用于地表相對介電常數測量的同面極板電容傳感器優化設計?

李胤演，行鴻彥?

(1.南京信息工程大學電子與信息工程學院，江蘇 南京 210044；2.南京信息工程大學，江蘇省氣象災害預報預警與評估協同創新中心，江蘇 南京 210044)

大氣電場在實際測量中，其測量值會受地表相對介電常數的影響。因此，在利用大氣電場測量值進行雷暴云定位時，需要附加測量點的相對介電常數進行校正。相對介電常數是電學中的重要物理量，表征了介質材料的介電性質或極化性質，據中華人民共和國石油天然氣行業標準所規定的標準巖樣介電常數測量方法，需將測量對象通過洗油、洗鹽以及烘干處理，制成厚度為3 mm 的巖樣，再將巖樣置于平行板電容傳感器中進行測量[1]。該測量方法制樣繁瑣復雜，不適用于地表相對介電常數的實時測量。此外，還可利用探地雷達來測量地表的相對介電常數，但由于儀器昂貴龐大，不適合大規模應用[2]。為提供一種能夠大范圍應用的，用于地表介電常數實時測量的傳感器，選用同面極板電容傳感器。該方法無需采樣，測量方便，可對地表相對介電常數進行實時監測。

1997 年，赫文清等人[3]分析了多極對同面電容器的電場分布情況。2007 年，李慶先等人[4]探討了電容式傳感器的非線性影響因素，建立了非線性影響的數學模型，指出了對非線性影響實施補償的校正方法。2008 年，張君等人[5]針對圍護結構含水率的測試特點，通過理論分析、仿真和實驗，設計出的圍護結構含水率測試儀滿足探測深度和應用時探測靈敏度的要求。2013 年，曹河等人[6]分析了有無保護電極對于測量靈敏度的影響。通過對極板在各種保護電極方式下的電勢進行分析，使用驅動保護電極后可以使傳感器的靈敏場變得均勻，為傳感器的優化設計提供了依據。2014 年11 月，朱兵等人[7]研究了激勵信號頻率、波形與檢測靈敏度的關系，分別給出了為使8 電極電容傳感器具有更高的靈敏度，激勵信號類型選取方法和激勵幅值、頻率及矩形波占空比的取值范圍，為選取合適的激勵信號提供了依據。2015 年1 月，Mizuguchi 等人[8]分析了叉指結構不同的幾何形狀對測量效果的影響，并討論了一種將傳感器電容變化轉換為脈沖信號寬度變化的電路。2017 年1 月Risos 等人[9]研究了用于叉指介電傳感器的3D 法拉第屏蔽及其對電容的影響，增強了我們對叉指介電傳感器的理解。2017 年12月，詹爭等人[10]基于三維有限元仿真模型，研究了感應面積一定的條件下，電極對數、電極寬度與間距比對傳感器信號強度、靈敏度以及穿透深度的影響。2020 年3 月，Morais 等人[11]提出了一種基于印刷電路板技術的電容式智能傳感器，該傳感器允許在沒有高頻振蕩器的情況下測量小電容誤差。2020 年10 月，Petre 等人[12]研究了一種PCB 制造的叉指式電容土壤濕度傳感器，作為市場上現有傳感器的低價替代品，通過測量和仿真，研究了縱橫比和介質厚度對傳感器靈敏度和電容的影響。2021 年，魏加強等人[13]基于電場有限元分析，研究了極板結構對信號測量的影響，發現電極間隙距離越大，測量誤差越大。

當前，國內外學者對于同面極板電容傳感器結構設計已有一定研究，同面極板電容傳感器在水分檢測、缺陷檢測等場景中得到廣泛應用。但同面極板電容器的結構設計，主要是基于有限元法，利用電磁仿真工具，通過對不同結構的同面極板電容器進行電磁仿真，找到傳感器的不同結構設計對于信號測量效果的影響。這類方法缺乏公式推導驗證，無法對同面極板電容器的各項結構設計進行精密的量化，且針對不同應用場景下的電容傳感器設計缺乏普適性。因此，推導得到同面極板電容傳感器結構設計的信號測量模型是十分必要的。

