小學一年級兒童的非符號數量表征與數學成就

孫 霽 洪 梅 孫 沛

(1.安順學院教育科學學院，貴州 安順 561000；2.安順經濟技術開發區龍井小學，貴州 安順 561000；3清華大學心理學系，北京 北京 100084)

數學是個體整個學習過程中的主要學習科目，也是科技教育相關學科(如物理、化學)的基礎。2019年，科技部、教育部、中科院和自然科學基金委聯合印發的《關于加強數學科學研究工作方案》(國科辦基〔2019〕61號文件)明確提出“數學是自然科學的基礎，也是重大技術創新發展的基礎。數學實力往往影響著國家實力，幾乎所有的重大發現都與數學的發展與進步相關”。從國家層面來看，經濟合作暨發展組織(Organization for Economic Co-operation and Development，OECD)2010年提出如果將每個人的數學成就和科學能力提高半個標準差，那么整個國家的GDP將會提高0.87%。從個人層面來看，數學成就的高低直接關系到其未來的求學和就業，尤其是會影響個人未來是否會選擇科學技術相關專業作為求學和就業目標[1]。但是數學學科的獨特知識體系也讓其成為個體最難學習的科目之一。如何有效培養個體的數學能力、提升學生的數學成就(即學生的數學測驗得分)成為擺在心理學和教育學研究者面前的重要問題。小學階段作為學生數學學科學習的起始階段，也是其數學成就提升的關鍵時期。大量心理學和教育學研究從學校、家庭和個人等角度探討了小學階段學生數學成就的影響因素[2][3][4]。其中，備受關注的制約數學成就表現的個人因素之一是非符號數量表征(non-symbolic numerical representation)。已有研究發現非符號數量表征是個體數學成就的重要影響因素，但是同時也有研究者對個體非符號數量表征與數學成就間關系提出質疑[5]。目前對于二者的關系尚沒有得出一致的結論[5]。因此，本研究擬以小學一年級兒童為對象，通過考察非符號數量表征、數學成就及其他相關控制變量，探索非符號數量表征與數學成就的關系。

近二三十年，非符號數量表征是數量認知和數學能力研究領域關注的重要因素[6][7]。非符號數量表征是指快速地、相對準確地估計物體數量的能力[8]，是人與動物共有的能力[9]。因為其對個體生存和發展具有重要作用，研究者也將其稱為數量感知(number sense)[8]。關于非符號數量表征對個體數學成就具有重要影響的觀點得到了以下三方面研究結果的支持。第一，大量研究發現，非符號數量表征與個體數學成就之間存在顯著正相關[10][11][12]。例如，Wang等人[13]發現非符號數量表征能力較低的幼兒會有較差的數學表現。針對不同的年齡群體(如青少年、成年人)，非符號數量表征與數學成就間相關關系同樣存在[14][15]。Halberda等人[14]發現5～11歲兒童的非符號數量表征與其不同數量測試成績間呈顯著正相關。這意味著，小學階段兒童的非符號數量表征越好，其數學成就越好。第二，為了進一步驗證非符號數量表征與數學成就間關系，研究者通過縱向研究設計發現了非符號數量表征對數學成就的預測作用。例如，2013年，Starr等人[16]研究發現，6個月大嬰兒的非符號數量表征偏好與其3年后的數學測試得分有顯著相關。這說明，非符號數量表征是后續數學表現的重要預測因素[10]。第三，最重要的是，還有研究者發現通過訓練個體的非符號數量表征能力能夠有效提升其數學成績[17]。以上研究結果均有力地支持了非符號數量表征與數學成就間的關系。

