變厚度連續纖維增強復合材料鋪層設計優化方法*

杜 晨， 彭雄奇

（上海交通大學 材料科學與工程學院，上海 200030）

引 言

纖維增強復合材料的使用為結構帶來輕量化的同時，其較高的設計自由度（鋪層順序、鋪層角度、不同厚度處鋪層層數）同樣為復合材料的結構設計帶來了挑戰.因此，如何對纖維增強復合材料進行鋪層設計、優化以得到最佳的結構性能是當前的研究熱點之一[1-2].隨著計算機并行計算能力的提升以及智能算法的發展，多元、離散變量的復合材料鋪層設計優化問題在本世紀得到了廣泛的理論研究.Zehnder 等[2]和Kim 等[3]提出了patch 概念用來定義結構中鋪層順序相同的區域.這種定義方法可以大幅減少設計變量，較易滿足設計約束，并且能很好地保持鋪層的連續性.Kristinsdottir 等[4]提出了混合準則用來避免設計優化中鋪層的不連續性.Soremekun 等[5]和Liu 等[6]提出了分級優化方法，通過將鋪層層數、鋪層順序分開進行優化來逐步得到最優鋪層信息，其中Soremekun 等[5]還提出了經典的benchmark 問題，成為各學者用于檢驗各自優化方法的標準問題.Yang 等[7]提出了層落序列(PDS)概念，通過結構中的最厚鋪層來得到全局連續的鋪層信息，并通過引入罰函數使設計具有更大的自由度.Irisarri 等[8]從航空用復合材料多設計約束出發，通過構建鋪層順序表(SST)準確表達了復雜結構的鋪層設計信息、滿足了設計約束，與前述各優化方法相比，SST 方法更加貼近工程實際，但也更加復雜.

當前復雜纖維增強結構件的鋪層設計優化呈現出理論算法模型開發較多、結合實際工程問題研究較少的特點，這是由于工程問題中眾多設計變量、設計目標、設計約束導致復雜度呈指數式的增長.基于此，本文將從解決實際復雜工程問題的角度出發，充分考慮航空用纖維復合材料的鋪層設計約束，并以遺傳算法作為理論框架，提出了一套具有較強通用性的鋪層設計優化算法，最后利用benchmark 問題對提出的算法進行了分析與驗證.

1 航空用纖維復合材料設計準則

航空航天工業中大多數復合材料結構的鋪層設計通常遵循以下6 條基本設計準則[9]：

1) 對稱(symmetry) 鋪層應沿層合板中面對稱.

2) 平衡(balance) 鋪層角度應保證平衡，其中 + θ 與?θ 應有相同的數量(θ 不包括0°，90°).

3) 鄰接性(contiguity) 相同鋪層角度的鋪層不能連續超過一定的層數.

4) 最大角度差(disorientation) 兩個連續層的鋪層角度差不應超過一定的角度.

5) 10%-準則(10%-rule) 鋪層中0°，±45°，90°鋪層角度最小層數應當不低于總鋪層數的10%.

6) 損傷容限(damtol) 層合板上下外表面不應鋪放0°，90°鋪層.

除了上述常見的6 條基本設計準則外，對于如圖1 所示的層合板結構，通常需要多層尺寸不一樣的預浸料進行堆疊才能形成厚度的連續變化，其中未能鋪滿整個區域的鋪層稱為層降層，而尺寸不一樣的鋪層之間往往會形成圖中所示的樹脂富集區.樹脂富集區的形成會帶來應力集中、疲勞等問題，對此，一些學者展開了理論與實驗上的研究，給出了以下一些其他的設計建議[10].

圖1 連續厚度變化層合板Fig. 1 Continuous thickness varying laminates

7) 覆蓋(covering) 層合板上下表面的覆蓋層不應發生層降.

8) 最大錐度(maximum taper slope) 錐度不應超過7°，即最小錯開距離(層降區的長度)約為層降層厚度的8 倍.

