均布外壓下復合材料球殼脫層跳躍屈曲研究

羅 珊，王緯波

（1.中國船舶科學研究中心 船舶振動噪聲重點實驗室，江蘇 無錫 214082；2.常州工程職業技術學院 檢驗檢測認證學院，江蘇 常州 213164）

0 引 言

脫層是復合材料結構常見的損傷之一。制造缺陷或服役期間的低速沖擊等都可能使結構產生脫層，在壓縮載荷下，脫層的屈曲甚至擴展將引起結構剛度的退化，從而顯著降低結構穩定性，導致災難性后果，對脫層屈曲特性的研究是復合材料結構損傷容限設計方面的重要課題。隨著復合材料殼體結構在航空航天、船舶海洋、汽車工業等領域中的廣泛應用，其力學性能的研究越來越引起重視，與面內壓力下復合材料梁、板結構脫層失穩的機制不同，當復合材料殼體在靠近結構內表面處存在脫層時，在外壓作用下，脫層區域會突然從與整體貼合的狀態變為分離狀態，由上凸構形突變為下凹構形，即發生跳躍屈曲，這種跳躍屈曲是一種有限變形，它的研究不再屬于小撓度范疇，需要用到非線性大撓度理論。

結構大撓度屈曲的研究始于桿。歐拉首先研究了一端固定、一段自由的細桿在軸壓載荷下的大撓度屈曲問題，他在微分方程的建立時采用了桿彎曲后曲率的精確表達式，所得到的彈性曲線形狀稱之為彈性線，桿的彈性線方程是一個非線性方程，利用橢圓積分可以得到它的解。由于桿類大撓度屈曲問題的微分方程中均含有二階非線性項，線性疊加原理將不再適用，方程的求解成為了難點。1962年，Frisch-Fay[1]提出了一種求解薄懸臂梁大撓度彎曲問題的新方法，即彈性相似性原理，他以歐拉桿作為基本模型，通過彈性相似性，將一些懸臂梁彎曲問題轉化為等效的基本模型，經過三角函數的代入和坐標變換，可以得到以橢圓積分表示的問題的解。彈性相似性原理繞過了非線性方程的復雜求解過程，引起了很多學者的興趣，在這個新方法的基礎上，他們進行了一系列梁、桿大撓度彎曲問題的研究[2-5]，均得到了滿意的結果，從而證實了彈性相似性原理在求解桿類大撓度屈曲問題方面的簡便性和準確性。

實驗觀察到復合材料曲率結構內表面的脫層發生跳躍屈曲時，脫層的屈曲構形與桿的彈性線構形相似，一些學者開始將彈性線模型用于復合材料曲率結構脫層跳躍屈曲特性的研究。Chan 和Mcminn[6-7]將混凝土壓力容器內壁的鋼制薄層內襯抽象為剛性圓筒內側的彈性圓環，其在預緊力作用下發生向內的變形屈曲，分別采用正弦函數和彈性線模擬了圓環后屈曲構形，討論了三種可能的屈曲平衡狀態下結構的穩定性以及有限擾動和缺陷對圓環屈曲的影響。Kachanov[8]研究了玻璃纖維管道在外壓作用下內層脫落且發生屈曲的問題，利用斷裂力學的表面能理論，建立了內層脫落屈曲前后的能量平衡方程，采用彈性線方程描述管道內層屈曲后的構型，得到了臨界壓縮應力的表達式和最容易發生脫層的內層厚度。Kardomateas[9-10]針對復合材料梁-板結構的長、薄型貫穿脫層建立了“薄層模型（thin film model）”，利用彈性線方程分析了薄層屈曲的大變形效應，討論了邊界條件對薄層屈曲臨界載荷的影響，之后他還研究了純彎曲狀態下復合材料梁-板結構的脫層跳躍屈曲問題，以帶拐點的彈性線來描述脫層跳躍屈曲后的構型，得到了以橢圓積分表示的臨界彎矩的表達式。另外，他還對上述兩個問題進行了試驗研究，通過對含預埋脫層的復合材料樣件的壓力試驗和四點彎曲試驗，得到了與理論結果性質相似的載荷位移曲線，對壓力試驗值低于理論值的可能原因進行了討論。Yin[11]對Chen和Mcminn的方法稍作修改，采用淺拱理論、經典彈性線理論、包含橫向效應的彈性線方程分別求解了復合材料圓柱殼內表面薄層跳躍屈曲的臨界載荷，結果證明基于小變形理論的淺拱理論低估了脫層跳躍屈曲的臨界載荷值。Wang和Shenoi[12-14]等基于線性曲梁理論和曲梁大變形理論結合斷裂力學分別建立了在開式彎矩和合攏彎矩作用下復合材料曲梁的脫層屈曲模型，闡述了兩種情況下脫層屈曲機理的差異，研究了脫層對應角度對極限載荷的影響。