然而也有研究對非符號數量表征與數學成就間關系提出質疑[5][18][19]。一些研究發現個體非符號數量表征與數學成就之間不存在相關[18]或只是弱相關[19]。例如，Soltesz等人[18]發現4-10歲兒童的非符號數量表征與計算能力測試成績的相關關系不顯著。另外，Caviola 等人[19]發現小學生的非符號數量表征與數學成績之間只存在弱相關；相反，符號數量表征(symbolic numerical representation，即迅速、正確地加工數字的能力)和視空工作記憶(visuospatial working memory)能有效預測學生的數學成績。為什么已有研究關于非符號數量表征與數學成就關系出現不一致結果？研究者認為可能有以下原因：第一，有研究者發現個體非符號數量表征與數學成就間相關關系的存在可能是有條件的[20][21]。例如，Gilmore等人[21]發現非符號數量表征與數學測試成績間相關關系是源于非符號數量表征任務中抑制控制(inhibitory control)的作用。也就是說，當非符號數量表征任務同時考察被試的非符號數量表征與抑制控制時，被試的非符號數量表征任務得分才與數學測試成績顯著相關；當非符號數量表征任務只考察被試的非符號數量表征，不考察抑制控制時，被試的非符號數量表征任務得分與數學測試成績無關。Fuhs和McNeil[20]研究也發現，當控制兒童的抑制控制能力得分后，兒童的非符號數量表征得分與數學成績之間的相關就變得不顯著。第二，有實證研究表明，個體非符號數量表征與數學成就之間可能存在中介變量[22]。例如，Guo 等人[22]發現個體非符號數量表征與數學測試成績之間存在非符號-符號數量映射能力(numerical mapping ability，即個體將物體數量與相應數字對應起來的能力)這一中介變量。

綜上所述，盡管當前關于兒童數學成就及其影響因素的研究很多，但仍缺乏一致的結論，尤其是個體非符號數量表征與數學成就的關系仍需實證證據。因此，本研究在以往研究基礎上，以小學一年級兒童為被試，測量其非符號數量表征、數學成就及其他潛在的影響因素(包括符號數量表征、非符號-符號數量映射能力、視空工作記憶和抑制控制)，探索小學一年級兒童非符號數量表征與數學成就的關系，為小學生數量認知和數學成就研究領域相關理論提供實證依據，同時也為剛進入數學系統學習階段的低年級小學生提供有針對性地促進數學學習、提升數學成就的方法和路徑。

一、方法

(一)被試

研究選取安順市某小學一年級23名學生作為被試，其中男生15人，女生8人，平均年齡6.68歲(SD = 0.63)。所有被試智力發育正常，無其他不良軀體疾病，視力或矯正視力正常。實驗前，所有被試家長了解實驗流程并提供知情同意書。被試完成實驗的時間約為60～90分鐘，因時間較長，為保證實驗數據的質量和有效性，整個實驗分為兩次進行。實驗后，每位被試均獲得一份小禮物。

(二)實驗材料與流程

本研究包括以下六個部分內容。

1. 非符號數量表征

采用 Halberda等人[23]提供的非符號數量表征比較任務(包含Panamath實驗程序包)，由計算機呈現實驗材料。每個試次中，電腦屏幕左右呈現兩個方框，方框中分別是黃色圓點和藍色圓點，圓點的數量在5～20個點范圍內隨機選擇，呈現時間為200ms，要求被試判斷：藍色圓點的數量多還是黃色圓點的數量多。被試判斷后進入下一試次。每位被試完成約8分鐘實驗后，實驗程序包通過下列公式在線計算每位被試的韋伯系數(w)[23]：

其中，Pincorrect是被試反應的錯誤率，erfc是互補誤差函數，n1和n2是黃點和藍點的數量。計算1-w作為非符號數量表征得分。非符號數量表征得分范圍為0～1，得分越高，非符號數量表征越好。

2.符號數量表征

采用 Batchelor等人[24]的符號數量比較任務，由計算機呈現實驗材料。每個試次中，白色屏幕左右呈現兩個黑色的阿拉伯數字，數字的數量范圍為4～9，呈現時間為750ms，要求被試判斷：左右兩邊的數字哪個更大。為了消除數量距離效應的影響，在一半試次中，兩個數字的數量距離遠，如4和9；在另一半試次中，兩個數字的數量距離近，如8和9。每位被試完成40個試次后，計算其正確率，作為符號數量表征得分。符號數量表征得分范圍為0～1，得分越高，符號數量表征越好。

