基于小波包分解重構算法的北斗抗多路徑誤差

徐精誠， 連增增， 董佳琪， 岳哲

(河南理工大學測繪與國土信息工程學院， 焦作 454000)

全球衛星導航系統(global navigation satellite system，GNSS)在進行短基線相對定位時，主要面臨如下三大誤差源的干擾：與衛星端有關的誤差，如衛星星歷誤差、衛星鐘差；與傳輸路徑有關的誤差，如電離層及對流層延遲誤差；與接收機有關的誤差，如接收機鐘差等。上述誤差基本可以通過差分技術和模型改正進行削弱和消除[1]，但受測站周圍環境影響因素較大的多路徑誤差無法通過此類方法消除，成為制約GNSS定位精度的主要因素之一[2]。因此，削弱多路徑誤差在衛星相對定位中的影響，對于提高GNSS定位精度具有重要意義。

但多路徑誤差是一種非平穩的隨機誤差，易受周圍環境影響，削弱難度較大。對此，國內外學者展開了大量的研究[3-5]。目前，削弱多路徑誤差的方式主要有三類：①選擇合適的站址，避免附近有大面積水域和高層建筑物；②對接收機的硬件方面進行改進，主要有特殊天線法、窄相關、多徑消除(multipath eliminating technology，MET)和多徑估計延遲鎖相環(multipath estimation delay lock loop，MEDLL)等技術[6]；③對數據的后處理方法進行研究，主要分為基于恒星日濾波改正模型和頻域濾波法兩類[7]。其中基于恒星日濾波改正模型主要是利用衛星具有周日重復這一特性，通過單歷元算法解算靜態觀測數據來提取多路徑誤差序列，校正后續相鄰時間段誤差。但隨著時間的推移，多路徑效應的重復性也在不斷降低。而頻域濾波算法主要分為經驗模態分解[8](empirical mode decomposition，EMD)和小波變換[9](wavelet transform，WT)方法及其相應改進算法[10-11]。

不同于其他系統，北斗衛星導航系統(Beidou satellites navigation system，BDS)采用多星座設計，增加了GEO(geostationary earth orbit)和IGSO(inclined geosynchronous orbit)兩種高軌衛星，能增加觀測時段的有效衛星數，有利于提高區域定位精度[12]。當這兩種衛星參與高精度載波定位時，會對定位模型的結構產生影響，從而導致BDS與其他系統的多路徑效應特征存在著差異性[13]。因此，眾多學者對如何削弱BDS多路徑效應，進行了大量研究。Song等[14]提出一種基于小波分解的GEO衛星多路徑誤差校正方法，有效改正了GEO衛星的多路徑誤差；謝秉辰等[15]利用小波分解對多路徑相關周期性誤差進行降噪處理，提高了北斗變形監測的精度；楊威等[16]針對BDS星座特點，提出一種基于恒星日濾波與小波分解結合的BDS多路徑削弱方法，提高了BDS定位精度。然而，小波方法也存在無法分解信號的高頻頻段的局限性。

針對BDS系統星座特性，現提出一種小波包(wavelet packet，WPT)分解重構算法來削弱BDS多路徑誤差。該算法基于小波包分解重構原理來提取多路徑誤差序列，通過分解尺度空間和小波空間進一步細化信號的高頻部分，彌補小波方法無法提取信號高頻部分多路徑誤差的缺陷；再利用提取的多路徑誤差序列對后續相鄰天的BDS坐標序列進行改正，從而實現BDS多路徑誤差的削弱。

1 WPT算法原理及降噪步驟

1.1 WPT分解重構原理

WPT分解和重構原理[17]如下。

(1)

小波包分解表示為

(2)

小波包重構表示為

(3)

式中：h(·)為低通濾波器；g(·)為高通濾波器；k、l為分解層數；h、g為濾波器系數,h與尺度函數有關,g與小波函數有關。以一個3層小波包分解為例，如圖1所示。

圖1 3層小波包分解結構圖Fig.1 Structure diagram of three-layer WPT decomposition

S0,0為分解前的原始信號，由原始信號逐級分解，層層遞進，得到各子信號。下面的Sj,i表示第j層(尺度數)第i個節點對應的分解信號。信號S經過j層小波包分解后可以表示為

S=Sj,0+Sj,1+…+Sj,2j-2+Sj,2j-1

(4)

按照圖1所示方式進行分解，信號在第j層小波包分解后，得到2j個特征信號，每個特征信號與相應頻率段相匹配。由于原信號包含的有效信息集中在某幾個子頻帶，所以必須對子頻帶進行篩選。保留有效成分集中的信息頻帶，對混合頻帶進行濾波處理，噪聲頻帶舍棄，重構信號后，得到干凈的多路徑誤差序列。與傳統方法相比，WPT算法能夠細化信號的高頻部分，通過互相關系數大小來抑制噪聲，同時保留有效信號不丟失，提高信號的降噪效果。

1.2 互相關分析

互相關系數是衡量兩組隨機信號在頻域內相關性的指標，各子頻帶xi(t)和原信號x(t)的互相關系數計算公式為

(5)