對復合材料結構跳躍屈曲問題的研究，除彈性線模型外，還有其他的理論和模型，一些學者對該問題也開展了試驗研究。Hunt等[15]通過四自由度瑞利法分析了受軸壓的復合材料桿跳躍屈曲的臨界彎矩和后屈曲特性，之后Kinawy 等[16-17]采用簡化的三自由度瑞利法研究了同樣的問題，并對樣件進行了四點彎曲試驗，判斷了I型和II型兩種斷裂模式在最終斷裂失效起的作用。Bennati等[18]建立了中間含貫穿脫層的復合材料梁四點彎曲試驗的一個彈性界面模型，將樣件視為由彈性界面連接的三個子層，對脫層子層采用大撓度理論進行分析，得到了脫層發生跳躍屈曲的路徑，通過與Kinawy 的試驗結果對比，驗證了該模型的合理性。Gasco 和Feraboli[19]提出一種用于脫層屈曲擴展非線性有限元分析的自動增量求解算法，在屈曲分析的N-R 法迭代過程中，以裂紋（脫層）擴展長度作為約束變量，求解脫層的前屈曲和后屈曲路徑，該法可用于復合材料結構的脫層跳躍屈曲問題，比弧長法更為穩健和有效。Riccio 和Russo[20]等對含脫層復合材料板的受壓特性進行了試驗研究和數值模擬，試驗觀察到了試件從整體屈曲到脫層跳躍屈曲的整個過程，采用虛擬裂紋閉合技術對該過程進行了有限元分析，得到了與試驗值吻合度很好的結果，證實了脫層的跳躍屈曲與脫層的突然擴展相伴發生。

本文在彈性相似性原理二維模型的基礎上對均勻外壓下復合材料球殼的脫層屈曲問題進行求解，假設復合材料球殼靠近內表面的部分區域在外壓作用下發生脫層跳躍屈曲，采用非線性大撓度理論，以彈性線模擬脫層經線的后屈曲構型，建立脫層區域的彎曲微分方程，基于斷裂力學建立屈曲前后的能量平衡方程，利用橢圓積分對方程組進行求解，得到了初始狀態含脫層和不含脫層的兩種復合材料球殼模型發生內表面脫層跳躍屈曲時的屈曲臨界載荷的表達式，對大撓度假設進行了驗證，討論了脫層大小、脫層厚度對脫層屈曲臨界載荷的影響，預測了脫層的擴展情況。

1 基于彈性相似性原理的二維模型概述

1.1 圓形薄板彎曲的基本模型

由極坐標表示的圓形薄板小撓度彎曲的基本微分方程為

式中，w為圓板橫向位移，r為圓板上任一點徑向坐標，θ為圓板上任一點周向坐標，q為圓板受到的載荷，Dp為圓板抗彎剛度。

考慮周邊簡支且受均布彎矩Mp作用的圓形薄板，由圓板理論可以解得

式中，a為圓板半徑，νp為圓板材料泊松比。

圓形薄板的任一根徑線與緯線彎曲變形后的曲率κr和κθ分別為

再考慮沿周邊受均布壓力圓形薄板的屈曲，根據板殼穩定性理論，周邊簡支且受均布壓力的圓形薄板的臨界載荷（Nr）cr可以通過貝塞爾方程得到，表示為

1.2 基于彈性相似性原理二維基本模型的建立

將同時受壓力和彎矩的簡支薄圓板作為彈性相似性原理應用的二維基本模型，考慮邊界承受均布壓力的簡支薄部分球殼，可以將其視為是在邊界均布彎矩Mp作用下發生了彎曲變形的圓形薄板，如圖1（a）所示，因此問題轉化為求解邊沿上同時受壓力和彎矩的簡支圓形薄板的彎曲，如圖1（b）所示。

圖1 邊沿受壓簡支薄部分球殼等效模型Fig.1 Equivalent model of simply-supported thin partial spherical shell under edge compression

