特殊支承連續箱梁彎扭性能分析

魏彥紅，張元海

(蘭州交通大學 土木工程學院，甘肅 蘭州 730070)

實際工程中，薄壁箱梁的受力和變形普遍具有彎扭耦合特點。因此，薄壁結構的撓曲扭轉力學性能一直是橋梁工程領域內關注的課題[1-4]。隨著交通事業的快速發展，橋梁設計理念也隨之改變。為適應道路的走向，克服地理環境的限制，合理跨越河谷和既有線路，斜支承形式的箱梁橋成為橋梁設計者的選擇方案之一[5]。因特殊的支承形式，即使在豎向對稱荷載作用下，斜支承箱梁的內力和變形也會存在彎扭耦合特點。與常規支承的正交箱梁相比，斜支承箱梁的分析更加復雜。近年來，國內外一些學者也對這種特殊支承形式的箱梁作了不少研究[6-11]。文獻[12]提出了一種全面考慮剪力滯效應和約束扭轉翹曲變形的10自由度薄壁箱梁單元，編寫了用于分析斜支承連續箱梁撓曲扭轉力學性能的有限元程序，通過對一斜支承三跨連續箱梁的研究，發現剪力滯和約束扭轉效應對箱梁正應力的分布有重要影響。文獻[13]在此基礎上，推導了用于分析斜支承連續承箱梁約束扭轉力學性能的薄壁箱梁單元，對比分析了常規支承和斜支承的連續箱梁在豎向偏心荷載作用下力學性能的差異，研究發現斜支承連續箱梁的扭轉特性更加突出。文獻[14]給出了豎向對稱荷載作用下，計算斜支承連續梁的平面桿系有限元方法，同時還給出了扭矩荷載作用下，計算斜支承連續梁的建議，但未作進一步的具體論述。文獻[15]用三維有限元法研究了斜交角的變化對組合桁架連續梁橋內力的影響。文獻[16]用解析法分析了剪切變形對單跨斜梁撓度計算的影響，分析結果顯示斜交角度的變化與剪切變形對撓度計算的影響呈正相關。當然，文獻[17-18]利用有限元商業軟件對斜支撐橋梁進行分析。綜上所述，現有文獻多為用有限元數值方法分析斜支承連續箱梁，而用解析法研究此類箱梁的文獻并不多見。

本文按力法原理，以斜支點的約束反力為多余未知力，建立了斜支承兩跨連續箱梁的力法方程，給出了多余未知力的解析解。通過對分別按自由扭轉和約束扭轉理論計算的斜支承連續箱梁的內力、變形和正應力作對比分析，給出了按自由扭轉理論分析斜支承連續箱梁撓曲扭轉的簡化計算方法。

1 簡支梁約束扭轉微分方程初參數解

若作用在簡支梁上的分布扭矩荷載m(z) 沿梁軸線性分布，且力矢指向z軸正向時，約束扭轉控制微分方程可表示為扭轉角θ(z) 的四階常系數非齊次線性微分方程[19]為

( 1 )

當簡支梁上無荷載作用時，則m(z)=0。式( 1 )的齊次微分方程的初參數解為[19]

( 2 )

( 3 )

( 4 )

T(z)=T0

( 5 )

式中：θ0、β′0、B0、T0為初參數，分別為z坐標起始位置的扭轉角、廣義翹曲位移、雙力矩、扭矩。

1.1 集中扭矩荷載作用下的初參數解

圖1 承受集中扭矩荷載的簡支梁

簡支梁約束扭轉控制微分方程的邊界條件為：在邊界處，扭轉角θ和雙力矩B皆為0。根據約束扭轉齊次微分方程的初參數解和簡支約束的邊界條件，可得到在集中扭矩荷載作用下，簡支梁的初參數解[19]為

( 6 )

( 7 )

( 8 )

( 9 )