9) 內部連續性(internal continuity) 每3 個連續的下降層應保持1 個連續層.

10) 連續性(continuity) 該準則旨在確保結構的完整性和可制造性，薄層合板的所有層必須覆蓋整個結構.

11) Δn準則(Δn-rule) 相鄰區域間最大數目的層降為Δn，限制相鄰區域之間的厚度變化可以平滑載荷分布，防止應力集中.

2 設 計 變 量

2.1 鋪層厚度變量Nstr

根據厚度分布的特點可以將整個結構劃分為多個區域，各個區域厚度對應的鋪層層數即構成了鋪層變量.對于一個如圖1 所示的厚度變化層合板，可分為3 個區域，從左往右分別為最厚板、過渡區、最薄板，每個區域對應的鋪層層數分別為5，4，3，因此，鋪層厚度變量Nstr=[5 4 3].對于一個厚度分布未確定需要設計的結構，構建該變量時需要滿足Δn準則以及連續性準則.

2.2 鋪層插入順序變量Sins

為了準確表達變厚度結構中的鋪層順序信息，保證理論解的搜索空間，此處參考了文獻[8]中的Sins變量生成方法.Sins是一維數為1 × (Nstr)max的矩陣，矩陣中數字0 對應的序列為全局鋪層鋪放的序列，數字1 ～n對應的序列，則可從最薄板(Nstr)min得到厚度為(Nstr)min+n層合板所需要額外添加鋪層的序列.圖1 對應的鋪層順序變量生成步驟如圖2 所示.對于一個鋪層順序未確定的結構，構建該變量時需要滿足覆蓋、最大錐度以及連續性準則.

圖2 鋪層順序變量生成步驟Fig. 2 The generation steps of stacking sequence variables

2.3 鋪層角度變量Slam

鋪層角度變量Slam也是一維數為1 × (Nstr)max的矩陣，其代表結構最厚處每一層的鋪層角度信息，Sins鋪層序列信息對應到Slam中則可以得到相應的鋪層角度信息，其過程如圖3 所示.對于一個鋪層角度未確定的結構，構建該變量時需要滿足對稱、平衡、鄰接性、最大角度差、10%-準則以及損傷容限這6 條基本設計準則.

圖3 由Sins 和Slam 得到鋪層角度信息Fig. 3 The ply angle information obtained from Sins and Slam

3 鋪層優化中的遺傳算子、優化策略以及優化流程

纖維復合材料的優化設計往往是一個多變量離散優化問題，當前解決此類問題常用的方法是利用啟發式算法[9].鋪層優化遺傳算法所涉及的遺傳算子以及為了增加全局、局部解搜索能力所引入的優化策略如下所示.

3.1 交叉算子

交叉算子是指兩個配對的父代染色體進行部分基因互換得到對應兩個子代個體的操作，其得到的子代個體有很大的幾率繼承父代優秀的基因，因此子代有一定的幾率要優于父代個體.相較于其他進化算法，交叉算子是遺傳算法中最具特色且最為重要的遺傳算子.根據前述三個變量各自的特點，共采用了三種交叉算子.

3.1.1 針對鋪層厚度變量Nstr的雙點交叉算子

雙點交叉是指在染色體中隨機選擇兩個交叉點，相互交換兩個父代個體交叉點之間的染色體序列，雙點交叉操作過程如圖4 所示.

圖4 雙點交叉過程Fig. 4 The process of 2-point chiasma

3.1.2 針對鋪層插入順序變量Sins的順序交叉(OX)算子

Sins相較于Nstr和Slam變量不一樣，其矩陣中非0 元素只能出現一次，該變量與旅行商問題(TSP)中每個城市只能訪問一次，根據城市訪問的先后順序建立的數組具有相似的特點.因此，參考TSP 問題中的OX 算子來對Sins染色體進行交叉操作.OX 操作如圖5 所示，其首先在染色體中隨機選擇兩個交叉點，隨后將第一個父代交叉點之間的基因序列復制至第二個子代個體對應的位置，隨后從第二個父代個體第二個交叉點開始從后向前依次選出與子代2 中不重復的基因，最后同樣從后向前依次放入至子代2 個體中的空位處.對于子代1 個體的生成也是同樣的原理.

