鋰電池分段分數階建模與荷電狀態估計

楊 睿，張向文,2

(1.桂林電子科技大學電子工程與自動化學院，廣西 桂林 541004；2.廣西自動檢測技術與儀器重點實驗室，廣西 桂林 541004)

能源結構升級和環境保護問題日益成為話題，電動汽車及其技術正在大力發展，有逐漸取代傳統能源汽車的趨勢。作為現階段給電動汽車提供能量的主要方式，鋰離子電池具有安全性高、壽命長、能量密度高等優點[1]。為了給電動汽車提供充足的能量，電動汽車內需要放置大量的鋰電池，電池管理系統(BMS)能保證電動車內部電池組提供穩定的電壓電流輸出和長時間安全高效運行。BMS 通過監控和預測電池荷電狀態(SOC)，不僅能夠延長鋰電池的使用壽命，還可以保證鋰電池在合理的電壓電流區間工作，避免其出現過充過放現象，從而減少潛在的安全隱患[2-4]。

SOC的定義是電池當前剩余電量與電池充滿時電量的比值，但是由于電池的SOC不是一個實際存在的物理量，所以無法通過測量直接獲取，只能通過其他方法對SOC進行估計。基于模型的估算方法現在應用較為廣泛，主要的模型有電化學模型和等效電路模型[5]。電化學模型的主要特點是精度高，其缺點為模型參數數量多、參數識別困難、運算速度低，不適合應用在電動汽車中[6-8]。基于等效電路模型的方法不考慮電池內部的化學反應，而是通過端電壓、充放電電流等外部特性將電池轉化為由電阻電容之類的電氣元件構成的電路模型，然后再對電池的SOC進行估計和預測。

選擇合適的模型能夠在適中的計算復雜度下準確模擬電池的動態特性，也更便于對數據進行采集和處理。Rint模型將一個電阻直接串聯在一個理想電壓源上，二者共同構成了一個模型結構最為簡單的等效電路模型，但是沒有考慮鋰離子電池的極化和擴散現象。文獻[9-10]提出了一階RC 模型，該模型能夠通過使用一個RC 回路來模擬鋰離子電池的充電和放電行為，通過實驗結果驗證，可以較好地模擬電池外部特性，但缺點是無法反映電池的極化反應。文獻[11-12]利用二階RC 等效電路模型來近似等效電池動態性能，該模型能夠較好地反映電池內部的極化反應。傳統的等效電路建模方法還可以繼續進行拓展，模型的精度隨著電阻和電容數量的增多而提高，但與之對應的是模型計算復雜度增加[13]。由于電池內部鋰離子擴散過程的非線性特點，相比于整數階微積分，分數階微積分能更準確地描述鋰電池特性[14]。

相較于多階RC 模型，二階RC 模型的結構簡單，其優點是在具有較高精度的同時又保持了比較小的計算復雜度[15]。為了進一步提高等效電路模型的精度，根據鋰電池在不同充放電階段的特性變化不同，采用分數階微積分理論建立了基于二階RC 模型的電池分段分數階等效電路模型。通過對比電池的實際端電壓曲線辨識分數階階數，通過HPPC 測試辨識模型參數。針對本文所建立的模型，構造分數階卡爾曼濾波(FOKF)算法估計電池的SOC，根據算法估計的SOC變化調整等效電路模型參數和分數階階數。最后通過實驗驗證了本文建立的模型和算法的有效性。

1 鋰電池分數階模型

1.1 分數階定義

分數階微積分是分數階建模的基礎，有多種不同的定義。G-L 定義可以通過最直接的方法進行離散化近似，而RL 定義主要適用于理論方面的分析研究，Caputo 定義更適用于描述微分方程的初值拓展到分數階領域的問題。所以本文選擇G-L 定義進行計算，其數學表達式如下：

式中：Dr f(t)算子表示分數階微積分運算；階次r的正或負則分別對應了分數階的微分和積分；t和a分別為微積分上限和下限；h為步長；i=0,1,2...；為二項式系數。

