粒子群優化與Kriging 模型相結合的結構非概率可靠性分析*

喬心州， 陳永婧， 劉 鵬， 方秀榮

（西安科技大學 機械工程學院，西安 710054）

引 言

工程結構往往存在大量不確定因素，可靠性方法是處理上述不確定性因素的有效手段之一.傳統的概率可靠性方法已得到廣泛應用，然而由于條件限制，許多情況下難以獲得用于確定概率分布的足夠樣本信息.近年來，能夠處理有限樣本信息的非概率可靠性方法受到廣泛關注.

Ben-Haim[1]首次提出了非概率可靠性的概念.Elishakoff 等[2]針對此概念提出了一種基于非概率安全系數的可靠性度量，該度量不是一特定數值而是一區間值.與概率可靠性指標類似，郭書祥等[3]提出了一種基于區間模型的非概率可靠性指標，并闡述了該指標的物理和幾何意義.Jiang 等[4]發展了針對該可靠性指標的半解析法.曹鴻鈞和段寶巖[5]提出了一種基于橢球模型的非概率可靠性指標，該指標采用標準空間中原點到失效面的最短歐式距離度量可靠性.Jiang 等[6]針對上述可靠性指標提出中心點法和設計點法兩種求解方法.Meng 等[7]提出了一種基于p范數的超參數凸模型可靠性指標.Meng 等[8]進一步提出了一種基于指數凸模型的可靠性指標.借鑒概率可靠度的概念，Wang 等[9]、Jiang 等[10]進一步提出了區間模型和橢球模型的非概率可靠度概念，得到了不確定變量域落入可靠域的體積與整個不確定變量域的體積的比值度量可靠性.Jiang 等[10]根據此概念進一步提出了橢球模型非概率可靠度的一階近似法和二階近似法.

上述可靠性分析方法均是針對顯式結構功能函數，在復雜工程結構中通常面臨的是隱式結構功能函數，對其進行可靠性分析通常需要采用計算成本較高、樣本需求量大的有限元分析或Monte-Carlo 模擬.鑒于此，采用計算量小、樣本需求少的代理模型來代替原分析模型對結構進行可靠性分析成為了一種有效手段.在基于代理模型非概率可靠性分析方面，陳江義等[11]利用響應面法對橢球模型與區間模型進行非概率可靠性分析.Bai 等[12]提出了一種基于不含交叉項二次響應面法的非概率可靠性分析方法.馬超等[13]用支持向量機法擬合結構功能函數，并將該方法應用于實際的飛機機翼可靠性分析中.潘林鋒等[14]用Kriging 模型擬合回歸極限狀態方程，并用HL-RF 修正法計算了非概率可靠性指標.鄭嚴[15]利用支持向量機和三種改進粒子群算法進行了結構可靠性分析及優化設計，主要解決了隱式結構概率及非概率可靠性分析問題.但Kriging 模型的搜索方式對初始值具有依賴性，初始值的設置誤差會導致后續模型建立時預測結果陷入局部最優的情況，且Kriging 模型采用模式搜索法進行單點搜索，搜索路徑單一.

針對Kriging 模型的上述不足，本文提出了一種粒子群優化(particle swarm optimization，PSO)與Kriging 模型相結合的非概率可靠性分析方法.本文的結構安排如下：第1 節對基于橢球模型的非概率可靠性指標進行概述；第2 節給出了本文所提方法及其實施流程；第3 節通過三個算例驗證了本文方法的有效性；第4 節對本文進行總結.

1 基于橢球模型的非概率可靠性指標

考慮某工程結構功能函數：

為方便對結構可靠性進行定義，需首先將不確定參數X線性變換為其標準化形式δ，相應的結構功能函數和不確定域分別變換為G(δ)和 一個中心在原點的單位超球δTδ≤1.圖1 給出了二維空間的線性變換.通過上述處理，可有效避免由于工程實際問題中不確定參數的數量級不同導致病態矩陣的產生，同時變量的無量綱化也便于結構可靠性的定義與比較.

圖1 線性變換與可靠性指標Fig. 1 The linear transform and the reliability index

此時，結構的非概率可靠性指標 η可定義為標準化空間內原點到失效面G(δ)=0的最短距離，可通過如下優化問題求解：

上述可靠性指標與傳統的概率可靠性指標幾何意義相同，可采用HL-RF 法進行求解.

2 PSO-Kriging 方法的非概率可靠性分析

考慮到許多工程實際問題中結構功能函數均為隱式的，以下發展一種將上述非概率可靠性指標與PSOKriging 方法相結合的非概率可靠性分析方法.該方法主要由以下三個部分組成：① 構建Kriging 模型；② 運用PSO 方法對模型相關參數進行尋優；③ 基于代理模型求解可靠性指標.

