廣義算子下約束Hamilton 系統的Noether 定理*

沈世磊， 宋傳靜

（蘇州科技大學 數學科學學院，江蘇 蘇州 215009）

引 言

用奇異Lagrange 函數描述的系統稱為奇異系統，在過渡到相空間描述時，其正則變量之間存在固有約束，稱為約束Hamilton 系統.奇異系統長期活躍在物理學的眾多領域，如楊-Mills 場、旋量場、電磁場、超引力、超弦等理論都與其息息相關.因此奇異系統的基本理論在物理學中，特別是在現代量子場論中有著不可或缺的作用[1-2].Nambu[3]率先研究了奇異Lagrange 系統的正則形式，此后Bergmann 等[4]也奠定了該系統動力學與量子化的基礎.

Noether 定理是德國數學家Noether[5]在1918 年提出的，該定理首次揭示了對稱性與守恒量之間的關系.眾所周知，Noether 對稱性是指Hamilton 作用量在無限小變換下的不變性.通過Noether 定理可以找到不同力學系統的守恒量，而力學系統的守恒量對研究力學系統的動力學行為及穩定性都有指導意義，因此Noether 理論的研究一直以來是諸多學者關注的熱門課題，并且也取得了豐碩的成果[6-11].特別地，李子平[12]提出了奇異系統在相空間中的Noether 定理.

分數階模型相比于整數階模型，能夠更好地描述復雜動力學及物理行為.由于分數階微積分具有記憶性和非局域性，因此被廣泛應用于流體力學、光學、經濟學、信號圖像處理以及生物醫學工程等眾多領域[13-15].分數階算子中應用最為廣泛的是Riemann-Liouville 分數階算子[16]、Caputo 分數階算子[17]、Riesz-Riemann-Liouville 分數階算子[18]以及Riesz-Caputo 分數階算子[19].2010 年，Agrawal[20]提出了一種新的分數階算子，稱其為廣義分數階算子.在特殊情形下，廣義分數階算子可以退化為上述四種算子.

1996 年，Riewe[21-22]首次將分數階微積分納入非保守力學系統，提出并初步研究了分數階變分問題，Frederico 等[23-24]、Agrawal[20]也進一步研究了分數階變分問題.2007 年，Frederico 等[23-24]首次研究了分數階Noether 對稱性與守恒量并建立了Noether 定理.之后，分數階Noether 對稱性與守恒量的研究也取得了重大進展[25-31].特別地，Song 等[32-33]利用Agrawal 提出的廣義分數階算子給出了Birkhoff 系統以及Hamilton 系統的Noether 對稱性與守恒量，然而在廣義分數階算子下，對奇異系統的Noether 對稱性與守恒量的研究還未涉及.因此本文進一步研究了廣義分數階算子下奇異系統的Noether 對稱性，建立并證明了該系統的Noether 定理，同時給出了廣義算子下相應的守恒量.

1 預 備 知 識

2 廣義算子下奇異Lagrange 系統和初級約束

2.1 算子 AαM 下奇異Lagrange 系統和初級約束

注1 令κα(t,τ)=(t?τ)α?1/Γ(α)， 當M=M1，M=M2以 及M=M3時，由式（17）、（26）分別得到左Riemann-Liouville 分數階導數、右Riemann-Liouville 分數階導數以及Riesz-Riemann-Liouville 分數階導數下的Lagrange 方程和初級約束.

2.2 算子 BαM 下奇異Lagrange 系統和初級約束

其中

3 廣義算子下約束Hamilton 方程及相容性條件

3.1 算子 AαM 下約束Hamilton 方程

3.2 算子 BαM 下約束Hamilton 方程

3.3 廣義算子下約束Hamilton 系統的相容性條件

注5 令κα(t,τ)=(t?τ)α?1/Γ(α)， 當M=M1，M=M2以及M=M3時，由式（54）和（55）分別得到左Riemann-Liouville 分數階導數、左Caputo 分數階導數、右Riemann-Liouville 分數階導數、右Caputo 分數階導數、Riesz-Riemann-Liouville 分數階導數以及Riesz-Caputo 分數階導數下初級約束的相容性條件.

4 廣義算子下約束Hamilton 系統的Noether 定理

4.1 算子 AαM 下約束Hamilton 系統的Noether 定理

4.2 算子下約束Hamilton 系統的Noether 定理

注7 令 κα(t,τ)=(t?τ)α?1/Γ(α)， 當M=M1，M=M2以 及M=M3時，由式（68）、（69）和定理3、定理4 分 別得到左Caputo 分數階導數、右Caputo 分數階導數、Riesz-Caputo 分數階導數下分數階約束Hamilton 系統的Noether 對稱性與Noether 準對稱性以及導致的守恒量.

5 算 例

6 結 論

分數階微積分作為各個領域的重要工具，能夠更好地解決一些在整數階導數下無法解決的問題，同時奇異系統也一直備受關注，如相對論運動粒子，楊-Mills 場等都是由奇異Lagrange 量所描述.本文提出并證明了廣義算子下約束 Hamilton 系統的Noether 定理.主要貢獻如下：

1） 給出了廣義算子下奇異Lagrange 方程以及初級約束.

2） 建立了廣義算子下約束Hamilton 系統，并由Poisson 括號導出該系統的相容性條件.

3） 建立并證明了廣義算子下約束Hamilton 系統的Noether 定理.

4） 若令 κα(t,τ)=(t?τ)α?1/Γ(α)， 且當M=M1，M=M2以及M=M3時，可得到基于左（右）Riemann-Liouville分數階導數、左（右）Caputo 分數階導數、Riesz-Riemann-Liouville 分數階導數和Riesz-Caputo 分數階導數的分數階約束Hamilton 系統的對稱性與守恒量.當α →1時，廣義算子下的約束Hamilton 方程退化為經典整數階情況，這與文獻[2]中的結果一致.

廣義算子下奇異系統還有很多問題值得研究，如Lie 對稱性、Mei 對稱性等.此外，時間尺度微積分提供了一種可以同時研究離散系統和連續系統的有效方法，所以時間尺度上廣義算子奇異系統的對稱性與守恒量也是值得研究的.

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