3.非符號—符號數量映射能力

采用Mundy和Gilmore[25]的非符號-符號數量比較任務，由計算機呈現實驗材料。每個試次中，白色屏幕上方呈現黑色圓點，下方左右兩邊呈現兩個阿拉伯數字，圓點和數字的數量范圍均為4～9，呈現時間為2000ms，要求被試判斷：下方哪個數字的數量與上方圓點的數量是一致的。為了消除數量距離效應的影響，在一半試次中，圓點和正確數字的數量距離遠，如4和9；在另一半試次中，圓點和正確數字的數量距離近，如8和9。每位被試完成40個試次后，計算其正確率，作為非符號-符號數量映射能力得分。非符號-符號數量映射能力得分范圍為0～1，得分越高，非符號-符號數量映射能力越好。

4.視空工作記憶

采用Batchelor等人[24]的視覺搜索任務，實驗材料為一個圓形托盤(直徑為39cm)，11個不同顏色的紙杯(直徑為6.5cm)，9張白色貼紙(2cm×3cm)和1張硬殼紙板(29cm×40cm)。實驗開始前，主試隨機將紙杯倒置擺放在托盤上，并告訴被試：“現在我們要去玩一個尋寶游戲。這是一些紙杯，它們都是不同的顏色。你能告訴我它們是什么顏色嗎？”該問題是為了確認被試能夠正確區分不同顏色的紙杯。然后，主試將每個貼紙放在紙杯上，并向被試指出，貼紙不夠貼所有紙杯，有兩個紙杯沒有貼紙。接下來，主試告訴被試：“現在我要將貼紙藏在紙杯下面，請仔細觀察。之后你需要去尋找它們。”主試把所有貼紙放到紙杯下面，并用硬殼紙蓋住紙杯。主試告訴被試：“現在我旋轉紙杯。然后，您可以選擇一個紙杯，看看里面是否有貼紙。”主試旋轉紙杯，然后取下硬殼紙板，讓孩子選擇。如果發現貼紙，則將紙杯拿出并放在旁邊。如果沒有發現貼紙，則將紙杯放回。之后，主試繼續將紙杯用硬殼紙板蓋起來并將托盤旋轉，繼續讓被試重復選擇。實驗一直持續到被試找到所有9個貼紙或者直到旋轉托盤18次為止。主試記錄被試沒有找到貼紙的次數(即錯誤次數)，理論上錯誤次數最大為18。將18減去錯誤次數作為視空工作記憶得分。視空工作記憶得分范圍為0～18，得分越高，視空工作記憶越好。

5.抑制控制能力

采用Fuhs和McNeil研究[20]的“頭-腳”Stroop任務和“敲-拍”Stroop任務。

“頭-腳”Stroop任務：任務開始前，要求被試舉起自己的利手，放于正前方。任務開始后，在主試說“頭”這一口頭指令時要求被試要迅速用手摸自己的腳，而在說“腳”這一指令時要用手摸自己的頭。

“敲-拍”Stroop任務：任務開始前，要求被試將利手放于桌子上。任務開始后，當主試的手做出敲擊桌面手勢時，要求被試快速用手做出拍打桌面手勢；當主試的手做出拍打桌面手勢時，要求被試快速做出敲擊桌面手勢。

每個任務均有16個試次。實驗過程中，兩名主試記錄被試的正確次數，被試給出的第一個反應被看作是他們的回答。例如，如果主試發出“頭”的指令，被試將手移向他或她的頭部，但在實際將手放在頭部之前自我糾正并隨后觸摸了他或她的腳，那么這將被算作正確。但是，如果孩子實際上先摸了他或她的頭，然后又摸了他或她的腳，這就被算作不正確。將兩個任務正確次數的平均數作為抑制控制能力得分。抑制控制能力得分范圍為0～16，得分越高，抑制控制能力越好。

6.數學成就

已有研究發現，數學課程測試成績可以作為學生數學成就的有效指標[26]。因此，本研究收集所有被試最近一次數學課程測試成績作為其數學成就得分。數學成就得分范圍為0～100，得分越高，數學成就越好。