再考慮在邊沿EGFH上同時受到壓力和彎矩的簡支薄部分球殼的屈曲問題，基于彈性相似性原理，將作用在部分球殼邊沿EGFH的壓力Nr的作用線豎直向上移動一個Mp/Nr的距離，此時在新的邊沿E'G'F'H'上，僅作用壓力Nr，而不再有彎矩Mp，作用在原球殼邊沿EGFH上的彎矩效應已經包含在作用于新部分球殼邊沿的壓力Nr內，問題化為等效的二維基本模型，即薄圓板在邊沿E'G'F'H'同時受壓力Nr和彎矩Mp的大撓度彎曲問題，如圖2所示。

圖2 邊沿同時受壓彎簡支薄部分球殼等效模型Fig.2 Equivalent model of simply-supported thin partial spherical shell under edge compression and bending moment

2 均布外壓下復合材料球殼內表面脫層跳躍屈曲研究

2.1 問題描述

假設有一復合材料層合球殼，球殼厚度為T，初始內半徑為R0，在靠近其內表面的某深度位置，存在一處平行于殼體中面的脫層，由于脫層的存在，可以將球殼分成3 部分，即不含脫層的子殼S，脫落的薄子殼D 和與子殼D 分離的基底厚子殼B，假設脫落的薄子殼D 的彈性模量為E，泊松比為ν，厚度為t，且t＜＜R0，脫層對球心的張角為2α。

考慮該復合材料球殼在均布外壓P作用下脫層屈曲的過程。

狀態I：脫層臨界屈曲狀態，該狀態下球殼在P作用下發生整體均勻收縮，內徑由R0減小為R，子殼D處于臨界屈曲狀態，還未與子殼B分離，如圖3（a）所示；

狀態II：脫層跳躍屈曲狀態，假設子殼B 與子殼S 仍保持均勻收縮，未發生屈曲，子殼D 發生了跳躍屈曲，產生了大撓度變形，與子殼B分離，如圖3（b）所示。

圖3 受壓復合材料球殼脫層屈曲示意圖Fig.3 Schematic of delamination buckling in composite spherical shell under compression

在本文的研究過程中將用到如下假設：

（1）假設脫層子殼D發生跳躍屈曲后的構形相對其中心線是軸對稱的，由于子殼D的初始狀態是一個球殼結構，其屈曲后完整的研究應該包含經向變形和緯向變形兩個部分。本文假設脫層殼體的大撓度變形主要發生在經向方向，緯向變形相對于徑向小得多，因此忽略緯向變形效應，這種近似是可以接受的；

（2）假設模型變形在彈性范圍內，遵從胡克定律。

2.2 問題的求解

將球殼沿著任意一條經線剖切，得到發生跳躍屈曲區域的局部示意圖，如圖4 所示?？梢钥闯?，子殼D在發生跳躍屈曲后，與子殼B脫離，僅在邊沿處受到子殼S的約束且與子殼B相切，屈曲后的平衡狀態依靠邊沿上的均布壓力Pd和彎矩Md來維持，此時子殼D 的受力狀態與圖2（a）一致，可以利用彈性相似性原理，將其轉化為如圖2（b）所示的等效模型進行分析。假設子殼D的經線在跳躍屈曲后，其構型為一段含拐點的彈性線，由于該問題為軸對稱問題，取對稱中心一側建立局部坐標系，如圖5所示。

圖4 脫層跳躍屈曲局部示意圖（沿經線方向剖切）Fig.4 Local schematic of delamination buckling(cutting along the meridian orientation)

圖5 子殼D經線屈曲后構形圖Fig.5 Configuration of the meridian of Subshell D after buckling

狀態I中臨界屈曲時整球均勻壓縮，則沿直徑方向的徑向應變εr和膜應變ε0分別為由于t'＜＜R0，可以認為子殼D在狀態I時的半徑等于球殼內徑R，跳躍屈曲后經線的彎曲平衡方程為

利用橢圓積分可以得到式（7）的解為

式中，F（p,φ）、K（p）代表第一類橢圓積分、完整的第一類橢圓積分；E（p,φ）、E（p）代表第二類橢圓積分、完整的第二類橢圓積分；L表示一段完整的橢圓積分曲線的弧長；v為經線AF、FB段的豎直撓度；e為點C對應的豎直距離；φC為點C對應的φ角。