式(5)中：cov[x(t),xi(t)]為x(t)、xi(t)的協方差。

以各子頻帶與原信號的互相關系數為依據，如果二者間的互相關系數越大，則子頻帶中含原信號的有效成分越多。一般認為[18]，當0≤R≤0.1時，表示兩種信號弱相關；當0.1≤R≤0.5時，表示兩種信號實相關；當0.5≤R≤1，表示兩種信號強相關。因此，可以按照互相關系數的大小來確定各子頻帶的性質。若0.5≤R[x(t),xi(t)]≤1，代表子頻帶是有效信息成分占主導的信息頻帶，予以保留；若0.1≤R[x(t),xi(t)]≤0.5，代表子頻帶中既含有信息成分，也包含噪聲成分，可通過軟閾值降噪手段進行處理；若0≤R[x(t),xi(t)]≤0.1，代表子頻帶是噪聲成分占主導的噪聲頻帶，有效信息成分較少，直接舍棄。

圖2 WPT算法降噪流程Fig.2 WPT of noise reduction process

1.3 小波閾值降噪原理

對于多路徑誤差這類隨機非平穩信號，常用軟閾值和硬閾值濾波方法進行降噪。

軟閾值函數定義為

(6)

硬閾值函數定義為

(7)

1.4 WPT降噪及BDS多路徑誤差削弱流程

WPT算法降噪流程如圖2所示，削弱BDS多路徑誤差的具體步驟如下。

(1)BDS原始坐標序列x(t)通過小波包分解成若干個子頻帶。

(2)利用兩個指標M1=0.1和M2=0.5，將子頻帶細化分為噪聲頻帶、混合頻帶、信息頻帶三類。

(3)多路徑誤差主要集中在信息頻帶和混合頻帶“干凈”部分，所以舍棄噪聲頻帶，利用軟閾值濾波對于混合頻帶進行處理，得到的 “干凈”信息與信息頻帶進行重構，實現BDS坐標序列降噪。

(4)將降噪后的BDS坐標序列x′(t)作為多路徑誤差改正模型。

(5)利用x′(t)改正后續相鄰天的BDS坐標序列，即實現BDS多路徑誤差削弱。

2 仿真實驗及分析

設含噪聲的模擬數據模型為

ut=xt+et

(8)

式(8)中：et為正態白噪聲序列；xt為原始信號；ut為含噪信號；t為時間。

構成的模擬信號模型為

(9)

2.1 實驗方案設計

本文構建的仿真信號模型如式(9)所示，仿真數據的采樣間隔為1 s，樣本數為8 000，在原始模擬信號中分別加入服從正態分布N(0,0.502)、N(0,1.002)、N(0,1.502)、N(0,2.002)、N(0,2.502)、N(0,3.002)的6組高斯白噪聲數據。為了定量說明本文提出WPT算法的降噪效果，選定了3個評價指標：信噪比(signal noise ratio，SNR)、互相關系數R、均方根誤差(root mean square error，RMSE)，計算公式為

圖3 不同降噪算法降噪效果對比Fig.3 Comparison of noise reduction effects of different noise reduction methods

(10)

(11)

(12)

2.2 仿真實驗結果及分析

為了驗證本文WPT算法的有效性，分別應用EMD、WT、WPT 3種算法對仿真信號進行降噪處理。統計在不同噪聲水平下，經3種算法降噪后信號信噪比、互相關系數、均方根誤差的值，如表1所示。為了對比不同算法的降噪性能，給出et服從N(0,2.002)時，三種算法的降噪效果如圖3所示。

由表1可知，隨著噪聲水平的增加，3種算法的SNR和R在不斷地增大，RMSE在不斷地減小，但不同的算法呈現不同的降噪效果。在噪聲水平較低時，三種算法的互相關系數R都趨近于1，SNR值和RMSE值都大致相同。此時，三種算法的降噪效果大致相同。但隨著噪聲水平的不斷增加，WPT算法的SNR和R要大于EMD算法和WT算法，RMSE要遠小于EMD算法和WT算法。此時，WPT算法的降噪效果要優于EMD算法和WT算法。從圖3可以看出，同一噪聲水平下，WPT算法處理后的仿真信號更加平滑，所含噪聲量更少。

從上述分析來看，WPT算法的整體降噪效果要優于EMD算法和WT算法。說明本文提出的WPT算法具有較好的降噪效果，可以用于BDS多路徑誤差的削弱。

表1 不同降噪算法降噪效果統計Table 1 Noise reduction effect statistics of different noise reduction algorithms

3 BDS實測數據分析

為了進一步驗證本文WPT算法的有效性，在仿真實驗的基礎上，進行了實測數據的驗證。本實驗選用河南理工大學測繪學院樓頂南方CORS站和國家重點實驗室樓頂華測CORS站的實測數據，接收機類型分別為N0-ANT1和CHC P5。衛星截止高度角設為5°，基線長度為368.70 m，采集時間自2021年7月04日0時—2021年7月6日24時，采樣間隔為30 s。實驗場所周圍環境如圖4所示，數據處理策略如表2所示。

