一類隨機對流擴散方程的反源問題*

趙麗志， 馮曉莉

（西安電子科技大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，西安 710126）

引 言

隨著科學技術的快速發(fā)展，反問題在環(huán)境科學、能源開發(fā)、流體力學、醫(yī)學、金融等領域有了越來越廣泛的應用.所謂反問題就是指用解的一些已知數(shù)據(jù)去重構問題中的未知數(shù)據(jù)[1-3].由于隨機偏微分方程在腦磁成像[4]、光聲成像[5]、超聲成像[6]、天線設計與合成[7-8]等方面有著重要的應用，所以受到了廣大學者的關注.特別地，隨機反源問題作為隨機反問題中的一類，目前已有很多學者做了相關研究，比如文獻[9] 通過Carleman 估計證明了隨機源項的唯一性；文獻[10]研究了一維隨機熱方程模擬的無限桿中的反源問題，并通過求解Fredholm 積分方程重構了隨機源項的均值和方差.

近年來，帶有Hurst 參數(shù)(H∈(0,1))的分數(shù)階Brown 運動在科學和工程領域中有著廣泛的應用，目前關于帶有不同類型隨機源項的時間分數(shù)階擴散方程的反源問題已有一些成果.對于H=1/2的情形，文獻[11]討論了帶有離散隨機噪聲的時間分數(shù)階擴散方程的反源問題；文獻[12] 運用終止時刻的數(shù)據(jù)u(x,T,ω)的統(tǒng)計信息確定了時間分數(shù)階擴散方程的源項f(x)h(t)+g(x)ω˙(t)中 的f(x)和 |g(x)|，更多相關研究可參考文獻[13-17]. 對于H∈(0,1)的 情形，文獻[18]研究了帶有f(x)h(t)+g(x)B˙H(t)隨機源項的時間分數(shù)階擴散方程，并根據(jù)終止時刻的數(shù)據(jù)u(x,T,ω)重 構了f(x)和 |g(x)|；類似地，文獻[19]考慮了另一個時間分數(shù)階擴散方程；文獻[20]為分數(shù)階Gauss 噪聲驅動下的隨機非線性分數(shù)階擴散方程的數(shù)值分析提供了一個統(tǒng)一的框架.目前，由于對帶有分數(shù)階Brown 運動的隨機偏微分方程的討論還處于研究初期，并且關于對流擴散方程還沒有相關的研究，因此，本文將討論如下由分數(shù)階Brown 運動驅動的隨機對流擴散方程：

1 預 備 知 識

2 正 問 題

本節(jié)將在以下假設成立的條件下討論問題(1)的適定性.

假設1 設H∈(0,1)并 且f， σ，g∈L?2(D). 假設h∈L∞(0,T)是一個非負函數(shù)并且有一個正的下界，即h≥Ch>0.

由式 (7)得

所以

證明 根據(jù)式(12)、(20)和(22)易得結論.

3 源項反演問題

本節(jié)將通過終止時刻的數(shù)據(jù)u(x,T,ω)的 一些統(tǒng)計量來重構源項中的f(x)和 σ2(x)，并且分別討論它們的唯一性與不穩(wěn)定性，其中

3.1 f(x)和 σ 2(x)的唯一性

由式(7)可得

3.2 反演 f(x)和 σ 2(x)的不穩(wěn)定性

3.2.1 反演f(x)的不穩(wěn)定性

由積分中值定理，可知

4 數(shù) 值 實 驗

圖1 H =0.9,δ=0.04 時 f 和σ 2的相對誤差Fig. 1 The relative errors of the reconstruction for f and σ 2 with respect to H =0.9 andδ=0.04

圖2 H =0.4,N=6 時的 f 和σ2Fig. 2 The reconstruction of f and σ 2 for the inverse problem with H =0.4 andN=6

圖3 H =0.5,N=6 時的 f 和σ2Fig. 3 The reconstruction of f and σ 2 for the inverse problem with H =0.5 andN=6

圖4 H =0.9,N=6 時的 f 和σ2Fig. 4 The reconstruction of f and σ 2 for the inverse problem with H =0.9 andN=6

5 結 論

在本文中，我們討論了帶有分數(shù)階Brown 運動隨機源項的一維隨機對流擴散方程.在正問題部分通過對溫和解的期望的討論，證明了其適定性.在反隨機源部分，給定T時刻的數(shù)據(jù)來反演源項，證明了反演的唯一性與不穩(wěn)定性.最后通過有限差分法和截斷正則化方法進行數(shù)值模擬證明了理論部分的合理性，并且得出了Hurst 參數(shù)H越大，反演效果越好的結論.雖然本文只討論了一維隨機對流擴散方程，但是關于高維的情形也可以類似討論.

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