關于數學多元表征視角下的數學實踐活動

韋慶杰

（常州市新北區新橋實驗小學，江蘇常州 213000）

隨著新課改不斷推進，對小學數學教學提出了更高的要求，傳統教學模式顯然很難滿足，所以需教師積極創新和改革。不過因為應試教育的影響，導致很多教師在教育教學中依舊采用灌輸式教學手段，并且觀念也比較落后，過分看重學生的考試成績，對其他方面比較忽視，這樣導致數學課堂顯得十分枯燥無趣，阻礙學生學習熱情的提升，教學效果自然也很不理想。而基于多元表征理論視角進行數學實踐活動的設計開展，則能很好解決傳統教學中的弊端，促進學生認知結構不斷完善，幫助學生形成良好的數學素養，為其今后的學習與發展奠定扎實的基礎。

一、數學表征概述

表征是認知心理學中的重要概念之一，不過當前有關表征的界定卻多種多樣。其中比較典型的一種描述為：“能夠反復指代某一事物符號的形式，將一種事物、知識重新進行體現，是將一個表征世界與被表征世界的某種元素或者是特性構建起來的對應關系。”而對數學表征而言，則是說問題解決者在處理某一問題的時候，與另一個比較容易理解的問題搭建起來的映射過程[1]。具體體現為在特定的情境中，可以說明和辨別的以特定表征形式出現的知識，而且還能結合實際要求去應用或者是轉換成其他形式的表征，最終實現問題的解決。從類型角度上來說，數學表征具體可以分為形象與抽象表征、內外部表征等。

除此之外，還有一些研究者將數學學科內比較常見的一種表征形式分為文字表征、符號表征以及操作性表征等。就其中的符號表征而言，具體就是指借助一些數學符號形式進行問題的解決；文字表征則是說將問題合理轉變成為文字形式，然后在此基礎上進行問題的處理；操作性表征是指將問題轉變成為實際操作，然后解決。在具體應用中，需要教師結合實際情況合理選擇，這樣才能將其作用更加充分地發揮出來，促進學生更加有效地學習，達成理想的教學目標。

二、數學多元表征視角下的數學實踐活動組織設計必要性

就當前情況來看，歐美一些國家早已經重視數學表征，就美國而言，2000年公布的《學校數學課程與評價標準》便提到了表征，同時還強調在教育教學中，應該實現表征多元化。新加坡在2007年的基礎教育課程改革中也提出了表征概念，同時強調在問題解決中，應該應用多種表征合理解釋[2]。鑒于此，根據我國實際，筆者覺得多元表征教學的必要性具體表現在以下幾方面：

（一）認知負荷理論的必然結果

認知負荷理論最早是由澳大利亞心理學家所提出，具體就是指人在信息加工中需要耗費心理資源總量。唐劍嵐在研究中覺得，可以將認知負荷分為三部分，分別是有效認知負荷、內在認知負荷以及外在認知負荷。就其中的有效認知負荷而言，主要是說工作極易對認知任務實施的實質性認知操作而承受的符合，這里所講的實質性認知操作主要是指形成圖式建構和圖式自動化相關的活動。從認知負荷理論角度上來說，需要教師在教學實踐中盡可能提升有效負荷，降低其他兩者負荷[3]。對數學學科而言，有著一定的抽象性與復雜性，所以學生學習理解起來存在一定的難度，如果教師一味進行言語表征，會增加學生學習中的無效負荷。而合理創設多元表征，則能將復雜抽象化的概念合理進行分解，進而有效降低學生的學習難度。同時，這樣還能幫助學生構建新舊知識間的聯系，降低外在負荷，提升有效負荷，促進學生學習效率更上一個臺階。

（二）數學智慧課堂的必然選擇

在數學課堂上，學生所學的并不是簡單的知識，更為重要的還是在知識探尋中萌發的智慧。這里所講的數學智慧并不是說讓學生簡單做幾道數學習題，而是屬于緘默知識的范疇，以數學思想方法的領悟、思維生成等當內隱的一種表達形式。要想使學生形成良好的數學思維，最為首要的任務便是構建數學智慧課堂。數學智慧課堂存在和諧性、多向性以及探索性等特征。對數學信息的多元化表征具體就是對數學信息多方面的解釋過程，把知識當作核心，使各種表征方式統一和諧。除此之外，多元表征具體是以數學探索當教學形式的，主要目標就是生成數學智慧[4]。需要認清的一點，數學多元表征是以多種形式將知識表征出來，看起來會復雜化課堂教學設計，其實不然。多元表征能夠促進數學智慧的生成，使得學生在數學思想感悟方面變得更加簡約，有效加深學生對知識的理解，推動教學質量有效地提高。

