幾何直觀——讓數學思考“看得見”

■文/方 婷

數學家克萊因指出：“數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數學的直觀就是對概念、證明的直接把握。”在小學數學教學中，教師應借助幾何直觀，為學生創造自主思考、體驗和感受數學發現的過程，培養學生理解數概念的能力。幾何直觀是指利用圖形描述和分析數學問題，主要有兩層含義：一是對直觀圖形賦予代數意義，即用數代形；二是對抽象的數學問題賦予直觀圖形的意義，即以形助數。本文探討了教師如何借助幾何直觀培養學生理解數概念的能力，以期增強學生理解算理的能力和解決問題的能力。

一、借助直觀圖，培養數感

數感是學生理解數、理解抽象和具象之間關系的能力。《義務教育數學課程標準（2022版）》指出，建立數感有助于理解數的意義和數量關系。數的認識和計算在小學數學教學中占了很大的比重，雖然不少學生在幼兒階段已經學會數數，會進行簡單的計算，但大多數學生并未形成良好的數感。小學階段的數學知識，如整數、分數、小數和負數等的認識需要運用大量的直觀圖形作為支撐，如數軸、點子圖、長方形等數學圖形，這些直觀的“形”在幫助學生認識數、比較數的大小等方面發揮了巨大的作用。

例如，在教學“小數的初步認識”時，教師從生活中的1角出發，讓學生思考1角可以怎樣表示。有的學生認為可以用10分表示，還有的學生認為可以用0.1元表示。接著，教師提問：“如果下面圖形（見圖1）都表示1元，你會選擇在哪個圖來表示0.1元？”大部分學生選擇了第三個圖形，并涂滿了一個格子，以表示0.1元。教師追問：“為什么大家都選擇第3幅圖呢？”讓學生明白了將格子平均分成10份，每一份就是0.1元。教師借助圖形直觀揭示一位小數的本質屬性，讓學生對一位小數與十分之幾分數的內在聯系有了充分的理解，幫助學生構建了對小數的認知，為后續的數學學習打好了基礎。

圖1

二、借助直觀圖，理解算理

算理是計算的原理和依據，解決的是“為什么這樣算”的問題；算法是計算的程序和方法，解決的是“怎樣算”的問題。教師進行計算教學的重點是讓學生理解算理，掌握算法，使運算學習從技能習得向思維發展轉變。

（一）直觀感知，算理相融

康德認為：“人類的一切知識都是從直觀開始，從那里進到概念，而以理念結束。”理解算理、掌握算法是運算教學的目標之一，算理是內隱的、抽象的。小學生的思維以形象思維為主，他們難以理解抽象的算理。對此，教師可借助點子圖、長方形圖等直觀圖形，幫助學生理解算理、掌握算法。

例如，在蘇教版六年級上冊“分數乘分數”這節課中，教師可借助折紙涂色活動讓學生掌握的計算方法。具體來說，活動可以分三個步驟展開。首先，教師要讓學生明確分數乘分數的意義，既要考慮分數乘法的意義，也要考慮分數的意義。根據分數乘法的意義，教師要讓學生明確表示是多少；根據分數的意義，教師要讓學生明白表示把正方形紙平均分成2份，取其中的1份；表示把紙平均分成4份，取其中的1份。其次，觀察感知，直觀表示。在明晰意義的基礎上，教師可讓學生先將正方形紙對折，取其中的一半涂色，然后將涂色的一半對折再對折，平均分成四份，取出其中的一份涂色。最后，借助直觀，解釋算理。教師可讓學生根據折紙過程（見圖2），說一說算理。學生通過交流能夠明白：把半張紙平均分成4份，取其中的1份，相當于把一張紙平均分成了8份，取其中的1份，所以用2×4的積作為分母，1×1的積作為分子。

圖2

（二）溝通聯系，感悟算理

在計算教學中，由于思考方式不同，同一算式往往會出現不同的計算方法。教師應重視創造機會，讓學生觀察不同算法之間的相同之處，幫助學生在對比聯系中理解算理。

例如，在北師大版三下“兩位數乘兩位數的筆算”中，教材設計了三個層次，第一層次是嘗試用豎式計算14×12；第二層次是結合點子圖解釋豎式每一步的含義；第三層次是計算三道兩位數乘兩位數的題目，總結豎式乘法的計算方法。其中，第二層次最為重要，要求學生能夠分別指出豎式的兩個計算步驟所對應的點子圖（見圖3），直觀理解豎式筆算的算理。如果把兩種算法進行聯系，讓學生觀察其相同之處，學生就會發現，這些方法看著不一樣，其實本質上都是一樣的，每一種方法都需要把這兩個兩位數中的每一位上的數進行相乘，然后把乘得的結果相加。這種發現可以幫助學生掌握兩位數乘兩位數不同算法之間的相通之處，促進學生對方法的深度思考，從而使學生對算理的理解更加深入。

