從數(shù)系的擴充談起

文／卞書彥

我們在七年級已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)過有理數(shù)，知道了數(shù)的擴充源于兩方面的需求：一是為了解決實際生產(chǎn)、生活中的某些問題；二是為了數(shù)學(xué)內(nèi)部的運算可以進行（即運算的封閉性）。我們也知道了每次數(shù)系擴充遵循的基本原則：第一，增加新元素；第二，原有的運算性質(zhì)仍然成立；第三，新數(shù)系能解決舊數(shù)系中的矛盾。

本章一開始以運用勾股定理計算直角三角形邊長為情境，讓我們感受到“數(shù)的開方”的必要性，順理成章地讓我們學(xué)習(xí)平方根的概念。我們在七年級就知道非完全平方數(shù)（如數(shù)2）的平方根（算術(shù)平方根）是客觀存在的，能用逼近法知道它是無限不循環(huán)小數(shù)，并能用數(shù)軸上的點將它表示出來。為了進一步研究這樣的數(shù)，我們有必要用符號來表示。法國數(shù)學(xué)家笛卡爾使用符號“”很好地解決了這類數(shù)的表示問題。

有了平方根概念和表示符號后，我們就可以研究其性質(zhì)與應(yīng)用了。根據(jù)平方與開平方互逆的關(guān)系可以得到：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0 的平方根是0；負數(shù)沒有平方根。我們可以類比學(xué)習(xí)三次方根的概念以及符號“”所表示的意義，根據(jù)立方與開立方互逆的關(guān)系得到：正數(shù)的立方根是正數(shù)；負數(shù)的立方根是負數(shù)；0 的立方根是0。同理，根據(jù)平方根與立方根的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，我們也可類比得到“n次方根”的符號“”及其有關(guān)的性質(zhì)了。

我們認識到，開方開不盡的數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)。無限不循環(huán)小數(shù)除了開方開不盡的數(shù)外，還有像化簡后含“π”的數(shù)與0.1010010001…（1 后面的0 依次多一個）這一類數(shù)，以后我們還會學(xué)習(xí)到其他形式的無限不循環(huán)小數(shù)。為此，我們將無限不循環(huán)小數(shù)定義為無理數(shù)，并將有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。由此，我們就實現(xiàn)了從有理數(shù)集到實數(shù)集的擴充。

下面，我們通過圖1 一起回顧一下人類對數(shù)的認識吧。

圖1

數(shù)系擴充到實數(shù)后，對有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)的意義，有理數(shù)比較大小的方法，有理數(shù)的運算性質(zhì)、運算律，仍然都適用。在實數(shù)范圍內(nèi)，不僅可以進行加、減、乘、除、乘方運算，還可以進行開立方運算以及非負實數(shù)的開平方運算。

由于無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，有時根據(jù)實際需要，我們要用它的近似值來代替。因此，我們還要了解近似數(shù)的概念，體會近似數(shù)的意義以及近似數(shù)在生產(chǎn)、生活中的作用，并能根據(jù)要求對結(jié)果取近似值。于是，我們得到本章的知識框圖（如圖2）。

圖2

實數(shù)這一章的知識是我們學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程以及解三角形等知識的基礎(chǔ)，為今后數(shù)系的擴充提供了范式，相信同學(xué)們一定能夠?qū)W好本章的有關(guān)內(nèi)容。