由于C點對應的角θ為α，將θ=α代入式（9），可得

由式（9）和式（10a）可得

在端點C處，屈曲后經線的曲率半徑與球殼內徑相等，為R，將φC的值代入式（12），整理得

以L0表示初始狀態未受外壓時的AC長度，L*表示跳躍屈曲后的AC的長度，則有

將式（5）、（6）、（11）、（15a）、（15b）代入式（14），得

式中，未知數為參數p和臨界屈曲時的膜應變ε0。

以上屈曲控制方程的建立是基于屈曲后構形的大撓度假設，對于這樣一種構形發生的必要條件是：脫層在狀態I的應變能必須大于或等于狀態II的應變能。將靠近內表面區域的局部脫層視為殼體結構的內部裂紋，結合斷裂力學的能量理論，得到子殼D屈曲前后的能量平衡式為

式中，U0為屈曲前子殼D的應變能，UB為跳躍屈曲后，子殼D的應變能，W為發生脫層的斷裂能。

狀態I時，球殼受壓均勻收縮，處于臨界屈曲狀態，此時子殼D的應變能U0可表示為

狀態II時，子殼D的應變能主要是由屈曲后三個區域的彎曲應變能組成，即

式中，UI、UII、UIII分別代表I、II、III區的彎曲應變能。

對I、II、III三個區域的彎曲應變能分別考慮，則

式中，χi為i區域屈曲前后的曲率變化，dAi為i區域的面積微元。

對于I區域，在跳躍屈曲后，該區域的經線發生了翻轉，曲率由凸變凹，故

對于II、III區，經線曲率變化為

將橢圓積分的解以及剛度D、φA、φF、φB的值代入式（20），化簡整理得

將式（22）代入式（20），整理得

由斷裂力學理論，斷裂能W可表示為

式中，Γ為材料參數，指的是產生新裂紋所需要克服的表面能。

由式（9）得

代入式（13），整理可得

將式（11）、（18）、（23）、（24）、（26）代入式（17），整理后可記作

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式中，

在方程（27）中，未知數為參數p和臨界屈曲時的膜應變ε0，結合方程（16），2 個方程對應2 個未知數，故問題可解。

3 結果與討論

3.1 大撓度假設的驗證

考慮脫層發生跳躍屈曲后的撓度，從圖4可以看出，屈曲后經線的最大位移位于子殼D的中心，該點由A'移動到A，設該距離為δ，則

將式（10c）、（10d）、（26）代入上式，整理得

文獻[6]指出，復合材料曲率結構發生脫層屈曲時，根據脫層區域的大小，對應不同的屈曲路徑，存在一角度α*，當脫層對應張角2α＜2α*時，脫層區域發生小撓度屈曲；當脫層對應張角2α＞2α*時，脫層將發生大撓度跳躍屈曲。該α*的大小與R/t'的大小有關，α*隨R/t'的減小而增大。本文討論R/t'值為800、400、200、100 四種情況下，脫層發生跳躍屈曲時的特性，估算當α＞15°時，上述四種情況均可發生脫層的跳躍屈曲，得到R/t'值為800、400、200、100 四種情況下，最大位移與脫層大小和厚度的關系，如圖6所示。

圖6 最大位移與脫層參數關系Fig.6 Relationship between maximum displacement and delamination parameters

從圖6 可以看出，脫層屈曲后的最大位移與脫層的大小和厚度有關。當脫層厚度一定時，初始脫層越大，則屈曲后脫層的最大位移越大；當脫層大小一定時，脫層的厚度越大，屈曲后脫層的最大位移越小。當初始脫層的大小在15°～90°時，最大位移與脫層厚度的比值范圍為5～1200，符合大撓度的假設。

3.2 受壓復合材料球殼脫層跳躍屈曲的特性分析

將式（5b）代入式（27），整理可得復合材料球殼內表面薄層發生跳躍屈曲的臨界載荷Pcr為

3.2.1 初始狀態下含脫層復合材料球殼的脫層屈曲特性分析

假設復合材料球殼初始狀態下在靠近其內表面存在脫層，此時可以令式（30）中Γ值取0，可得脫層發生跳躍屈曲的臨界載荷為

圖7 臨界屈曲載荷與脫層參數關系Fig.7 Relationship between critical buckling load and delamination parameters