圖3

三、借助直觀圖，解決問題

解決數學實際問題的關鍵在于正確分析數量之間的關系，如果學生找不到數量關系，就難以解決實際問題。在實際教學過程中，部分學生在解決實際問題時無從下手，不能根據文字表達和分析數量關系。對此，教師應在教學過程中，培養學生畫圖、用圖的能力。

（一）學會畫圖，清晰表達

在解決數學問題時，部分學生無從下手，這可能是因為學生讀題時沒有理解題意，不能快速地找到數量關系。由此可見，培養學生的閱讀能力非常重要。教師應指導學生學會畫直觀圖，將文字語言轉化為圖形語言，將抽象的文字變為半抽象的圖形，讓學生更容易理解題意。

比如，在教學六上“解決問題的策略”時，習題題目為：“張寧和王曉星一共有畫片108張。張寧給王曉星18張后，兩人畫片的張數同樣多。兩人原來各有多少張？”學生讀完這道題，面露難色，不知該如何思考。教師提問：“你能嘗試著畫線段圖來表示這道題目的意思嗎？”學生運用已有經驗畫出了線段圖，如圖4所示。

圖4

展示學生的圖畫后，教師追問：“對于三個同學畫的線段圖，你有什么想說的嗎？”并鼓勵學生討論交流，讓學生在交流討論中明確第一幅圖已知條件和問題沒有標，第二幅圖兩人畫片的數量關系混淆。在討論交流結束后，教師讓學生結合完善后的線段圖表達題目的意思。在這個教學過程中，教師圍繞學生畫圖的“半成品”資源，引領學生交流、分析，將“半成品”加工成完整的線段圖，再讓學生通過語言將線段圖轉換成文字表達，使抽象的問題“可視化”，化難為易、化隱為顯，從而幫助學生理解題意、分析數量關系。

（二）借助圖形，學會分析

《義務教育數學課程標準（2022版）》強調培養學生發現、提出、分析和解決問題的能力。在教學中，教師要善于培養學生畫直觀圖表達問題的能力，增強學生根據直觀圖分析數量關系的能力，以幫助學生找到解決問題的關鍵。

比如，在前面的數學習題中，如果學生已經完善好線段圖（見圖5），教師就可以讓學生借助線段圖分析數量關系，尋求解決辦法。

圖5

在這一教學中，學生借助線段圖，能夠直觀看出“張寧畫片的張數比王曉星多36張”這一隱含條件，從而想到三種不同的解題方法。由此可見，學生借助直觀圖，可以明確解題思路，找到題目中的隱含條件，這有助于提高學生分析問題、解決問題的效率，促進學生分析和解決問題能力的提高。

四、學會反思，感悟價值

《義務教育數學課程標準（2022版）》提出：“幾何直觀有助于把握問題的本質，明晰思維的路徑。”基于此，教師不僅要讓學生學會運用幾何直觀分析問題、解決問題，還要讓學生深刻認識幾何直觀運用的重要作用。在教學中，教師可通過對比、溝通，讓學生加深認識，養成運用直觀圖的習慣。

在教學環節中，教師可讓學生對比文字和線段圖進行交流。例如，在某次教學結束后，教師詢問學生：“請大家回顧剛才的解題過程，你有哪些體會和收獲呢？”有的學生回答：“剛開始我不會解決，但是通過畫線段圖，能夠很輕松地解決。”有的學生回答：“線段圖可以幫助我們找到解決問題的方法。”有的學生回答：“我們今后在遇到不會解決的問題的時候，可以嘗試畫線段圖，尋求解決思路。”……從學生的答案中可以感受到，畫圖、用圖的方法已經在他們的心中扎下了根，他們能夠在之后的數學學習中運用圖形解決問題。

總之，幾何直觀具有雙重性，它既是一種思維形式，也是一種解決問題的重要方式。教師借助幾何直觀，可以使抽象的問題形象化、具體化，化繁為簡、化難為易，幫助學生更好地理解和記憶數學概念；可以將計算中的思維路徑以圖形的手段表現出來，幫助學生理解算理，促進算理與算法的融合；可以把復雜的數學問題變得簡單，有助于學生探索解決問題的思路，推算問題的結果。