本文研究同面極板電容傳感器的測量原理，基于提高傳感器的測量靈敏度與有效測量范圍這一目的對傳感器結構進行設計，結合長直導線的場強與平行極板間電容原理，推導同面電極傳感器結構設計模型，利用MATLAB 的PDE 電磁仿真工具與實際測試對模型進行驗證，并給出了地表相對介電常數測量應用場景下的同面極板電容傳感器最優設計。

1 地表介電常數對雷暴云定位影響分析

雷暴云一般處于距離地表1 km～12 km 的范圍之內，而地殼的平均厚度為30 km～40 km 范圍，雷暴云的鏡像電荷處于地殼深度范圍之內，因此，鏡像法適用于分析雷暴云電荷的分布情況[14]。

基于雷暴云高度與地殼結構的相對位置，選用鏡像法對大氣電場進行分析。由于大氣中電場是關于z軸對稱的，因此利用XOZ截面分析大氣電場即可，鏡像法示意圖如圖1 所示[15]。將空中雷暴云電荷視為點電荷，將地表視為無限大均勻電介質平面，利用鏡像法進行電場分析。X軸為地平線，q為點電荷，q1為點電荷在地殼介質中的鏡像電荷，q2為點電荷在空氣介質中的鏡像電荷，R1為點電荷q距離觀測點A的距離，R2為地殼鏡像電荷距離觀測點A的距離，Z為觀測點A距離地表的距離，H為鏡像電荷距離地表的距離，空氣介質的介電常數為ε1，地殼介質的介電常數為ε2。

圖1 點電荷鏡像示意圖

由鏡像法知，空氣區域的電場由點電荷q和地殼中的鏡像電荷q1共同產生，地殼中的電場由點電荷q和空氣中的鏡像電荷q2共同產生。當z≥0 時，其空間電位為:

鏡像電荷大小為:

將q1、q2表達式代入式(1)可得空氣介質和地殼介質中的電位，分別為:

根據靜電學原理，由空間介質中的電位可推得大氣電場的水平電場分量Ex、Ey和垂直電場分量Ez，其計算公式為:

式中:ε0為真空介電常數。由式(5)、式(6)、式(7)可得，探測點所測得的大氣電場三維場強分量大小不僅與距雷暴云點電荷位置相關，還與地表相對介電常數相關。因此，若想獲得準確的大氣電場分量進行雷暴云定位，需要設計一種介電常數測量裝置實時獲得地表相對介電常數的變化，對大氣電場測量數據進行校正。

2 同面極板電容傳感器極板結構設計研究

地表介電常數的變化會時刻影響雷暴云的定位精度，而傳統的平行板電容傳感器測量時需要制備樣本，不適合實時測量地表介電常數的應用場景。因此本文選用同面極板電容傳感器，該傳感器具有無需采樣、測量方便的優點，可用于地表相對介電常數的快速測量和長時間變化的監測。

同面極板電容傳感器是基于電容邊緣效應的傳感器，其電極位于同一平面，具有單邊穿透、信號強度可調等優點，且測量時無需采樣。傳感器極板的結構參數主要為電極寬度、電極間距、電極面積、電極厚度和電極長度等。極板的結構設計決定傳感器性能，研究極板結構設計對傳感器性能的影響，有助于優化同面極板電容傳感器的設計，提高傳感器性能。

2.1 同面極板電容傳感器測量原理

同面極板電容傳感器的基本測量單元由驅動電極、感應電極、屏蔽電極和絕緣基板組成，如圖2所示。

圖2 同面極板電容傳感器基本測量單元結構圖

驅動電極與感應電極是置于同一平面上的一對極板，屏蔽電極置于驅動電極與感應電極的四周和背部。測量時，將屏蔽電極接地用以屏蔽外部空間干擾電場，對驅動電極施加激勵信號，驅動電極與感應電極兩塊極板上部形成弧形電場，當測量區域中地表相對介電常數發生改變，傳感器的電容也會發生變化，測量其電容變化值，計算得到地表相對介電常數[16]。