（三）為問題的解決提供良好平臺

正確的問題表征是數學問題解決的重要前提，不論是解決基于文字信息還是生活中的數學問題，在具體處理中都得先提取自身認知結構中的相關信息，然后進行問題的表征。不同的表征方式在問題解決中，一般能夠達成不一樣的效果。數學問題有著抽象性和復雜性，因此在實際解決中，如果只采用一種方式表征問題，往往只能解釋問題的一個方面，不能透徹體現出問題本質。而引入多元化表征方式則能很好解決這一問題，從多方面解釋問題，學生更加全面地掌握數學知識，達成理想的教學目標。

三、小學數學課堂教學中亟需改善的問題

（一）教學觀念有待更新

雖然在我國新課程標準中針對小學數學課堂教學提出了相應的教學理論指導思想和方法，但不論任何一種先進的教學思想和方法要想在教學實踐中得到廣泛應用和認可，都必須要經過較長一段周期，因而，目前多數小學數學教師依舊是以傳統教學理念為指導思想，所采取的教學方式也主要以灌輸式、說教式為主，很少會引導學生對數學知識和問題進行主動思考和探究，進而影響到學生數學思維能力的發展。并且長期受到這一教學指導思想的影響，學生在數學學習過程中也會對教師產生較大的依賴性，遇到問題很少會主動思考，而是選擇放在那里等教師講解，或是向教師尋求幫助，這對學生數學學習能力的提升是非常不利的。

（二）教學方式使用不當

在新課改背景下，越來越多的先進教學手段和方法被引入小學數學課堂中，在一定程度上豐富了數學教學的形式。但由于部分小學數學教師對于這些先進數學教學方法的認知不夠全面，導致他們在使用這些教學方法時存在一定的盲目性和隨意性。以數學多元表征教學為例，部分教師在使用時，未能充分考慮小學生的認知特征和發展需求，所采取的表征方式不合理，導致學生不能利用已有的知識經驗，將數學問題表征成自己所熟悉的內容，進而影響數學多元表征教學的效果，限制學生數學學習能力的提升。

四、數學多元表征視角下的數學實踐活動開展措施

（一）深入挖掘有價值的資源

數學這門課程屬于思維性學科，所以需要學生應用自己的思維能力進行新知識的建構，并在建構中實現數學思維的發展。就教育心理學角度上來說，在新知識學習時，學生首先就得進行知識內容的表征，如果新知與原有認知結構沒有過多的矛盾，學生便能直接應用同化的方式將其納入自身認知結構中[5]。如果兩者存在一定的差異性，學生在新知表征中往往會存在一定的難度，需要進行原有認知結構的重組與改造。而在這類新知學習中，合理引入多元化的表征方式，將能很好降低學生的學習難度，減輕他們的學習負擔。在此過程中，需要教師對知識本質展開深層次的分析，并且應用開放性思維進行多元化表征方式的開放。

以“千米和噸”這節知識教學為例，這兩個概念其實并不是很難，不過學生在選擇單位填空的時候時常會出現錯誤，這就代表著學生對該部分知識理解不夠透徹。在教學實踐中，學生時常會以學校跑道的圈數與百米賽跑圈數、1千米的關系構建相應的等式。不過因為千米離學生的生活經驗有著一定的距離，所以學習學習理解起來存在一定難度。在多元表征理論視角下，教師可以在教學前讓學生走一千米的路程，并要求他們走完之后記錄時間和感受，如腿酸、很累等，這樣便能實現概念的體驗化表征，有效加深學生的理解，進而在下次遇見類似問題的時候，能夠有效解決。

（二）借助多元表征強化學生數感

數感是小學生必須具備的一項數學能力，良好的數感能夠幫助學生更好地理解生活中數的意義，把握具體情境中的一些數量關系。不過需要注意的一點，數感是對數的一種感悟，不像知識技能學習那般可以立竿見影，而是學生在不斷學習中進行經驗的積累，然后逐漸得到提高。針對此，教師在日常教學中應該清楚認識到這一點，采用合適的方式進行引導。

