垂直回收火箭可伸縮著陸腿展開的動力學仿真分析

胡鵬翔，王 檑，徐珊姝，張宏劍，張津澤

(北京宇航系統工程研究所，北京 100076)

0 引言

著陸緩沖機構是垂直起降運載火箭研制的關鍵技術之一[1-3]。藍色起源公司的New Shepard火箭和太空探索公司的Falcon 9火箭目前均已通過著陸緩沖機構實現了箭體子級的垂直軟著陸及回收模塊的再次發射，開啟了重復使用運載火箭研制的新紀元。New Shepard火箭采用的是平行四邊形式可折疊著陸腿，而Falcon火箭研制的是倒三腳架式可伸縮著陸腿，詳見圖1。比較而言，后者的著陸穩定性優于前者，尤其是在一條腿以一定的側向速度單獨先觸地的情況下。Falcon火箭在陸上及海上的多次成功垂直回收，也展示了倒三角架式可伸縮著陸腿的強大適應性。

圖1 Falcon火箭著陸腿

用于運載火箭垂直回收的可伸縮著陸腿機構的工作原理見圖2。通常在回收子級的尾段安裝4組相同的被動展開式著陸腿。在展開指令發出前，鎖定裝置將收攏狀態的著陸腿牢牢固定于預定位置；解鎖指令發出后，各組著陸腿主要在軸向過載作用下展開，可伸縮主腿的各腿節向外滑動，視加速度產生的勢能轉換為著陸腿展開的動能。直至展開完全到位時刻，主腿各腿節被鎖定，各組著陸腿機構變為倒三腳架結構，為后續著陸做好準備。展開到位鎖定時刻，著陸腿相對箭體的運動速度將因沖擊而驟降為零，必將產生展開沖擊載荷作用于支腿和箭體連接部位。

圖2 垂直回收火箭可伸縮著陸腿的工作原理

垂直回收火箭著陸腿設計主要面臨展開和著陸兩個動態工況。目前，國內外已發表的學術文獻中涉及火箭著陸腿展開及著陸動力學的研究十分少見[4-5]。火箭著陸腿著陸過程涉及的動力學問題與月球探測器著陸沒有本質區別，主要焦點在于設計吸能材料/裝置來耗散沖擊能量以實現軟著陸。針對月球探測器著陸沖擊的文獻比較多[6-13]。

垂直回收火箭可伸縮著陸腿展開過程的關注焦點有兩個：1)支腿能否正常展開？主要解答垂直回收箭體在什么條件(過載、垂向速度、高度等)下發出解鎖展開指令，以確保支腿展開的可靠性；2)能否承受展開沖擊載荷？主要關注展開到位鎖定時刻支腿及箭體結構能否承受相應的沖擊載荷。火箭著陸腿展開與月球探測器支腿展開存在本質區別，后者的支腿僅展開一個很小的角度，收攏只是為了在起飛發射階段保持與火箭整流罩之間的安全間隙[14]。而且，月球探測器支腿展開是在在軌階段完成的，處于失重狀態(視加速度為零)。

我國在火箭垂直回收方面起步較晚，尚未付諸飛行任務開展工程實施。為了給工程研制提供參考，本文基于多體動力學方法建立垂直回收火箭可伸縮著陸腿的虛擬樣機模型，并對展開動態過程開展動力學仿真分析。定性上分析，著陸腿展開過程與支腿的結構柔性(尤其是細長輔腿)、腿節相對滑移摩擦力、氣動罩氣動力及過載等因素有關。支腿能否展開到位可用展開到位所用時長來表征，而展開沖擊可用展開到位時刻支腿角速度來衡量。通過研究支腿柔性、腿節滑動摩擦力、氣動罩氣動力、過載等對展開時長和展開到位角速度的影響規律，可為垂直回收火箭可伸縮著陸腿展開方案的設計提供參考。

1 可伸縮著陸腿機構的多體動力學建模

單組著陸腿相對箭體展開的多體動力學模型如圖3所示，包含箭體、1條多節主腿、2條輔腿、1個氣動罩以及1個觸墊。展開過程中，氣動罩隨輔腿同步運動，同時產生作用于輔腿上的分布式氣動力；輔腿相對比較細長，因此可根據有限梁段方法[15-16]將輔腿建模為柔性體。主腿各腿節主要承受軸向力，且主腿直徑明顯大于輔腿，各腿節長度相對較短，因此可將主腿各腿節建模為剛體。觸墊和箭體展開過程中主要體現質量效應，均建模為剛體。