1.2 鋰電池分數階建模

為了精確地估計鋰電池SOC，電池模型需要在較低的計算復雜度下更準確地反映電池的動態特性，以便于實際工程的應用。鑒于分數階微積分在頻域中建立的系統模型能夠更準確描述電池的非線性特性，本文提出了一種基于二階RC 模型的分段分數階模型，如圖1 所示。圖中：Uoc為電池的開路電壓，當電池SOC減小時，開路電壓也會隨之下降；R0為歐姆內阻；U0為R0的分壓；第一個RC 回路由R1和C1并聯構成，共同表征活化極化效應；第二個RC 回路由R2和C2并聯構成，共同表征濃差極化效應；I為電池的端電流；U1和U2分別為兩個RC 回路上電壓的分壓；n1和n2分別為兩個RC 回路的分數階階數。

圖1 分段分數階模型

根據圖1 所示的模型和基爾霍夫定律，其數學模型可以描述為：

通過安時積分法計算電池的SOC：

式中：Q為鋰離子電池容量；SOC0為電池初始SOC；t0和t分別為開始和結束時間。

基于分數階建立電池的狀態空間方程：

式中：x為狀態空間的變量，；I為電池電流；y為系統的觀測量，即模型輸出的端電壓，；n為分數階階數矩陣，；A、B、C、D為系數矩陣。

2 鋰電池分數階模型參數辨識

2.1 電池模型的參數辨識

電池模型需要辨識的參數包括R0、R1、R2、C1、C2和Uoc，本文按照《FreedomCAR 電池測試手冊》中的混合脈沖功率特性(HPPC)實驗，以松下NCR18650B 鋰電池為例進行測試，電池的標稱容量為3 350 mAh，標稱電壓為3.6 V。通過BTS-5V12A 電池測試系統，分別以4.8 A 的放電脈沖和3.6 A 的充電脈沖在室溫下對電池進行實驗。從SOC=1 開始測試，每次測試后對電池進行放電，使電池SOC下降0.1，循環執行脈沖測試直到SOC=0，并記錄數據。通過HPPC 放電實驗對參數進行辨識，下面以一次循環的脈沖電壓、電流曲線為例，說明參數辨識的原理及過程，如圖2 所示。

圖2 一次循環的脈沖電壓和電流曲線

在進行脈沖測試前，電池已經進行了充分的靜置，所以開路電壓Uoc可取由放電脈沖電流產生壓降之前的靜置電壓。由放電脈沖電流產生的瞬時壓降或充電脈沖產生的瞬時升壓，可以辨識出電池的歐姆內阻R0，計算公式為：

將電池的數學模型式(2)結合時間常數公式τ=RC進行求解，可得：

兩次電流脈沖之間這一段電流輸入為0 的靜置時間，可以看作RC 環節的零輸入響應。將式(7)代入式(3)可得：

將式(9)對電壓變化曲線進行擬合即可辨識出U1(0)、U2(0)、τ1、τ2。由于在放電脈沖前電池已進行充分靜置，所以放電脈沖時電壓的變化可以看做RC 環節的零狀態響應，而且在放電脈沖結束的瞬間，電池極化電壓基本不變，結合式(7)可得：

式(10)中除R1、R2外均為已知，所以可辨識出R1、R2，再結合式(8)可辨識出C1、C2。

2.2 分數階階數辨識

本文中分數階階數辨識方法采用粒子群(PSO)算法，因為PSO 算法參數較少、收斂速度快，且具有記憶效應。將模型階數設為自變量，通過模型端電壓和電池實際端電壓的均方根誤差值來判斷模型階數的辨識結果。PSO 算法的適應度函數為：

式中：N為采樣總數；k為采樣次數；Uk為模型端電壓；volk為電池實際端電壓。

在進行模型參數辨識時，電池的內阻在SOC較低時增大趨勢明顯，如圖3 所示。考慮到內阻的變化趨勢，且電池在SOC較低時放電電壓下降速度也較快，所以本文選擇以SOC=0.2為分界點，分段對階數進行優化。在SOC>0.2 時，兩個RC回路分別為n1、n2。在SOC<0.2 時，兩個RC 回路分別為n3、n4。然后將分段仿真得到的模型端電壓Uk代入到式(11)進行參數優化，從而得到更加準確的等效電路模型，參數優化過程如圖4 所示。