對于代理模型的建立，首先需要選取合理分布的樣本點.樣本點的選取對后續建模的精度有一定影響，因此對于樣本采樣的最佳策略應在符合采樣精度的前提下，采樣時間最短、采樣點應均勻分布在整個待測區域.Sobol 序列抽樣方法[17]無論樣本點N為多少，均可在面域內取得均勻分布的點，且不會出現局部團簇現象，故本文采用Sobol 序列抽樣方法進行抽樣.

2.1 Kriging 模型的構建

Kriging 模型將需代理求解的未知函數看作是一個隨機過程，其表達的隱函數為

上述最優相關參數的確定為構建最優Kriging 模型奠定了基礎，進而可求解相應的可靠性指標.

2.2 PSO 方法求解模型相關參數

PSO 方法采用多點并行搜索，利用群體中的各個粒子對信息進行共享，每個粒子根據個體極值和群體極值的變化方向判斷自身的搜索方向，從而使得整個群體的運動在求解空間中產生從無序到有序的演變過程，無論初始值的位置如何，都可大概率尋找到最優解.本文采用PSO 對相關參數θ 進行尋優.

在尋優過程中，以式(9)作為適應度函數，以Kriging 模型的n個樣本點作為粒子，其中第i個粒子位置為xi，根據適應度函數，將第i個粒子的個體極值pbest記 為pi， 群體最優位置極值gi為 所有pbest的最優解.每個粒子的移動速度記為vi，則粒子根據每次位置判斷下次更新的速度和位置為

式中，k為當前迭代數， r and 為 ( 0,1)之 間的隨機數， ω為 慣性權重因子，更新的學習因子分別為c1，c2.當粒子群搜索滿足式(9)時，最優 θ值即為該粒子的全局最優位置gbest.此時構建的Kriging 模型為最優模型，可據此模型擬合出功能函數，利用式(4)計算設計點和可靠性指標η.

由于代理模型是近似擬合，因此需要多次擬合結構功能函數并求解可靠性指標，直至滿足收斂條件|ηi?ηi?1|≤ε， ε為給定的允許值.

2.3 所提方法實施過程及流程

本文所提方法流程如圖2 所示.

圖2 算法流程圖Fig. 2 The flowchart for the proposed method

步驟1 利用Sobol 序列抽樣選取n個樣本點，根據隱式函數確定對應的函數值.

步驟2 PSO 搜索最優θ 值的過程：

1) 設置初始參數.設置PSO 初始種群個數為N，設定最大迭代次數為Iger， 并將慣性權重設為 ω，學習因子為c1，c2，初始種群的位置以及粒子的位置參數及速度限制范圍.

2) 通過式(9)計算每個粒子的個體適應度值，比較當前粒子的適應度與歷史最佳適應度pbest，如果當前位置的適應值更高，更新粒子群的粒子的個體最優適應度pbest.

3) 將粒子當前位置的適應值與其全局最佳位置gbest對應的適應值進行比對，如果當前位置的適應值更高，則用當前位置更新全局最佳位置gbest.

4) 更新每個粒子的速度與位置.

5) 判斷是否滿足式(9)，若滿足，則得出最優的θ；若不滿足，則繼續迭代.

步驟3 得出最優的θ 值，構建相應的Kriging 模型.

步驟4 由預測出的Kriging 模型求解非概率可靠性指標及設計點坐標.

步驟5 若可靠性指標滿足收斂條件| ηi?ηi?1|≤ε，則停止；若不滿足，則在當前設計點附近重新確定樣本范圍，返回步驟1.

3 算 例

式中，X1∈[0.0,1.0]，X2∈[0.0,1.0]. 在本算例中，樣本M=50， 參數c1，c2均 設置為0.3，慣性權重 ω均設為0.75，最大迭代次數為10 次，速度限制為V∈[?1,1]； 迭代收斂標準為| ηi?ηi?1|≤0.001.

表1 給出了相關系數為0.2 時本文方法的迭代過程；表2 列出了不同相關系數下，本文方法、Kriging 方法和HL-RF 法(參考值)的對比結果；圖3 給出了不同相關系數下兩種方法的相對誤差.