圖3 單組著陸腿展開的多體模型

記每個剛體質心在全局系oXYZ下的位置向量為ri，其本體系相對全局系的Euler四元數為λi，則該剛體的廣義坐標向量qi可表示為

(1)

(2)

根據第一類拉氏方程，可伸縮著陸腿展開的多體動力學方程可寫為

(3)

式中,T為著陸腿系統總動能，q為系統廣義坐標向量，Q為廣義力(含過載慣性力、氣動罩氣動力、腿節滑移摩擦力、腿節鎖定碰撞力及有限段梁力等)，C為系統約束方程(含平動滑移副、鉸鏈轉動副，約束方程總數為nc)，Λ為對應的拉氏乘子向量。具體地

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(4)

每個剛體的動能可寫為

(5)

式中，剛體i的質量矩陣Mi可寫為

(6)

式中，mi為剛體質量,I3為3×3的單位矩陣,Ji為剛體在其本體坐標系下的慣量矩陣,系數矩陣Gi表達式為

(7)

著陸腿機構的多體動力學方程(3)最終可寫為

(8)

式中，j=1,2,…,nc為系統約束方程編號。

支腿氣動罩在展開過程中所受氣動阻力Fd垂直于氣動罩表面，氣動阻力Fd的計算公式如下

(9)

式中，Cd為氣動阻力系數，S為氣動罩迎風面積(投影面積)，ρ為大氣密度，Vf為垂直于氣動罩方向的來流線速度。若箭體無下落速度，Vf為旋轉展開引起的線速度；若箭體有下落速度，Vf為旋轉展開引起的線速度與下落速度在垂直氣動罩方向上的分量之和。

支腿氣動罩所受氣動阻力系數的CFD計算結果見表1。由于氣動罩不同位置處線速度不一致，可將氣動罩分成若干個區域分別計算氣動阻力，如圖4所示。

表1 支腿氣動罩氣動力系數

圖4 著陸腿氣動罩氣動力的分區

著陸腿各體所受的過載慣性力始終沿oY軸負方向，大小等于重力與過載系數nx之積。有限段梁力包含6個分量，由彈性力和阻尼力兩部分組成。其中，彈性力項根據鐵摩辛柯短粗梁模型確定，阻尼力根據瑞利阻尼給出。腿節滑移摩擦力為動摩擦系數與腿節間正壓力之積。各腿節展開到位時刻因鎖定而發生碰撞，碰撞力可按赫茲接觸模型給定[17]。

2 著陸腿展開的仿真分析

式(8)所示多體系統的動力學控制方程為“微分--代數”方程組(Differential Algebraic Equations，DAE)，采用向后差分格式(Backward Differential Formulation，BDF)可將其離散為非線性代數方程組，再利用牛頓--拉普森迭代法(Newton-Raphson Iteration Method)可實現隱式積分求解。

2.1 結構柔性對展開的影響

針對著陸腿展開標準工況，分別建立含柔性輔腿和剛性輔腿的著陸腿多體系統模型，并開展動力學仿真對比，可研究結構柔性對展開的影響。

著陸腿展開的典型動態過程如圖5所示。在過載引起的垂向慣性力作用下，主腿各腿節被逐漸拉出，著陸腿整體呈加速展開趨勢。

圖5 可伸縮著陸腿展開動態過程

結構柔性對主腿展開角度和角速度的影響見圖6～9。柔性模型展開過程中，輔腿中部的變形撓度見圖10。結構柔性對展開特性的影響詳見表2。分析可知，結構柔性對展開到位角速度的影響可以忽略，對展開時長的影響較小(約為1.36%)；展開過程中輔腿中部撓度最大僅為5.54 mm，撓度峰值時刻發生在中間兩次腿節鎖定之時，分別為2.98 s和3.547 s，詳見圖10。

圖6 結構柔性對主腿展開角度的影響(全局)

圖7 結構柔性對主腿展開角度的影響(局部)

圖8 結構柔性對主腿展開角速度的影響(全局)

圖9 結構柔性對主腿展開角速度的影響(局部)

圖10 展開過程中輔腿中部的橫向變形量

表2 結構柔性對展開過程的影響

2.2 腿節滑移摩擦力對展開的影響

從著陸腿展開特征來看，垂向慣性力產生的勢能在展開過程中逐漸轉化為著陸腿的動能，使得展開角速度逐步增大，直至展開到位時刻。通過調節主腿腿節間滑移摩擦力可對展開時長和展開到位角速度進行綜合設計，使得在展開到位沖擊可承受的情況下盡可能縮短展開時間。