電容傳感器等效電路圖如圖3 所示，交流激勵信號為Ui，傳輸線的電感和電容器本身的電感為L，導線電阻為Rs，Rp為極板間的等效漏電阻，主要為極間介質的有功損耗，Cp為A、B段間的寄生電容，Cx為待測電容。當傳感器的激勵信號為固定的正弦波信號時，所測電容Cx僅與極板上方的介質有關，將介質的介電常數ε與電容測量值Cx進行擬合，得到多項式ε＝f(Cx)，求解得到ε。其他參數大小固定，可通過提前校準去除Cp、Rp等因素的干擾。信號處理流程圖如圖4 所示。

圖3 電容傳感器等效電路圖

圖4 信號處理流程圖

2.2 極板結構設計對信號測量靈敏度的影響

信號測量靈敏度反映的是當極板上方介質發生改變時電容的變化量，電容變化量越大，則傳感器測量靈敏度越高。

2.2.1 極板間電容模型建立

由于同面極板間電力線尤其復雜，無法精確地導出極板間電容表達式[17]。同面極板非線性場的求解有賴于邊界條件的簡化。對于復雜的邊界情況，保角變換法可充分發揮復變函數的特長，將原物理平面上復雜幾何域映射成像平面上的中心單位圓、半無限平面等。

設同面極板電容器的兩塊極板長為L，寬為b，極板間間距為a。其截面圖如圖5(a)所示。極板AB、CD延伸后相交于O點，交角為θ，極板B端、A端到O點的距離分別為R1和R2。

圖5 保角變換示意圖

式中:εx為被測介質的相對介電常數，εs為基板的介電常數。據保角變換法所推得的非平行板電容公式式(9)與文獻[18]和文獻[19]所推結果相符。

2.2.2 仿真驗證

由式(9)可知，同面極板電容大小與極板長度L、極板寬度b和極板間距a有關，若保持極板長度L不變，則電容大小取決于極板寬度與極板間距的比值b/a。極板寬度與極板間距的比值越大，所測電容值越大，即傳感器的測量靈敏度越高。

選用MATLAB 軟件中的PDE 工具箱，仿真同面極板的電場強度，驗證極板寬度與極板間距的比值和測量靈敏度之間的關系。分別設置極板寬度與極板間距比值為10 ∶1，5 ∶1，2.5 ∶1，進行三次仿真模擬。

設定偏微分方程邊界條件滿足迪利克雷條件，驅動極板電壓設為30 V，感應極板電壓設為－30 V，無限遠處空間電壓設置為0 V，計算公式為默認的泊松方程，認為兩個極板帶電大小相等，空間電荷密度設為0，介電系數設為1。電場強度仿真結果如圖6所示。

圖6 不同極板寬度與極板間距比值下的電場強度仿真結果

如仿真結果所示，極板寬度與極板間距比值越大，電場強度越大，則所測電容越大，傳感器測量靈敏度越高，符合式(9)。理論上來說，可以通過不斷加大極板寬度與極板間距的比值來提高傳感器測量靈敏度，但同時極板設計還得兼顧對信號測量范圍的影響，因此并不能無限提高極板寬度與極板間距的比值。

2.3 極板結構設計對信號測量范圍的影響

信號測量范圍反映的是傳感器對介質測量時，最大的測量距離。進行傳感器極板設計時，不僅需要考慮極板結構對信號測量靈敏度的影響，還需要考慮不同的極板結構與信號測量范圍之間的影響關系。

2.3.1 信號測量范圍模型建立

利用長直導線的場強公式，通過單元積分法，轉換為有限平面的極板場強公式，得到極板結構與信號測量范圍的關系，圖7 為信號測量范圍示意圖。

圖7 中，點A為被測量點，r為A點距導線的距離，h為A點距極板的距離，b為極板寬度。已知長直導線的場強公式為:

圖7 信號測量范圍示意圖

式中:k為常數，λ為導線電荷密度。基于式(10)的長直導線場強公式，將線電荷密度λ改為面電荷密度的微分σdr，通過單元積分法，得到極板的場強公式:

式中:Q為極板帶電量。式中可見，電場場強大小與面電荷密度、測量范圍以及極板寬度有關，因此，為清晰反映極板結構設計與場強關系，需要對一些參數進行設定，作為定值進行處理。因此保持極板帶電量Q、極板長度L以及電場強度E不變，則測量距離h是關于極板寬度b的一個先增后減的函數，這意味著極板的寬度在設計中不能無限加長，極板寬度的最佳距離在式(11)取的最大值處獲得。

2.3.2 仿真驗證

選用MATLAB 軟件中的PDE 工具箱，仿真同面極板的電場強度，驗證極板面積和測量范圍之間的關系。保持極板長度L不變，分別設置極板寬度為0.6 cm、0.8 cm、1 cm、2 cm、4 cm、6 cm，保持極板寬度與極板間距的比值不變，進行六次仿真模擬。

設定偏微分方程邊界條件滿足迪利克雷條件，驅動極板電壓設為30 V，感應極板電壓設為－30 V，無限遠處空間電壓設置為0 V，認為兩個極板帶電大小相等，空間電荷密度設為0，介電系數設為1。仿真結果如圖8 所示。

圖8 不同極板面積下的測量范圍仿真結果

透過仿真結果發現，隨著極板寬度的增加，極板間測量范圍逐漸增大，但當極板寬度達到一定程度時電場輪廓發生畸變，極板兩側電場逐漸增大，而極板中間場強范圍變小，符合式(11)所反映的場強范圍變化規律。分析電場隨著極板寬度變化的原因，可能是因為隨著極板寬度逐漸增加，電荷的尖端效應愈發明顯，電荷過多積聚在極板兩側尖端，造成極板兩端場強大，中間場強小。因此，在進行極板設計時，極板寬度也不能一味增加。

2.4 基于地表相對介電常數測量的同面極板電容傳感器設計

同面極板電容傳感器的極板設計應結合實際的應用場景，根據應用場景確定傳感器對于測量靈敏度和測量范圍的要求。本文設計的同面極板電容傳感器用于實時測量地表相對介電常數的變化，提高雷暴云定位精度，基于這一應用，給出傳感器的測量需求，完成傳感器最終設計。

式(9)、式(11)分別是傳感器測量靈敏度和測量范圍對于極板設計的要求，此外PCB 板制造工藝的要求也限制了極板的設計。表1 列出了傳感器極板設計的各項要求。

表1 同面極板電容傳感器的極板設計要求

如表1 所示，由于極板寬度與極板間距比值越高，信號測量靈敏度越高，且極板間距加工要求最小為0.4 mm，考慮到印刷電路板制作成本及品質，因此設計極板間距a為1 mm。

地表相對介電常數在無外界環境干擾下，其數值一般是穩定的，但在降雨環境下，雨水滲透入地表，從而改變地表相對介電常數。崇佳文等人[21]曾做過鋪裝路面雨水的下滲研究，發現鋪裝路面雨水的平均下滲深度小于15 mm；蔣春博等人[22]研究了土壤地表的雨水下滲，選擇降雨重現期為兩年一遇，降雨歷時120 min 的降雨為研究對象，其穩定下滲率為0.497 mm/min，下滲深度約為60 mm。基于以上研究，為使測量傳感器能夠完整反映降雨環境下地表相對介電常數的變化，選擇60 mm 作為傳感器的最大測量距離h。

根據表1 中極板設計對于測量靈敏度和測量范圍的要求，聯立式(9)、式(11)，找到兼顧傳感器測量靈敏度與測量范圍的最優傳感器極板設計。

將a＝1 mm、h＝60 mm 代入式(12)中，整理得，

式中:Cx反映了信號測量靈敏度，Cx越大表明測量靈敏度越高；E表示距測量極板60 mm 處(最大測量距離)的電場強度，E越大表明傳感器對60 mm處信號的測量效果越好。式(14)的函數曲線如圖9所示。

圖9 最優極板寬度選擇

可見，當極板間距一定時，極板寬度越大，傳感器測量靈敏度越高，但傳感器的測量范圍卻在100 mm處取得最大值，當極板寬度大于100 mm 時，傳感器測量范圍開始變小。根據式(14)的函數圖像，為兼顧傳感器的測量靈敏度和測量范圍，選擇100 mm 作為最終的極板寬度。同面極板電容傳感器最終設計如圖10 所示。