圖5 OX 過程Fig. 5 The process of OX

3.1.3 針對鋪層角度變量Slam的單點交叉算子

單點交叉是指在染色體中隨機選擇一個交叉點，相互交換兩個父代個體交叉點之后的染色體序列，單點交叉操作過程如圖6 所示.

1.2.1 信息環境外部歸因。一是特殊的地理自然條件是我國農村形成信息貧困的客觀原因。農村地區由于受歷史、地理條件等諸多因素的制約，形成社會信息環境落后，信息產品供需矛盾突出，信息產品生產不足和信息基礎設施薄弱。二是當地的經濟發展水平是導致信息貧困的主要因素。經濟發展水平決定了農民對信息產品的消費能力和信息資源的生產能力以及信息的傳播能力。三是政府投入與政策扶持是消除信息資源分布不均衡的主要外力。農民擁有信息資源量少，可接觸信息媒介種類和信息內容單一，這就要強調政府的主體責任，強力推動農村信息化建設。

圖6 單點交叉過程Fig. 6 The process of single-point chiasma

3.2 變異算子

變異是指兩個父代個體在進行交叉復制時，由于某些偶然因素，復制出現了差錯從而產生了新的基因序列的過程.在實際進化過程中變異出現的概率非常低，但其作為遺傳算子之一同樣具有非常重要的作用，適當的選定變異概率可以增加種群的多樣性，避免尋優提前陷入局部最優的情況發生.根據前述三個變量各自的特點，共采用了兩種變異算子.

3.2.1 針對鋪層厚度變量Nstr以及鋪層角度變量Slam的單點變異算子

單點變異是指在染色體中隨機選擇一個突變位置，將該位置處的基因值隨機替換成另一個范圍內的基因值，單點變異過程如圖7 所示.

圖7 單點變異過程Fig. 7 The process of single-point mutation

3.2.2 針對鋪層插入順序變量Sins的反轉變異算子

反轉變異是指在染色體中隨機選擇一個基因序列，并將該序列的基因順序顛倒，反轉變異過程如圖8 所示.

圖8 反轉變異過程Fig. 8 The process of swap mutation

3.3 選擇算子

選擇算子是用來模擬自然界環境中的優勝劣汰過程，該算子通過特定規則從父代種群中選擇合適的個體遺傳至子代種群中，以此來提高后代種群的質量，從而向最優種群進化.選擇算子可以提高種群的適應度值，但是同時會降低種群的多樣性.選擇算子含有多種，本文采用錦標賽選擇作為每一代種群的選擇算子.

3.4 每一子代種群鋪層角度變量Slam 的“修復”策略

由于考慮的約束條件較多，對于一個滿足所有約束的父代Slam種群在經過遺傳操作后得到的子代種群，其大多數個體均不能滿足層合板設計約束.對于此問題，解決方法主要分為兩類，一類是SST 方法中窮舉出可行解，隨機選擇一個個體作為后代解.該方法缺點非常明顯，當鋪層層數增加，可行解將成指數倍數增長，此時窮舉法帶來的計算成本將大大增加.

另一類則是當前較為新穎的“修復”策略，該方法針對交叉后的子代個體，對其染色體中不滿足約束的基因序列進行逐個替代，從而最終得到滿足約束的子代種群.該方法在得到可行解的同時最大程度保留了父代的基因，從而保證了局部搜索的效率.考慮到實際工程問題中鋪層層數較多的問題，選擇合適的“修復”策略將很大程度上影響運算效率.基于Fedon 等[11]提出的relay 方法所用的“修復”策略，流程如圖9 所示.