圖3 電池參數隨SOC的變化曲線

圖4 PSO算法優化過程

3 基于分數階卡爾曼濾波算法的SOC估計

3.1 本文構建的分數階狀態空間方程

將式(4)離散化得到：

式中：xk、xk+1分別為k和k+1 時刻的狀態變量；Ik為k時刻電池電流輸入；yk為k時刻電池端電壓輸出；wk和vk分別為狀態空間的過程噪聲和測量噪聲；Ak、Bk、Ck、Dk為系數矩陣。為了更好地模擬電池內部參數隨SOC的變化，本文將辨識的模型參數進行二次插值擬合，狀態方程的系數矩陣隨估算的SOC而進行變化，從而更真實地模擬電池的實際工作狀態。

基于G-L 定義，可得到分數階描述：

式中：Ts為系統采樣時間。

取Ts=1 s 則可得到系統離散化方程：

3.2 分數階卡爾曼濾波算法

通過k-1 的狀態和誤差協方差矩陣，對k時刻的狀態和誤差協方差矩陣進行時間更新：

卡爾曼增益矩陣Lk為：

再通過k時刻的值對算法進行更新，以達到使估計結果更準確的效果。

3.3 實驗驗證模型

為了驗證鋰離子電池分段分數階等效電路模型和分數階卡爾曼濾波算法的精度和有效性，通過不同倍率放電實驗對算法進行驗證。首先對電池進行恒流充電，電流大小設置為0.5C，直到電池達到充電截止電壓4.2 V。再以4.2 V 的電壓值對電池進行恒壓充電，當電流小于0.05C時停止。此時認為電池為滿電狀態，電池的SOC=1。將電池充分靜置，直到電池的電壓達到穩態。對電池進行不同倍率放電測試：

(1)設置電池1C放電20 min，靜置1 h；

(2)設置電池0.5C放電40 min，靜置1 h；

(3)設置電池0.25C放電，直至電池電壓降低至放電截止電壓2.5 V 時停止實驗。

將本文建立的電池模型的電流值進行同樣設置，可以得到模型在恒流放電工況下的端電壓值。分段分數階模型端電壓、二階RC 模型端電壓和電池端電壓的實驗參考值如圖5所示，兩者誤差如圖6 所示。

圖5 不同倍率放電工況下電池端電壓實驗參考值和模型端電壓

圖6 模型輸出電壓誤差

實驗結果表明，在電池SOC較高時，普通二階RC 模型和分段分數階模型都能較好地模擬電池的電壓狀況。但是在電池SOC<0.2 后，二階模型電壓下降過慢，而分段分數階模型在SOC<0.2后電壓變化更接近實際電壓，模型準確性更好。

FOKF 算法估計的SOC值、EKF 算法估計的SOC值和SOC參考值對比如圖7 所示，SOC參考值通過安時積分法計算得到，兩種算法的絕對誤差如圖8 所示。實驗結果表明，本文構建的FOKF 算法和EKF 算法都能跟蹤SOC的變化過程，FOKF 算法和EKF 算法的均方根誤差分別為0.95%和1.74%，因此，相較于EKF 算法，FOKF 算法的估算精度更高。

圖7 SOC估計值和參考值

圖8 SOC估計誤差

4 結語

本文依據電池充放電特性和分數階微積分特性建立了一種分段分數階等效電路模型，經過實驗驗證，在SOC<0.2時，相比較于二階RC 模型，它能夠更準確地模擬電池的充放電特性，模擬電壓變化誤差更小。

基于分段分數階等效電路模型和FOKF 算法進行電池SOC估計，根據算法估計SOC的變化調整等效電路模型參數和分數階階數，更好地模擬了電池在充放電過程中外部特性的變化，改進了EKF 算法中用固定參數模擬電池特性的不足。實驗結果表明，FOKF 算法和EKF 算法的均方根誤差分別為0.95%和1.74%，因此，本文構建的FOKF 算法相比EKF算法在精度上有了明顯提高，具有重要的應用價值。