圖10 同面極板電容傳感器設計

同面電容傳感器由驅動電極、感應電極、屏蔽電極以及絕緣基板四個部分組成，驅動電極與感應電極的極板結構相同。實際應用時，可以在傳感器上設置多對極板以增加傳感器的靈敏度，即ΔC的變化量。

最終設計共設置三組極板，每塊極板長為300 mm，寬為100 mm，極板間距為1 mm，極板寬度與極板間距的比值為100 ∶1，整個傳感器采用印制電路板制成。

3 實際實驗

測量電路由電容傳感器、信號驅動電路、信號放大電路、電容測量電路、平滑濾波器、帶通濾波電路、橋式全波整流電路、模數轉換和單片機電路組成，其測量電路關系見圖11。

圖11 測量電路示意圖

RC 振蕩電路采用固定頻率為3 kHz 的正弦波信號，經運算放大電路放大后驅動電容傳感器；電容測量電路采用容抗法，將電容容值變化轉化成電壓變化進行測量；平滑濾波器對低頻雜波進行濾波，減少噪聲，平滑曲線；帶通濾波電路再次對測量信號進行濾波，濾除低頻和高頻雜波；最終，正弦波信號經橋式全波整流電路整流成脈沖直流信號后輸出至STM32 單片機，單片機自帶12 位AD 轉換器轉換成直流電壓，計算出相對介電常數，然后傳送至液晶顯示器顯示，并通過串行口發送至上位機。電路實際搭建如圖12 所示。

圖12 實際電路搭建

系統標定測試分為兩部分。一是測量電路的標定，采用精度為5‰的高精度電容接入電路，調節運算放大電路的放大幅值，結合電容計算公式，使測量顯示值與電容標注量相同，從而實現對傳感器漏電阻和寄生電容的校準。二是對相對介電常數與容值關系的標定，取純水作為標準，純水相對介電常數為80，當被測介質為純水時，實際測量容值為4.3 pF。經理論計算，當被測介質為純凈水時，上半平面同面電容初值約為4 pF，測量相對誤差為7.5%，結果可信。純凈水距測量傳感器距離為60 mm，達到設計標準。

4 總結

為解決當前傳感器設計高度依賴仿真，缺少理論支撐的問題，本文分析同面極板電容傳感器的基本測量原理，基于保角變換和長直導線場強公式，利用單元積分法，建立同面極板電容傳感器的信號測量強度模型和電場分布模型，確定同面極板電容傳感器電極的不同設計對于信號測量靈敏度和信號有效測量范圍的影響，利用MATLAB 的PDE 仿真工具驗證模型的正確性，結合實際地表相對介電常數測量的應用場景，確定傳感器極板的最優設計。研究發現，同面極板電容傳感器的信號測量范圍隨著極板寬度的增加先增后減，并在極板寬度為100 mm 處獲得最大測量范圍。傳感器信號測量的靈敏度則與極板面積和極板寬度與極間間距的比值有關。測量電極寬度與電極間縫隙寬度的比值越大，信號測量靈敏度越大，同時測量極板的面積與信號測量靈敏度也成正比。依據地表相對介電常數測量的實際應用場景，確定極板共三組，每塊極板長為300 mm，寬為100 mm，極板間距為1 mm，極板寬度與極板間距的比值為100 ∶1。經標定測試，在距傳感器60 mm的測量范圍內，測量相對誤差小于10%，達到設計要求。本文所建立的傳感器設計模型能為傳感器優化提供支撐。

本文利用理論推導和軟件仿真，分析了同面極板電容傳感器的測量原理，確定了電容傳感器極板設計對于傳感器測量范圍和測量靈敏度的影響，給出了同面極板電容傳感器極板設計的通用數學模型，最終依據實際應用場景，確定了傳感器的最終設計，但本文工作標定實驗較少。下一步工作，將進行更多不同介質的測試實驗，完善傳感器的信號處理電路，進一步驗證傳感器的測量效果，分析傳感器的測量誤差是否滿足雷暴云定位要求。