圖9 用于變量Slam 的修復策略[11]Fig. 9 The repair strategy for Slam variable[11]

3.5 精英保留策略

精英保留策略是指父代在進行遺傳操作前選出其中適應度值最大的個體，直接遺傳至下一代，不參與中間的遺傳操作，以避免破壞優良的父代基因.由于考慮的約束較多，Slam變量在遺傳結束后還要進行染色體的“修復”操作，這導致了子代種群多樣性的大大增加，算法全局搜索能力較強、局部搜索能力較弱的特點.為了使大的工程問題盡快能收斂到較優解，節約計算成本，因此此處引入了精英保留策略以加快算法的局部搜索能力.

3.6 優化流程

這里給出優化算法中所用的遺傳算子后，基于遺傳算法框架，建立了如圖10 所示的優化流程，整個優化流程編碼在MATLAB 中完成.對于設計目標與變量之間無明確函數關系，需要使用CAE 進行分析的工程問題，往往需要進行軟件的二次開發，多個軟件間進行數據交互、聯合處理才能得到相應的目標參數值，圖10 同樣給出了對應的解決方案流程.

圖10 鋪層優化流程Fig. 10 The layering optimization process

4 基于經典benchmark 問題的算法驗證

通過一個經典的問題算例來驗證算法的尋優能力.該算例由Soremekun 等[5]于2002 年提出，其模型圖如圖11 所示.整個結構由18 塊平板組成，假設每塊平板四邊簡支，并且承受恒定的雙向壓縮載荷，其中平板采用IM7/8552 碳纖維單向帶制成，單向帶厚度為0.191 mm，材料參數為E1=141 GPa，E2=9.03 GPa，G12=4.27 GPa，μ12=0.32.求解每塊平板在不發生屈曲且滿足設計準則的前提下，總重量最小的鋪層設計.

圖11 經典benchmark 問題算例[5]Fig. 11 Classic examples of benchmark problems[5]

4.1 優化問題分析

該優化問題優化目標為最小化結構總重量minW(x)，直接優化約束為各板不發生屈曲，即λi≥1(i=1,2,···,18)，間接約束為各層合板需要滿足的各設計準則，設計變量為厚度、鋪層順序、鋪層角度.

根據層合板屈曲方程可得屈曲因子計算表達式：

其中Dij為彎曲剛度矩陣D中的元素，D可由經典層合板理論計算獲得；mx和my為平板彎曲時x和y方向上的半波數；a和b為各平板分別在x和y方向上的長度.

在優化過程中，很有可能出現屈曲失效即不滿足約束的最優個體，對于此種情況，可以引入罰系數對超出約束的部分進行懲罰，對此，參考Yang 等[7]提出的適應度函數，其表達形式為

其中fi為結構總重量；gcr,i=1?λi；β為罰因子，用于懲罰適應度值高于要求的不可行解；ε 為獎勵因子；C為常數，用于增加不可行解的懲罰量.β，ε，C的數值此處分別取為10，0.01，1.

4.2 優化結果

為了與Irisarri 等[8]提出的SST 優化方法結果有較好的可比性，考慮了第1 節中所列出的所有設計約束，這與文獻[8]中解決benchmark 問題所用的設計準則一致.其中，優化benchmark 問題所用算法參數設定如表1所示.此外考慮了兩種優化類型，其中一種鋪層角度可取值為[0° ±45° 90°]，另一種鋪層角度可取值為[0° ±15°±30° ±45° ±60° ±75° 90°]，設計問題更加復雜.