圖8 F(α)與脫層參數的關系Fig.8 Relationship between F(α)and delamination parameters

式中，

由于G值近似為一常數，說明對于初始狀態下含內表面薄層脫層損傷的復合材料球殼，其脫層的臨界屈曲載荷與脫層與球殼的厚度比（t'/R）近似成正比，在球殼厚度一定的情況下，脫層位置越靠近球殼內表面，薄層發生跳躍屈曲的臨界載荷就越小。

3.2.2 初始狀態下不含脫層復合材料球殼的脫層屈曲特性分析

假設復合材料球殼初始狀態無脫層存在，將F0代入式（30），可得厚度為t'的薄層脫離整體并發生跳躍屈曲的臨界載荷Pcr2為

仍取F0=30，上式整理得

從圖9 中可以看出，與上小節中初始狀態含脫層球殼的脫層臨界屈曲載荷隨著脫層厚度的增大而增大不同，初始不含脫層的層合球殼受壓產生內表面薄層脫層屈曲的臨界載荷主要依賴于脫層的厚度t'，當脫層厚度很薄時，隨著脫層厚度的增加，脫層屈曲的臨界載荷也隨之下降，直到達到某一最小值Pcr2min之后，臨界屈曲載荷將隨脫層厚度的增加而增大。

圖9與脫層厚度關系Fig.9 Relationship between and delamination thickness

設

由式（34）可得，當H值最小時，Pcr2值最小。

當且僅當

時，Pcr2有最小值Pcr2min，

此時Pcr2min對應的薄膜脫層厚度t'cr為

t'cr表示在層合球殼結構中，在靠近其內表面區域，存在最有可能發生脫層并屈曲的某一位置，其對應著脫層臨界載荷Pcr2min，如果層合球殼結構在設計時，并不能確定是否存在脫層或者脫層的具體位置，則應將Pcr2min作為結構產生脫層并發生脫層屈曲的最小臨界載荷值。

對比式（31）和式（34），Pcr2的表達式相對于Pcr1多了包含Γ的一項，表示當球殼初始狀態不含脫層時，從產生脫層到脫層發生跳躍屈曲，除了維持大撓度構型平衡狀態的能量之外，還需要能量來克服脫層與整體發生分離前的層間強度。如果界面層間強度不足，即表面能Γ值非常小時，則產生脫層和脫層屈曲的臨界載荷主要取決于含F（α）的一項，從物理含義上看，函數F（α）隨α角的變化趨勢體現了一定載荷范圍內脫層的擴展情況。上述分析中已經證明，在表示脫層大小的α角對應的（15°，60°）區間內，F（α）增長非常緩慢，因此其對應的脫層屈曲載荷值的增加也非常小，意味著一旦靠近球殼的內表面區域產生脫層，無論是初始狀態就存在的脫層還是受壓后產生的脫層，即使開始是一個較小的脫層，在外壓達到其臨界屈曲載荷值后，脫層將首先發生屈曲，且在該載荷下脫層區域很可能發生進一步擴展，從而引起內表面薄層沿著層合界面發生大范圍脫落，最終導致結構的崩潰。

4 結 論

本文所描述的是一種大撓度非線性屈曲模型，從以上的分析可以得出受壓復合材料球殼內表面薄層跳躍屈曲的一些特性：

（1）如果復合材料球殼在靠近內表面的區域，初始狀態即存在脫層，則隨著外壓的增加，球殼先是均勻收縮，當外壓達到脫層的屈曲臨界載荷時，內表面的薄層將發生屈曲。脫層屈曲的臨界載荷值與初始脫層的大小和厚度有關，初始脫層越大，脫層屈曲的臨界載荷值越大；脫層的區域越厚，脫層屈曲的臨界載荷值越大，脫層的臨界屈曲載荷值與脫層和球殼的厚度比t'/T幾乎成正比。

（2）若復合材料球殼初始狀態無脫層存在，則在受均勻外壓時，如果層間強度不足或受到其他擾動因素，其靠近內表面的薄層有可能從球殼整體脫落且發生跳躍屈曲，存在最有可能發生脫層屈曲的某一位置，其對應的脫層臨界屈曲載荷最小，該值可以作為設計層合球殼結構時的穩定性下限值。

（3）根據本文分析，無論復合材料球殼結構中是否存在初始脫層，一旦產生脫層并發生跳躍屈曲，如果沿著脫層與球殼結合界面的強度不足，在發生屈曲之后，脫層很容易發生進一步擴展，即內表面薄層沿著層合界面發生大范圍脫落，從而導致結構的崩潰。