所有實驗均在學生所在學校的一間空教室內進行。實驗前，主試對教室進行布置，除必要的桌椅外，教室不能有任何包含文字或數字的裝飾或物品，避免為被試的實驗反應提供線索。每名被試單獨進行一系列實驗，實驗時均有三名主試在場，一名主試作為實驗者，負責引導被試進行實驗，另兩名主試作為記錄者，記錄被試的反應，實驗全程保持安靜。實驗順序與上方實驗任務介紹順序一致。每個任務開始前，實驗員為被試講解任務內容，并進行練習，直到被試正確理解任務為止。被試完成實驗的時間為60～90分鐘，因為時間較長，實驗在連續兩天內分為兩次施測完成：第一次施測完成非符號數量表征比較任務、符號數量比較任務和非符號-符號數量比較任務；第二次施測完成視覺搜索任務、“頭-腳”Stroop任務、“敲-拍”Stroop任務，并收集被試的人口學變量信息和最近一次數學課程測試成績。

(三)數據處理

采用SPSS 27.0對所有被試數據進行處理，使用的統計方法包括描述性統計、Pearson相關分析和分層回歸分析。

二、結果

(一)各變量描述性統計及相關分析結果

各變量描述性統計結果見表1。為分析變量間相關關系，對非符號數量表征得分、符號數量表征得分、非符號—符號數量映射能力得分、視空工作記憶得分、抑制控制能力得分和數學成就得分進行Pearson相關分析，具體結果見表1。結果發現，非符號數量表征得分與數學成就得分顯著正相關，r = 0.46, p = 0.029。這說明，被試的非符號數量表征得分越高，數學成就得分越高(見圖1)。此外，非符號數量表征得分與符號數量表征得分顯著正相關，r = 0.44, p = 0.036。這意味著，被試的非符號數量表征得分越高，符號數量表征得分越高。其他變量間相關均不顯著，ps > 0.29。

表1 各變量描述性統計分析和相關分析結果(n=23)

圖1 非符號數量表征與數學成就相關關系散點圖(注：每個實心黑點代表一個被試的原始數據，黑色直線為數據擬合線)

(二)各變量分層回歸分析結果

為進一步探索非符號數量表征與數學成就的關系，以非符號數量表征得分作為預測變量，符號數量表征得分、非符號—符號數量映射能力得分、視空工作記憶得分和抑制控制能力得分為控制變量，數學成就得分作為結果變量進行分層回歸分析。結果發現(見表2)，所有控制變量僅能夠解釋數學成就12%的變異率，p = 0.642，而非符號數量表征得分能夠解釋數學成就19%的變異率，非符號數量對數學成就有顯著的預測作用(β=0.51，p=0.045)。這表明，非符號數量表征可能是數學成就最重要的預測因素之一。

表2 各變量分層回歸分析結果(n=23)

三、討論

本研究考察了小學一年級兒童數學成就的影響因素，重點關注非符號數量表征的作用。實驗結果發現，對于小學一年級兒童而言，非符號數量表征與其數學成就顯著正相關，而符號數量表征、非符號-符號數量映射能力、視空工作記憶、抑制控制與數學成就之間均無顯著相關。分層回歸分析結果進一步發現，在控制其他變量影響條件下，非符號數量表征仍能夠解釋小學一年級兒童數學成就19%的變異率。研究結果支持了非符號數量表征對數學成就具有重要影響的觀點，有助于為數量認知和數學教育研究領域提供相關理論依據，還有助于為剛進入數學系統學習階段的兒童提供提升其數學成就的路徑和方法。