式中：‖d表示帶有此符號的項僅在z>d時才計入。

1.2 均布扭矩荷載作用下的初參數解

圖2為承受均布扭矩荷載的簡支梁，在梁上取微段dξ，ξ為dξ所在位置到坐標原點的距離。

圖2 承受均布扭矩荷載的簡支梁

均布扭矩荷載作用下，簡支梁初參數解[19]為

(10)

(11)

(12)

T(z)=ml/2-mz

(13)

2 斜支承兩跨連續箱梁的力法原理

即使在豎向對稱荷載作用下，斜支承箱梁在發生彎曲變形時還會發生扭轉變形，見圖3。圖3為中墩斜置的兩跨連續箱梁，承受豎向均布偏載作用，偏心距為e，以x軸正向為正。中墩兩支座連線與梁軸線夾角的余角為斜交角φ，兩斜支點所在橫截面的z坐標值分別為d1和d2。選取圖3(c)、圖3(d)所示的簡支箱梁為基本結構，將斜支點的約束代之以相應的多余未知力r1和r2。按力法原理，原結構和基本體系在斜支點處的變形相同，可建立斜支承兩跨連續箱梁的力法方程。

圖3 中墩斜置的兩跨連續箱梁的原結構及基本體系

本文所提出的方法對鋼箱梁和預應力混凝土箱梁都適用，對于預應力混凝土箱梁而言，預應力筋對梁體的作用可以用等效荷載代替，然后按本文提出的方法進行分析，所以本文對預應力效應不再專門進行研究。

2.1 荷載等效及斜支點變形描述

荷載等效及斜支點的變形見圖4，由圖4(a)可知，豎向均布偏載q可以等效成過截面形心的豎向均布荷載qe和繞截面扭轉中心的均布扭矩荷載q·e。δiq(i=1,2)為由q引起的第i個多余未知力作用位置沿其方向上的位移，由等效荷載qe產生的位移ζiq和q·e產生的位移θiq·ei組成。由圖4 (b)可知，多余未知力ri可以等效成過截面形心的豎向集中荷載rie和繞截面扭轉中心的集中扭矩荷載ri·ei。δii是由單位多余未知力ri=1引起的第i個多余未知力作用位置沿其方向上的位移，由單位等效荷載rie=1產生的位移ζii和單位多余未知力等效扭矩1·ei產生的位移θii·ei組成。q、qe、ri和rie以y軸正向為正；q·e和ri·ei以力矢指向z軸正向為正；ei為斜支點到該點所在橫截面扭轉中心的距離，以使等效后的扭矩荷載力矢指向z軸正向時為正；ζiq和ζii以y軸正向為正；θiq和θii以橫截面繞扭轉中心逆時針轉動為正。

圖4 荷載等效及斜支點變形

2.2 力法方程及其解

在原結構中，斜支點位置的豎向位移受到支座約束，所以其豎向位移為0。根據變形協調條件，原結構和基本體系在斜支點的豎向位移相等，可建立的力法方程為

(14)

求解式(14)的方程組可得到其解為

r1=

(15)

r2=

(16)

ζ可以通過圖乘法計算，也可按材料力學中的公式求得，即

(17)

(18)

(19)

當不考慮橫截面的翹曲變形時，θ可按材料力學的方法計算，即

θ11=-θ22=e1d2d1/(GJdl)

(20)

(21)

θ1q=θ2q=qed1d2/(2GJd)

(22)

當考慮橫截面的翹曲變形時，θ可按式( 6 )、式(10)計算，即

(23)

(24)

(25)

3 斜支承兩跨連續箱梁算例分析

本文以跨徑為(40+40) m、中墩斜置的兩跨連續箱梁為例，計算簡圖見圖5。材料選C40混凝土，彈性模量E=34.5 GPa，剪切變形模量G=14.45 GPa，泊松比ν=0.2。箱梁所承受的荷載見圖5(a)，可分為兩種工況，工況一為作用于箱梁縱向對稱面與頂板交線的豎向對稱均布荷載P=100 kN/m，工況二為作用于箱梁頂板與左腹板(相對與橫截面正面)交線的豎向偏心均布荷載P=100 kN/m。箱梁的橫截面尺寸及正應力計算點分布見圖5(b)。