例如在《找規律》這節知識教學中，本質上就是培養學生的數感。針對此，教師在教育教學中可以合理引入多元表征，這樣能夠強化學生對數感的感悟，加深他們對本課程知識的理解。在課程開始的時候，教師可以創設這樣的情境：小兔子在家中玩拼圖游戲，第一次拼的是三行一列，第二次是三行兩列……，第十次是三行十列。之后提出問題：“小兔子幾次拼的圖形一樣嗎？有什么不同和變化？”這時很多學生都能回答出正確答案，本環節主要目的就是借助語言表征、圖形表征使學生初步認識到數列的規律。之后，教師可以讓學生應用不同的表征形式將自己理解的內容呈現出來，可以采用算一算、圈一圈等方式。學生應用不同的表征形式找到規律的時候，教師可以組織學生進行規律的朗讀，以便進一步加深學生的記憶，促進學生數感的有效形成，提升教學質量。

（三）通過多元表征幫助學生理解數學概念

數學概念有著復雜性與抽象性等特點，蘊含著非常豐富的內涵，是學生數學學習的重要基礎?？梢哉f，所有數學規則的研究與應用，都依賴于數學概念。針對此，數學教師需要加強對其的重視，合理開展數學概念教學。不過就實際情況來看，部分教師因為傳統教學觀念的影響，在教育教學中依舊采用灌輸式教學手段，具體就是自己簡單講解，然后讓學生機械背誦，這樣導致學生知其然而不知其所以然，而且時間久了還很容易遺忘，不利于教學目標的達成。而通過多元表征方式則可以很好解決這一問題，加深學生對數學概念的理解。

例如在《除法》這節知識中的“有余數除法”教學中，教師幫助學生構建概念的多元表征，同時結合具體需要引導學生靈活地轉換。首先，教師可以通過符號、動作等表征方式的轉換幫助學生理解有余數除法和余數的概念含義。其次，在課堂上，以學生熟悉的小棒擺圖形情境引入新課，具體就是讓學生利用自己手中的小棒擺出相應的圖形，然后看看剩余多少。最后，學生對擺圖形的結果合理分類，分別是有剩余和沒有剩余。學生借助操作表征和言語表征之后，教師便可以進入算式表征，這樣便能將本課程的本質呈現出來，有效加深學生對知識的理解與掌握，提升教學質量。

（四）借助多元表征幫助學生理解算理

在應試教育背景下，數學教師在教學中往往比較看重立竿見影的教學訓練，進而在課堂教學中一味采用灌輸式教學手段，讓學生大量做題，這樣導致數學學習比較枯燥無趣，影響學生學習興趣的提升。以計算教學為例，教師一般都是設計大量的練習，旨在幫助學生更好地掌握算法。這樣雖然能夠短時間看到效果，不過對學生長期發展有著很大的不良影響，阻礙學生真正地理解算理。

在兩位數加一位數進位法這一知識點教學中，為了達成理想的教學目標，教師不僅可以為學生提供小棒，還有方格紙。看起來簡單的兩種學具，其實能夠發揮大作用，促進數學學習方法的逐漸滲透。之后，教師可以為學生呈現一些比較典型的例題，然后讓學生通過多種計算方法進行解答，比比哪個學生提出的方法最多。在好勝心驅使下，能夠使學生的思維一直保持活躍的狀態。而且，這樣體現的很多計算方法是學生通過具體操作獲得，而不是教師硬塞的，所以學生的理解將會更加深刻，為學生今后的數學學習做好鋪墊，有效強化學生獨立探究與遷移的能力。

五、結束語

綜上所述，基于多元表征進行數學實踐活動的組織設計十分必要，有助于增強學生對數學知識的理解，促進學生核心素養的形成?？梢赃@樣說，數學理解離不開多元表征教學，而這就需要教師積極轉變傳統教學觀念，加強對多元表征的分析，認清其特點和優勢，然后結合教學目標與要求合理進行教學活動的設計，這樣便能將多元表征的作用更好地發揮出來，使得學生可以形成良好的認知結構，為其今后的數學學習與發展奠定扎實的基礎。