圖3 相對誤差對比圖（算例1）Fig. 3 Comparison of relative errors (example 1)

表1 相關系數為0.2 的迭代過程Table 1 The iterative process for a correlation coefficient of 0.2

表2 不同相關系數的可靠性指標（算例1）Table 2 Reliability indexes for different correlation coefficients (example 1)

算例2 考慮圖4 所示的刮板輸送機GB/T 12718 鏈輪，在其鏈窩處受到一個120 kN 的切向力.在本算例中，齒弧半徑R1， 齒根圓弧半徑R2， 鏈窩部的平面圓弧半徑R3， 短齒根部的圓弧半徑R4以及平環中面至鏈輪中心距離H均為未知但有界的不確定變量，其區間分別為：RI1=[30,40] mm，RI2=[8,10] mm，RI3=[24,36] mm，RI4=[7,11] mm和HI=[125,151] mm， 齒頂位移最大許用值為dmax.

圖4 鏈輪Fig. 4 A chain wheel

鏈輪的功能函數為

本算例中樣本M=30， 參數c1，c2均 設置為0.2，慣性權重 ω均設為0.75，最大迭代次數為10 次，速度限制為V∈[?1,1]， 迭代收斂標準為| ηi?ηi?1|≤0.001.

表3 給出了相關系數為0.9 時本文方法的迭代過程；表4 列出了不同相關系數下，本文方法、Kriging 方法和參考值(MCS 法)的對比結果；表5 給出了MCS 求解的95%置信區間，表明參考值是有效的；圖5 給出了不同相關系數下兩種方法的相對誤差.

圖5 相對誤差對比圖（算例2）Fig. 5 Comparison of relative errors (example 2)

表3 相關系數為0.9 的迭代過程Table 3 The iterative process for a correlation coefficient of 0.9

表4 不同相關系數的可靠性指標（算例2）Table 4 Reliability indexes for different correlation coefficients (example 2)

表5 MCS 求解的95%置信區間（算例2）Table 5 The 95% confidence intervals of MCS solutions (example 2)

算例3 如圖6 所示的25 桿桁架結構[10]，桁架彈性模量E=199 949.2 MPa ， Poisson 比 μ=0.3，橫向、縱向桿件的長度為L，桿件① ～ ④、? ～ 25 、? ～ ?、⑤ ～ ⑩的截面積分別表示為A1，A2，A3和A4.作用在節點7、9 和11 的豎直載荷分別為F3=1 779.2 kN，F2=2 224 kN和F1=1 779.2 kN， 節點1 的水平載荷F4=1 334.4 kN，節點6 水平位移的最大許用值為dmax. 由于制造與測量過程中出現的誤差，桿件的截面積Ai(i=1,2,3,4)以及桿件的長度L為不確定變量，其不確定區間如表6 所示.

表6 不確定變量的分布參數Table 6 The distribution parameters of uncertain variables

圖6 25 桿桁架Fig. 6 A 25-bar truss structure

該桁架極限狀態函數為

本算例中樣本M=30， 參數c1，c2均 設置為0.2，慣性權重 ω均設為0.75，最大迭代次數為10 次，速度限制為V∈[?1,1]， 迭代收斂標準為| ηi?ηi?1|≤0.01.

表7 給出了相關系數為0 時本文方法的迭代過程；表8 列出了不同相關系數下，本文方法、Kriging 方法和參考值(MCS 法)的對比結果；表9 給出了MCS 求解的95%置信區間，表明參考值是有效的；圖7 給出了不同相關系數下兩種方法的相對誤差.

圖7 相對誤差對比圖（算例3）Fig. 7 Comparison of relative errors (example 3)

表7 相關系數為0 的迭代過程Table 7 The iterative process for a correlation coefficient of 0

表8 不同相關系數的可靠性指標（算例3）Table 8 Reliability indexes for different correlation coefficients (example 3)

表9 MCS 求解的95%置信區間（算例3）Table 9 The 95% confidence intervals of MCS solutions (example 3)

由表1、3、7 可以看出，本文所提的PSO-Kriging 方法均能逐漸收斂于參考值附近，且與參考值誤差較小.

由表2、4、8 可知，不同相關系數下，相比Kriging 方法，PSO-Kriging 方法的計算時間較短，且給出的可靠性指標更接近參考解，表明本文方法具備更高的計算效率與精度.

由圖3、5、7 可以看出，PSO-Kriging 方法的相對誤差對相關系數的變化不敏感，具有較強的魯棒性，而Kriging 方法則對相對系數的變化較敏感.

4 結 論

本文提出了一種PSO 與Kriging 模型相結合的非概率可靠性分析方法，該方法采用PSO 方法得到最優相關參數，避免了Kriging 模型的單向搜索及對初始值敏感的缺點.三個算例分析結果表明，本文方法有效可行，且精度和效率均高于Kriging 模型非概率可靠性分析方法.

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