圖5 斜支承箱梁算例簡圖(單位：m)

為驗證本文方法的可靠性，用Ansys19.1中的Shell63單元建立了斜交角φ為30°的斜支承兩跨連續箱梁橋模型。全橋共劃分為39 688個單元和39 762個節點；斜支承兩跨連續箱梁的約束布置見表1，約束分別施加于節點上。在腹板與頂板的交線上建立表面效應單元Surf156，用于施加均布線荷載。Shell63單元建立的箱梁模型無法直接提取橫截面的內力，Ansys中提供了兩種計算橫截面的內力方法，分別為路徑積分法和節點力求和法，本文采用后者來計算在兩種工況作用下箱梁各個截面的彎矩和扭矩。

表1 斜支承兩跨連續箱梁的約束布置

將用本文方法計算的彎矩和扭矩與Ansys計算值作比較。因篇幅所限，本文僅展示了斜交角為30°時，豎向均布偏載作用下的結果。豎向均布荷載作用下的彎矩值比較見表2。由表2可知，豎向均布荷載作用下，按約束扭轉計算得到的彎矩與Ansys計算值相吻合。因本文未考慮剪力滯效應和畸變的影響，且節點力求和法對應力結果作二次處理時存在一定誤差，所以兩種理論計算的扭矩值與Ansys值的偏差較大。豎向均布偏載作用下的內力見圖6，但從圖6(b)的扭矩分布曲線可以看出其變化規律完全一致，從而驗證了本文方法是可行的。計算結果還表明，豎向均布荷載作用下，按自由扭轉和約束扭轉計算的彎矩、扭矩的分布曲線幾乎重合，各控制截面的偏差均小于5%。

表2 豎向均布荷載作用下的彎矩值比較

圖6 豎向偏心均布荷載作用下的內力

斜交角等于30°時，豎向均布偏載作用下，按自由扭轉和約束扭轉計算的斜支承兩跨連續箱梁的變形見圖7，由圖7可知，兩種方法計算的撓度、扭轉角的分布曲線幾乎重合，各控制截面的偏差均小于5%。

圖7 豎向偏心荷載作用下的變形分布

兩種荷載工況作用下，按約束扭轉理論計算的雙力矩分布見圖8。由圖8可知，雙力矩沿梁軸的分布具有明顯的局部特征，僅在斜支點截面及附近2倍梁高范圍的截面上出現較大值。在豎向對稱均布荷載作用下，雙力矩絕對值隨斜交角的增大而增大，沿梁軸的分布具有反對稱性。在豎向偏心均布荷載作用下，隨著斜交角的增大，Ⅱ-Ⅱ截面的雙力矩絕對值呈現出先減小再增大的趨勢，Ⅲ-Ⅲ截面的雙力矩絕對值呈現出先增大后減小的變化趨勢，沿梁軸的分布不具有對稱性。

圖8 豎向均布荷載作用下的雙力矩

為論證上述結論對不等跨斜支承兩跨連續箱梁也成立，本文對跨徑(30+50) m的不等跨連續箱梁在豎向均布荷載作用下的力學性能進行了研究，箱梁的截面尺寸及材料的性質見3節。斜交角為30°時，分別按約束扭轉與自由扭轉計算得到的彎矩、雙力矩隨斜交角度的變化規律見圖9。通過對不等跨連續箱梁的計算可看出，對等跨斜支承連續箱梁所得出的結論可以推廣到不等跨箱梁。

圖9 豎向均布偏載作用下不等跨連續箱梁的彎矩、雙力矩

按自由扭轉理論計算斜支承連續箱梁橫截面的正應力時，沒有考慮橫截面翹曲變形的影響。為計入雙力矩對橫截面正應力的貢獻，本文引入正應力修正系數λ，λ表示按約束扭轉理論計算出的某個橫截面上指定計算點的正應力值與按自由扭轉理論計算出的該點的正應力值之比。