首先，本研究發現小學一年級兒童非符號數量表征和數學成就顯著正相關。這與已有研究結果一致[11][12][14][15]。也就是說，小學一年級兒童的非符號數量表征能力越好，其數學成就越高。最重要的是，分層回歸分析結果進一步表明，即使控制了其他影響因素(包括符號數量表征、非符號-符號數量映射能力、視空工作記憶和抑制控制)作用的條件下，小學一年級兒童非符號數量表征仍能顯著預測其19%的數學成就變異率。以上結果支持了以往研究的觀點，即認為非符號數量表征是個體數學成就的重要預測因素之一[12][14]。一項匯集36項相關研究的元分析研究[10]結果發現，非符號數量表征與數學成就間存在中等強度的相關關系，并且非符號數量表征能顯著預測數學成就。此外，上述結果還具有實踐方面的意義。這意味著，通過提升非符號數量表征能力可能有助于提升小學一年級兒童的數學成績。通過觀察小學數學教學過程可以發現，對于小學一年級兒童來說，數學學習通常是以實物學習為主，通過直觀的行動和具體的形象來理解和掌握數學知識。例如，人教版義務教育教科書《數學(一年級上冊)》(2022年8月第2版)的“比多少”學習主題(第6頁)，要求學生比較圖畫中的動物和物體的數量，如小熊的數量比木材的數量少。這一學習內容實際上就是一個非符號數量表征比較任務，涉及的就是非符號數量表征能力。這說明提升非符號數量表征已經是促進小學一年級兒童數學學習較為有效的方式之一。學校管理人員、教師和家長應該充分認識到兒童早期非符號數量表征訓練的重要性，尤其是對家長而言，在生活中越早對兒童進行非符號數量表征相關的游戲活動，越能讓兒童在數學系統學習中表現優異。

其次，本研究也發現符號數量表征、非符號-符號數量映射能力、視空工作記憶、抑制控制和數學成就之間均無顯著相關。這一結果與已有研究不一致[19][20][22][25]。這可能有以下兩個原因。第一，本研究的對象是小學一年級兒童，而以往研究的對象是幼兒園學生或小學其他年級學生[19][20][25]。年齡和年級差異可能帶來符號數量表征、非符號-符號數量映射能力、視空工作記憶、抑制控制和數學成就關系的動態變化[5]。未來可以通過縱向追蹤研究設計來探討不同影響因素與數學成就間關系隨著時間發展呈現出的新變化。此外，不一致結果還可能源于數學成就及其影響因素的測量方法與指標的不一致。例如，一項元分析研究[5]分析了45篇以“數量比較任務(包括非符號數量和符號數量)與數學能力關系”為主題的文章，發現數學成就及其影響因素測量方法和指標的差異可以解釋14%不同文章間效應值的差異。同一實驗變量(如符號數量表征)的不同測量方法和指標可能測量的該變量的不同組成部分或子變量。自然而然地，如果不同研究選取了數學成就及其影響因素的不同測量方法和指標，可能得出數學成就及其影響因素間關系的不同結果。未來研究可考慮使用多種方法和指標對數學成就和其影響因素進行測量，可以更全面地探討數學成就與其影響因素間的關系。

雖然本研究系統探討了小學一年級兒童非符號數量表征與數學成就的關系，但是本研究還存在一定的局限性。第一，本研究只是關注了影響小學一年級兒童數學成就的個人因素，未來研究還需要考慮人口統計學變量(如性別[27])和家庭因素(如家庭數學環境[28])的影響。第二，本研究對象是小學一年級兒童，如果想進一步了解整個小學學習過程中兒童數學成就的發展變化及其影響因素，未來研究還需增加被試群體和數量，將不同年級的學生納入研究范圍，探討不同年級兒童之間的異同。第三，本研究將數學課程測試成績作為數學成就指標，這樣做增加了數學成就指標的生態效度，但同時也帶來問題。因為數學課程測試內容非常復雜，例如根據《義務教育數學課程標準(2022年版)》的相關要求，一二年級數學課程測試內容應包括數與運算、數量關系、圖形的認識與測量和數據分類等，涉及不同的數學學習領域。非符號數量表征到底是與哪種或哪幾種數學成就內容相關仍是值得進一步考慮的問題。

四、結論

本研究關注小學一年級兒童數學成就的影響因素，發現非符號數量表征與數學成就顯著正相關，而符號數量表征、非符號-符號數量映射能力、視空工作記憶、抑制控制與數學成就間相關不顯著。在控制了符號數量表征、非符號-符號數量映射能力、視空工作記憶和抑制控制的條件下，小學一年級兒童非符號數量表征仍能顯著預測其數學成就19%的變異率。這表明，非符號數量表征可能是影響小學一年級兒童數學成就最重要的因素之一，學校管理人員、教師和家長可以通過培養小學一年級兒童的非符號數量表征能力來提高兒童的數學學習質量，提升其數學成就。