表1 優化算法參數取值Table 1 Optimization algorithm parameter values

4.2.1 滿足所有設計準則，鋪層角度取[0° ±45° 90°]

常見的鋪層角度取值通常為[0° ±45° 90°]，因此，首先考慮鋪層在此取值下算法的尋優能力.尋優結果如圖12 所示，橫坐標為進化代數，縱坐標為結構最小重量.從圖中尋優曲線變化與取值可以看出，5 次尋優曲線平均在700 代左右收斂至全局最優解，且每次最終收斂得到的最優解基本均在29.3 kg 以下.其中5 次收斂中的最優解變量取值如表2 所示，由于奇偶數層的存在以及屈曲裕度的過剩，對收斂到的厚度變量Nstr進一步調整可得到更少的層數(finalNstr).表3 為本優化算法與SST 優化算法最優解的對比，其中SST 方法得到的最優解是在鋪層角度取[0° ±15° ±30° ±45° ±60° ±75° 90°]時得到的.從表中對比可以看出，此次優化得到的結構最小重量要小于SST 方法得到的結構最小重量，并且各區域層合板均未發生屈曲，滿足設計要求.其中總鋪層層數比SST 多一層，而重量更輕是因為不同區域的平板長寬度不一樣導致的.相較于SST 方法中每層鋪層角度有12 種選擇，此處的變量取值范圍更小，但最終收斂得到了更優的解，說明了SST 方法在全局尋優能力上仍有待提升.

圖12 4 種可選鋪層角度下最小重量-進化代數收斂曲線Fig. 12 Minimum weight-generation convergence curves under 4 alternative ply angles

表2 四種可選鋪層角度下最優解變量取值Table 2 Variable value of the optimal solution under 4 alternative ply angles

表3 與SST 方法最優解的比較Table 3 Comparison with the optimal solution of the SST method

4.2.2 滿足所有設計準則，鋪層角度取[0° ±15° ±30° ±45° ±60° ±75° 90°]

最后考慮了與SST 方法中一致的鋪層角度可選取值，尋優結果如圖13 所示，從圖中尋優曲線變化與取值可以看出，5 次尋優曲線平均在1 000 代以內收斂至全局最優解，這相較于SST 方法在2 000 代左右收斂仍表現出更優的收斂速度，全局尋優效率提升近50%，并且每次最終收斂得到的最優解基本均在29.4 kg 以下.此外在SST 方法中，在優化進行至2 000 代左右時，所有優化曲線對應的結構最小重量要小于30 kg，圖13在優化進行至600 代左右時即達到同樣的優化效果，證明了所提出的優化方法具有更佳的局部尋優能力.其中5 次收斂得到的最優解變量取值如表4 所示，表5 為此次優化得到的最優解與SST 優化算法最優解的對比.從表中可以看出，兩次不同鋪層角度取值收斂得到的最小重量均要優于SST 算法得到的最優解，由此可以得出本文提出的算法具有更優的全局與局部搜索解的能力.

圖13 12 種可選鋪層角度下最小重量-進化代數收斂曲線Fig. 13 Minimum weight-generation convergence curves under 12 alternative ply angles

表4 12 種可選鋪層角度下最優解變量取值Table 4 Variable values of the optimal solution under 12 alternative ply angles

表5 與SST 方法最優解的比較Table 5 Comparison with the optimal solution of the SST method

5 結 論

1) 本文針對航空用纖維復合材料較多的設計約束，通過逐步構建三個變量滿足所有的鋪層約束，準確表達了結構厚度分布以及鋪層信息.相較于Irisarri 的方法舍棄了構建SST 這一步，具有更快、更廣的可行解搜索能力.

2) 本文以遺傳算法作為鋪層優化算法框架，定義了三個設計變量分別對應的遺傳算子，設計了適用于多鋪層角度設計變量的“修復”策略，引入了精英保留策略，在保證鋪層優化算法全局尋優能力的同時，加快了算法局部尋優的能力.

3) 本文將鋪層優化算法用于解決經典benchmark 問題，證明了所提出方法的全局、局部尋優能力.以此作為理論基礎，后續將進行相應的實例化應用.

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