針對著陸腿展開標準工況，對腿節間摩擦力額定設計值Ffr，偏差上限值1.25Ffr，以及偏差下限值0.8Ffr3種狀態開展展開仿真，得到主腿展開角度及角速度的對比見圖11和圖12。

圖11 腿節摩擦力對主腿展開角度的影響

圖12 腿節摩擦力對主腿展開角速度的影響

對比可知，腿節間摩擦力大小對展開時長和展開到位角速度的影響規律相反。摩擦力越大，展開時長越大，而展開到位角速度越小，反之亦然。相比于腿節間摩擦力額定設計值，-20%～+25%范圍的摩擦力偏差對展開時長的影響為-3.94%～+6.02%，而其對展開到位角速度的影響為-5.83%～+4.12%，詳見表3。仿真結果表明，合理調節腿節間摩擦力是著陸腿展開工況設計的一個有效手段。

表3 腿節摩擦力對展開過程的影響

2.3 氣動罩氣動力對展開的影響

氣動罩氣動力對展開時長和展開到位角速度的影響規律相反，詳見圖13～16。氣動阻力越大，展開時長越大，而展開到位角速度越小，反之亦然。相比著陸腿展開標準工況(垂向靜止)，箭體下降速度為30 m/s時，展開時長將增大4.84%，展開到位角速度將減小14.96%。

圖13 氣動罩氣動力對主腿展開角度的影響(全局)

圖14 氣動罩氣動力對主腿展開角度的影響(局部)

圖15 氣動罩氣動力對主腿角速度的影響(全局)

圖16 氣動罩氣動力對主腿角速度的影響(局部)

2.4 過載對展開的影響

最后，可通過多體仿真研究過載對展開過程的影響。在返回彈道的不同時刻發出著陸腿展開指令，顯然對展開可靠性而言具有較大影響。失重狀態下，著陸腿將無法展開。針對著陸腿展開標準工況，另將過載系數nx分別設置為1.1，0.8和0.6這3個值，通過展開仿真結果對比，可分析過載對展開角度和角速度的影響，詳見圖17和圖18。

圖17 軸向過載nx對主腿展開角度的影響

圖18 軸向過載nx對主腿展開角速度的影響

不同軸向過載下的仿真結果表明：軸向過載系數nx越小，則展開時長越大，展開到位最大角速度越小。相比展開標準工況，過載系數nx為0.6時，展開時長增大70.26%，展開到位最大角速度則減小52.20%。仿真結果表明，通過選取返回彈道適當時刻發出解鎖指令，可大幅降低展開到位角速度，從而有效控制展開沖擊載荷，同時可確保著陸腿展開時長在可接受范圍之內。

3 結論

本文針對倒三腳架式可伸縮著陸腿火箭垂直回收方案，采用多體動力學方法對類似Falcon火箭的可伸縮著陸腿展開過程開展了動力學仿真分析，通過研究比對支腿結構柔性、腿節滑移摩擦力、氣動罩氣動力及過載對展開時長和展開到位角速度的影響，得到如下主要結論：

1)著陸腿展開過程中，作為系統中剛度最小構件的副腿(長度約8 m)的最大撓度僅為5.54 mm，結構柔性對展開時長和展開到位角速度的影響分別為1.36%和0.01%，表明結構柔性對展開過程的影響可以忽略。

2)腿節間滑移摩擦力阻礙展開的效果比較明顯。對比滑移摩擦力額定值Ffr，0.8Ffr～1.25Ffr的摩擦力偏差范圍對展開時長的影響為-3.94%～+6.02%，對展開到位角速度的影響為-5.83%～+4.12%，表明通過調節腿節滑移摩擦力可實現對展開工況的優化設計。

3)氣動罩氣動力也具有阻礙展開的作用，其影響大小取決于展開時刻箭體的垂向下降速度。支腿展開時長通常小于10 s，在展開過程中可以認為大氣密度保持不變。本文的多體仿真算例表明，相比于箭體垂向靜止的情況，當支腿在箭體下降速度為30 m/s時展開，展開時長將增大4.84%，展開到位角速度將減小14.96%。

4)作為被動式著陸腿展開的能量源，箭體軸向過載對展開過程的影響最大。相比于過載系數nx為1.0的情況，nx為0.6時，展開時長將增大70.26%(達6.613 s)，而展開到位角速度可降低52.20%。仿真表明，選取著陸腿展開的適當過載，可大幅降低展開到位角速度及展開沖擊載荷，同時可將著陸腿展開時長控制在可接受范圍之內。