于多剛體模型約降低了13.7%，輪軌垂向力約降低了2.4%，脫軌系數降低10.9%，輪重減載率相差微弱，不到0.03.由于柔性變形，實際輪對結構能夠緩沖一定的輪軌動態相互作用，輪對的剛體建模方法無法反映這一特點.

致謝：石家莊鐵道大學省部共建交通工程結構力學行為與系統安全國家重點實驗室自主課題（ZZ2021-10）.