當斜交角為30°時，兩種荷載工況作用下各計算點的正應力修正系數沿梁軸的變化曲線見圖10。

圖10 正應力修正系數沿梁軸的變化規律

由圖10可知，正應力修正系數在斜支點截面出會現極值，但其影響范圍很小；在反彎點附近截面的修正系數也會出現極值，彎矩為零的截面甚至會出現無窮間斷點，但此時的彎矩很小不作為設計的控制截面。所以在計算斜支承兩跨連續箱梁橫截面正應力時，可先按自由扭轉計算，再乘以相應的修正系數。由圖10(a)可知，在豎向對稱均布荷載作用下，斜支點截面及附近2倍梁高范圍內截面的正應力修正系數可取1.22，其它梁段內截面的正應力修正系數取1.02；由圖10(b)可知，在豎向偏心均布荷載作用下，斜支點截面及附近2倍梁高范圍內截面的正應力修正系數可取1.31，其它梁段內截面的正應力修正系數取1.10。

為了研究斜交角變化對正應力修正系數的影響，將兩種荷載工況作用下，控制截面上各計算點的正應力修正系數隨斜交角的變化見表3～表8。

表3 豎向對稱均布荷載作用下箱梁截面 a點的修正系數λ值

表4 豎向對稱均布荷載作用下箱梁截面 b點的修正系數λ值

表5 豎向對稱均布荷載作用下箱梁截面 c點的修正系數λ值

由表3～表5可知，在豎向對稱均布荷載作用下，斜交角的變化對Ⅱ-Ⅱ截面上a點，Ⅲ-Ⅲ截面上b、c兩點的正應力修正系數影響較大，對其它截面上各計算點的正應力修正系數影響很小。對同一斜交角，a點的正應力修正系數在Ⅱ-Ⅱ截面達到最大值，b、c兩點正應力修正系數均在Ⅲ-Ⅲ截面達到最大值。

表6 豎向均布偏載作用下箱梁截面 a點的修正系數λ值

表7 豎向均布偏載作用下箱梁截面 b點的修正系數λ值

表8 豎向均布偏載作用下箱梁截面 c點的修正系數λ值

由表6～表8可知，在豎向偏心均布荷載作用下，斜交角的變化對跨中截面和斜支點截面上各計算點的正應力修正系數影響較大，對其它截面上各計算點的正應力修正系數影響很小。對同一斜交角，b、c兩點正應力修正系數均在偏載作用一側斜支點截面達到最大值。隨著斜交角的增大Ⅱ-Ⅱ截面的雙力矩從負值變為正值，所以Ⅱ-Ⅱ截面內各計算點的正應力修正系數會出現小于1和大于1兩種情況。

4 結論

本文利用力法原理建立了斜支承兩跨連續箱梁的力法方程，分別按自由扭轉理論和約束扭轉理論計算了一斜支承兩跨連續箱梁的內力、變形和橫截面正應力，并用Ansys軟件對所計算的內力進行了校核，通過本文的研究，得出如下結論：

(1) 對比用本文方法和Ansys軟件計算的斜支承兩跨連續箱梁的彎矩和扭矩分布圖，可以發現二者計算的結果相吻合，驗證了用本文方法的可靠性。

(2) 分析斜支承兩跨連續箱梁時，按自由扭轉理論計算的彎矩、扭矩、撓度和扭轉角與按約束扭轉理論計算的結果相差甚小，因此在工程計算時可直接按自由扭轉理論計算彎矩、扭矩、撓度和扭轉角，避免按約束扭轉計算時的復雜性。

(3) 斜支承兩跨連續箱梁的雙力矩沿梁軸線的分布具有明顯的局部特征，僅在斜支點截面出現較大峰值后便快速衰減。因此，雙力矩對箱梁截面正應力的影響也具有局部特征，本文中雙力矩較大的截面主要集中在斜支點及附近2倍梁高范圍的梁段。

(4) 豎向均布荷載作用下，計算斜支承兩跨連續箱梁橫截面正應力時，可先按自由扭轉計算，再乘以相應的修正系數。