圖4 試驗站周圍環境Fig.4 Surrounding environment of the test station

表2 數據處理策略Table 2 Data processing strategy

以南方CORS站作為基準站，華測CORS站作為試驗站，3 d靜態觀測數據通過RTKLIB軟件的RTKPOST后處理模塊進行處理，得到試驗站三維坐標序列。通過短基線載波雙差解算可以對電離層延遲、對流層折射、衛星和接收機鐘差等誤差進行有效的消除，因此，認為此時得到的試驗站坐標序列中主要存在隨機噪聲誤差與多路徑誤差。為了清晰直觀的表示連續3 d的坐標序列趨勢對比，將3 d的坐標序列繪制于同一圖中，如圖5所示(將第2天與第3天的N、E、U方向的坐標序列分別依次增加4 mm和8 mm)。3 d之間坐標序列的相關系數，如表3所示。

圖5 3 d BDS不同方向坐標序列Fig.5 Day1～Day3 coordinate sequence of BDS in different directions

從圖5和表3可以看出，相鄰3 d的BDS原始坐標序列具有明顯的相關性。因此，利用衛星具有周日重復性及提取的BDS多路徑誤差序列對后續觀測值進行誤差改正。E方向的相關系數略低，其原因可能是接收機E方向較空曠無遮擋，致使多路徑效應較低。

表3 坐標序列相關系數Table 3 Coordinate sequence correlation coefficient

圖6 第1天不同方向降噪效果Fig.6 Day1 noise reduction effect in different directions

為了驗證WPT算法的降噪效果，分別利用EMD、WT和WPT算法對第1天的BDS原始坐標序列進行降噪實驗。三種算法的降噪效果對比，如圖6所示。降噪前后坐標序列的RMSE大小，如表4所示。

從圖6中可以看出，WPT算法提取的多路徑誤差序列相較于EMD、WT算法更加平滑，說明WPT算法提取的多路徑誤差序列包含的噪聲要少于EMD、WT算法。因此，WPT算法提取多路徑誤差序列的效果要優于EMD、WT算法。

從表4中可知，WPT算法濾波后BDS坐標序列的RMSE要低于其他兩種算法，說明WPT算法相較于EMD和WT算法，能夠更好地去除隨機噪聲。還有濾波前后，BDS坐標序列的RMSE改變量較小，這是因為在數據預處理時，選用了前向后向濾波，在一定程度上降低了數據的隨機噪聲，多路徑誤差占據主導地位。

表4 降噪前后坐標序列的RMSETable 4 RMSE of coordinate sequence before and after denoising

圖7 三種算法提取的多路徑誤差序列Fig.7 Multipath error model extracted by three algorithms

EMD、WT、WPT 3種算法提取的3 d N方向多路徑誤差序列，如圖7所示。通過對比可知，WPT算法提取的多路徑誤差序列明顯好于WT、EMD算法。在細節部分上，相較于其他兩種算法，經WPT算法處理后的多路徑誤差序列更加平滑。這表明，WPT算法將高頻的隨機噪聲去除的比較徹底，提取出的多路徑誤差序列更加干凈。因此，WPT算法要優于EMD、WT算法。

濾波后多路徑誤差序列的相關系數，如表5所示。由表3和表5對比可知，WPT算法提取3 d多路徑誤差序列的相關性高于EMD、WT算法，進一步表明，WPT算法能較好地提取多路徑誤差序列。

為了分析本文基于小波包分解重構原理提出的WPT算法在削弱多路徑誤差中的效果，利用第1天的多路徑誤差序列來改正隨后第2天、第3天的原始坐標序列。第2天、第3天改正后坐標序列的RMSE，如表6所示。

從表6可知，WPT算法的改善效果要優于EMD、WT算法。對比N、E、U 3個方向的RMSE值和改善效果，第2天整體改善效果要高于第3天，因為第1天和第2天的多路徑誤差序列相關系數更大。從第2天來看，U方向上的改正效果最好為83%，N、E方向上分別提升77%、78%。因為U方向上多路徑誤差序列相關性最大，受多路徑效應的影響最大，所以多路徑誤差濾除的效果最好。

表5 濾波后多路徑誤差序列的相關系數Table 5 Correlation coefficients of multipath error sequence after filtering

表6 多路徑改正模型前后坐標序列的RMSE值Table 6 RMSE of coordinate sequences before and after multipath correction model

4 結論

基于小波包分解重構原理提出了一種削弱BDS多路徑誤差的WPT算法，并將其與經典的EMD、WT算法進行了仿真和實測數據比較，通過實驗分析，得出以下結論。

(1)在仿真實驗過程中，通過對比分析WPT算法、EMD算法及WT算法在不同噪聲水平下降噪效果可知，WPT算法的降噪效果要優于EMD、WT算法，表明WPT算法可以用于BDS多路徑誤差削弱。

(2) 將WPT算法用于BDS多路徑誤差改正，實驗結果表明，WPT算法對BDS多路徑誤差的削弱效果優于EMD、WT算法，在N、E、U 3個方向上的精度分別提升77%、78%、83%，有效地提高了BDS的定位精度。